徐靜

(大連理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，遼寧 大連 116024)

0 引言

項(xiàng)目型制造企業(yè)為國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門的生產(chǎn)提供了根本保證[1]。隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇及客戶定制化服務(wù)的普及，項(xiàng)目型制造企業(yè)面臨著前所未有的挑戰(zhàn)?？蛻粜枨蟛▌?dòng)增大、質(zhì)量要求較高、對(duì)交貨期和價(jià)格更為敏感，這些在很大程度上增加了項(xiàng)目型制造企業(yè)定價(jià)的難度。而項(xiàng)目管理方法即是在有限的時(shí)間和成本內(nèi)，設(shè)計(jì)生產(chǎn)產(chǎn)品以滿足客戶需求[2]。在以客戶個(gè)性化為主導(dǎo)的今天，如何有效地組織企業(yè)生產(chǎn)資源、制定合理的定價(jià)方法，滿足客戶的交貨期和質(zhì)量要求并保證企業(yè)的盈利水平，成為每個(gè)項(xiàng)目型制造企業(yè)面臨的重要問(wèn)題。

在需求不確定的定價(jià)方法研究方面：Granot[3]在乘法式、加和式需求假設(shè)下，對(duì)比分析了報(bào)童模型的定價(jià)和訂購(gòu)延遲問(wèn)題。Mardaneh[4]在生產(chǎn)能力受限約束下假設(shè)需求依賴于價(jià)格，建立兩階段優(yōu)化定價(jià)模型，采用半隨機(jī)算法求解最優(yōu)價(jià)格及產(chǎn)量。Chaharsooghi[5]在隨機(jī)需求、產(chǎn)能受限條件下建立兩階段隨機(jī)規(guī)劃定價(jià)模型，分析了價(jià)格、提前期及交付期柔性對(duì)價(jià)格和提前期決策的影響。Palaka等[6]在M/M/1服務(wù)系統(tǒng)中假設(shè)需求是價(jià)格和提前期的線性函數(shù)且對(duì)提前期敏感，研究不同敏感客戶的交貨期設(shè)置、產(chǎn)能利用和定價(jià)決策。Deng等[7]針對(duì)離散時(shí)間框架下的生產(chǎn)和定價(jià)協(xié)同決策問(wèn)題，分析了不同產(chǎn)能、庫(kù)存和生產(chǎn)準(zhǔn)備成本組合下的最優(yōu)解。上述定價(jià)方法主要考慮需求和生產(chǎn)能力約束，忽略了對(duì)質(zhì)量問(wèn)題的研究。

在聯(lián)合定價(jià)方面：Zhang等[8]在MTO環(huán)境中以期望利潤(rùn)最大為目標(biāo)，重點(diǎn)分析了客戶不同偏好信息對(duì)目標(biāo)值的影響；戴道明等[9]研究了允許需求延遲情形下產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)和訂貨批量的聯(lián)合決策問(wèn)題。柏慶國(guó)等[10]通過(guò)分析最優(yōu)解的相關(guān)性質(zhì)，設(shè)計(jì)算法求解聯(lián)合庫(kù)存與定價(jià)策略問(wèn)題，并以實(shí)例驗(yàn)證了相關(guān)參數(shù)變化對(duì)聯(lián)合策略的影響。Li等[11]設(shè)計(jì)多階段算法求解允許延遲交貨的聯(lián)合批量和定價(jià)模型，但只考慮了單一產(chǎn)品的問(wèn)題。Heuvel[12]針對(duì)需求是價(jià)格的確定性函數(shù)且產(chǎn)能不限的經(jīng)濟(jì)批量模型，設(shè)計(jì)多項(xiàng)式時(shí)間算法協(xié)同優(yōu)化定價(jià)和庫(kù)存決策，但假設(shè)不同階段價(jià)格相同，使得模型過(guò)于簡(jiǎn)單。

