周瑞永+鄭旭常

摘 要：本文根據(jù)寧波一中考試題闡述依據(jù)提供的條件及解題目標(biāo)，聯(lián)想已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，確定和選擇思維方向、對(duì)象以及思維角度進(jìn)行同化或順從，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)；構(gòu)造；創(chuàng)新；核心；素養(yǎng)

解無(wú)定法，實(shí)則有法，這就要根據(jù)試題提供的條件及解題目標(biāo)，聯(lián)想已有知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)確定和選擇思維方向、對(duì)象以及思維角度進(jìn)行同化或順從，迅速的判定解題的大方向，減少誤入歧途的可能，才能贏得時(shí)間，贏得正確率.現(xiàn)筆者對(duì)2017年寧波市中考試卷中的第18題通過(guò)梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行解法探討，以供大家參考.

題目 （2017寧波）如圖1，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別落在

邊AB、AD上，則cos∠EFG的值為.

分析 此題是一道動(dòng)手操作型試題，由已知條件菱形ABCD和圖形翻折可以得到一些隱含結(jié)論；其次解題目標(biāo)求∠EFG的三角函數(shù)值，聯(lián)想到三角函數(shù)值的定義法、面積法、余弦定理、正弦定理、角度大小不變?nèi)呛瘮?shù)值就不變的性質(zhì)等方法破解.

一、利用線(xiàn)段中點(diǎn)，構(gòu)造圖形破解

1.利用線(xiàn)段中點(diǎn)E，構(gòu)造全等三角形

解法一 如圖2，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥AB交直線(xiàn)AB于點(diǎn)K.

思路分析 抓住點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，聯(lián)想到常規(guī)輔助線(xiàn)“延長(zhǎng)一倍構(gòu)造全等三角形”，結(jié)合菱形ABCD的性質(zhì)，容易得到△DAE≌△CHE，其次利用圖形翻折可得到AE⊥GF，最后角度不變?nèi)呛瘮?shù)值就不變的性質(zhì)破解.

解法延伸 利用圖形翻折可得到AE⊥GF和AM=ME，結(jié)合HK⊥AB，從而得到△AMF∽△AHK，所以AFAH=MFHK=AMAK，求得AF=74，MF=214.

所以 cos∠EFG=MFAF=21474=217.

2.利用線(xiàn)段中點(diǎn)M作平行線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形

解法二 如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AB交AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M、H分別作AB的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)P、T.

思路分析 由圖形折疊得到的隱含條件AE垂直平分GF，結(jié)合已知條件DE=1，AD=2，所以抓住中點(diǎn)M作平行線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形，易得AH的長(zhǎng)度，其次，利用基本圖形（如圖4）“直角三角形構(gòu)造斜邊上的高線(xiàn)”求解.

二、過(guò)E作AB的垂線(xiàn)，構(gòu)造圖形破解

1.構(gòu)造含有公共邊的兩個(gè)直角三角形的基本圖形

思路分析 利用菱形的性質(zhì)和折疊中所隱含的條件，通過(guò)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的梳理，過(guò)點(diǎn)E作垂線(xiàn)構(gòu)造不同的基本圖形破解，在這里關(guān)鍵是線(xiàn)段AE的長(zhǎng)度求解，除解法一、解法二的方法求解AE的長(zhǎng)度外，實(shí)際上也可以利用余弦定理求解.

如在△DAE中，AE2=AD2+DE2-2AD·DE·cos∠ADE.所以 AE2=22+12-2×2×1×cos120°.所以AE=7.

三、利用平行線(xiàn)結(jié)合線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形與相似三角形破解

解法七 如圖6，延長(zhǎng)FG、CD交于點(diǎn)H.過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AD，垂足為Q.

思路分析 求∠EFG的三角函數(shù)值，易想到在Rt△AMF中求AF的值，結(jié)合菱形和折疊的知識(shí)結(jié)構(gòu)，思考DG、AG的長(zhǎng)度能否得出，從而構(gòu)造相應(yīng)的輔助線(xiàn)，利用特殊角度和相似三角形破解.

四、利用等積變形，構(gòu)造圖形破解

思路分析 由折疊的特殊性質(zhì)“對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)段”產(chǎn)生直角，所以利用面積的不變性和面積的不同表示構(gòu)造方程解答.

解后反思

1.深刻認(rèn)識(shí)問(wèn)題結(jié)構(gòu)，挖掘隱含條件，尋找解題的出發(fā)點(diǎn)、解題路徑，轉(zhuǎn)化為一類(lèi)幾何結(jié)構(gòu)或基本圖形. 老子曾在《道德經(jīng)》中說(shuō)過(guò)“一生二，二生三，三生萬(wàn)物”，而在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)分析，這個(gè) “一”可以理解成數(shù)學(xué)最為基礎(chǔ)核心的本質(zhì)概念和內(nèi)容，如菱形、相似三角形、軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念及性質(zhì)、三角函數(shù)的概念等掌握情況；這個(gè)“二”可以理解為數(shù)學(xué)的解題思想方法和技巧，如三角函數(shù)值怎么求，由哪些求法、已知中點(diǎn)怎么構(gòu)造圖形、已知哪些條件可以構(gòu)造含公共邊的直角三角形、圖形翻折中可以挖掘哪些隱含條件，以此條件為平臺(tái)又可以延伸出哪些知識(shí)等，具備了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)本質(zhì)的理解之后，有了數(shù)學(xué)解題思想和技巧做幫扶，便有了“三”——順暢自然的給出解題思路.

2.加強(qiáng)歸納，總結(jié)提升.在平時(shí)數(shù)學(xué)解題中要及時(shí)的對(duì)解題方法及數(shù)學(xué)基本圖形的抽象與提煉，使其思維水平和已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相融，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為解題目標(biāo)提供方法.如含有公共邊的直角三角形的基本圖形可以通過(guò)勾股定理建立方程，通過(guò)面積的不同表示方法或不同求法構(gòu)建方程，通過(guò)面積法歸納出正弦定理、余弦定理及在怎樣的條件下應(yīng)用等等.

3.貫徹“用教材教，而不是教教材”的理念設(shè)計(jì)教法. 在平時(shí)的教案設(shè)計(jì)中，要研究教材，深刻理解知識(shí)的結(jié)構(gòu)安排，研究知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與延伸點(diǎn)，吃透教材例習(xí)題中蘊(yùn)含的能量與價(jià)值，多讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與提出過(guò)程、發(fā)生與發(fā)展過(guò)程、探索與應(yīng)用過(guò)程、方法與規(guī)律的概括過(guò)程，讓學(xué)生逐步積累發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的基本策略和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，不同的解法體現(xiàn)學(xué)生不同的能力水平與知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也不是去創(chuàng)造某種新的、不同的事物，而是去操控心智中已經(jīng)存在的認(rèn)知，去重組已存在的關(guān)聯(lián)認(rèn)知，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]肖川.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].武漢： 湖北教育版社， 2012（2）.endprint