上述文獻(xiàn)側(cè)重于研究聯(lián)合決策的定價(jià)方法，但未考慮生產(chǎn)能力；在研究聯(lián)合定價(jià)決策時(shí)多考慮需求因素、批量及庫(kù)存等問(wèn)題，對(duì)客戶所關(guān)心的質(zhì)量問(wèn)題鮮有研究。針對(duì)上述問(wèn)題，本文以項(xiàng)目型制造企業(yè)為研究對(duì)象，考慮客戶對(duì)產(chǎn)品交貨期和質(zhì)量的要求，以需求隨機(jī)、生產(chǎn)能力受限為約束，產(chǎn)品總利潤(rùn)最大、平均質(zhì)量最高為目標(biāo)，建立多產(chǎn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)模型。并設(shè)計(jì)螞蟻的尋優(yōu)啟發(fā)式規(guī)則，使雙目標(biāo)問(wèn)題達(dá)到帕累托(Pareto)最優(yōu)。

1 問(wèn)題描述

本文考慮某項(xiàng)目型制造企業(yè)在單臺(tái)機(jī)器上加工多種產(chǎn)品的情形。生產(chǎn)共需n(i=1,2,…,n)種原材料，產(chǎn)品序列為p=1,2,…,j,…,J， 以利潤(rùn)最大、平均質(zhì)量最高為目標(biāo)，考慮需求和生產(chǎn)能力約束的多產(chǎn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題可描述為：

(1)在任一周期t(t=1,2,…,T)， 企業(yè)在期初為第j種產(chǎn)品設(shè)置價(jià)格、承諾交貨期區(qū)間[5]。

(2)企業(yè)根據(jù)新訂單的產(chǎn)品價(jià)格、承諾交貨期以及產(chǎn)品質(zhì)量確定訂貨量，再根據(jù)訂單需求設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，產(chǎn)品j在各階段的生產(chǎn)量不大于需求量。

(3)任一周期企業(yè)內(nèi)部的生產(chǎn)能力是固定的，但可通過(guò)工人加班、業(yè)務(wù)外包等措施擴(kuò)大生產(chǎn)能力。

(4)開(kāi)始或切換產(chǎn)品生產(chǎn)前需要一定的準(zhǔn)備時(shí)間，且準(zhǔn)備時(shí)間與產(chǎn)品序列有關(guān)，故考慮生產(chǎn)準(zhǔn)備成本。

(5)客戶不接受提前交貨且對(duì)延遲敏感。

(6)任一周期任一產(chǎn)品的需求與其他周期無(wú)關(guān)。

為更深入地研究此類問(wèn)題，本文做出以下假設(shè)：

(1)所有產(chǎn)品初始庫(kù)存為0。

(2)需求是價(jià)格、承諾交貨期和產(chǎn)品質(zhì)量的函數(shù)[13]。

(3)若訂單在承諾交貨期之前完成生產(chǎn)，則產(chǎn)生庫(kù)存持有成本；若在承諾交貨期之后、周期t期末交貨，則產(chǎn)生拖期成本[5]。

(4)某周期生產(chǎn)時(shí)間截止時(shí)，若有未滿足需求，則發(fā)生缺貨成本[14]。

(5)在產(chǎn)品初始投入一定時(shí)，假設(shè)此項(xiàng)目型制造企業(yè)能夠提供的產(chǎn)品質(zhì)量m與承諾交貨期線性相關(guān)[6]；另外，受生產(chǎn)能力的限制，企業(yè)提供的產(chǎn)品質(zhì)量存在上限。

2 多產(chǎn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)模型

2.1 變量定義

cjt： 產(chǎn)品j在t階段的單位生產(chǎn)成本；

ajt： 產(chǎn)品j在t階段的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本，與產(chǎn)品排序有關(guān)；

hjt，rjt： 產(chǎn)品j在t周期內(nèi)的單位時(shí)間持有成本、單位拖期成本，rjt≥hjt[15]；

Ijt： 產(chǎn)品j在t周期的庫(kù)存持有時(shí)間；

wj： 產(chǎn)品j的缺貨懲罰因子；

Kt： 周期t內(nèi)企業(yè)的生產(chǎn)能力；

vj： 生產(chǎn)單位j消耗的生產(chǎn)能力；

Uj： 產(chǎn)品j的總生產(chǎn)量；

Yjt： 二元變量，可取值為0，1；

mjt： 周期t內(nèi)產(chǎn)品j的質(zhì)量水平。

2.2 模型設(shè)計(jì)

為使項(xiàng)目型制造企業(yè)獲得最優(yōu)價(jià)格，考慮客戶對(duì)交貨期和質(zhì)量的要求，以需求、生產(chǎn)能力為約束，以利潤(rùn)最大、產(chǎn)品平均質(zhì)量最高為目標(biāo)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型如下。

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)

(1)企業(yè)總利潤(rùn)最大。式(1)中的各項(xiàng)依次表示收入、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)準(zhǔn)備成本、庫(kù)存持有成本、拖期成本和缺貨成本。最后一項(xiàng)表示所有周期內(nèi)、所有產(chǎn)品的缺貨量乘以對(duì)應(yīng)的缺貨懲罰因子之和，即為總?cè)必洺杀?/p>

(1)

(2)平均質(zhì)量最高。以所有產(chǎn)品的質(zhì)量之和除以總產(chǎn)品數(shù)計(jì)算。即

(2)

2.2.2 約束條件

(1)生產(chǎn)量約束。任一周期t內(nèi)產(chǎn)品j的生產(chǎn)量不大于需求量。即

?j∈J；i=1,2,…,nj

(2)生產(chǎn)能力約束。某一周期t內(nèi)生產(chǎn)所有產(chǎn)品消耗的產(chǎn)能不大于同周期的生產(chǎn)能力Kt。 即

?j,?t

(3)持有成本和拖期成本約束。在任一周期內(nèi)不同時(shí)出現(xiàn)持有成本和拖期成本。即

IjtVjkt=0 ?j,?t

(4)總生產(chǎn)量約束。產(chǎn)品j總生產(chǎn)量的計(jì)算公式。即

?j

(5)質(zhì)量影響因子約束。交貨期對(duì)質(zhì)量的影響因子具有一定的范圍限制，δmax,δmin分別表示其上下限。即

δmin≤δ≤δmax

(6)生產(chǎn)準(zhǔn)備約束。產(chǎn)品j一旦被生產(chǎn)，則產(chǎn)生生產(chǎn)準(zhǔn)備成本。即

?j,?t

(7)變量非負(fù)約束。價(jià)格、產(chǎn)量、持有時(shí)間、延遲交貨時(shí)間為非負(fù)值。即

此雙目標(biāo)問(wèn)題是混合整數(shù)非線性組合優(yōu)化問(wèn)題，且含有隨機(jī)變量，解的規(guī)模較大；另外，當(dāng)項(xiàng)目型制造企業(yè)追逐利潤(rùn)最大時(shí)往往不能兼顧質(zhì)量，質(zhì)量最優(yōu)時(shí)企業(yè)不一定獲得最大利潤(rùn)，因此兩目標(biāo)之間存在悖反關(guān)系，本文采用基于非支配排序的混合蟻群算法來(lái)獲取非劣解。

3 算法設(shè)計(jì)

蟻群算法在求解組合優(yōu)化問(wèn)題上表現(xiàn)出良好的性能[16]。根據(jù)項(xiàng)目型制造企業(yè)客戶需求難以預(yù)測(cè)的特點(diǎn)，對(duì)需求函數(shù)的隨機(jī)變量進(jìn)行情景描述，并設(shè)計(jì)基于各目標(biāo)的螞蟻尋優(yōu)啟發(fā)式規(guī)則，使螞蟻能夠找到非劣解。

3.1 隨機(jī)變量的情景設(shè)計(jì)

需求函數(shù)中的隨機(jī)變量ξj用于描述客戶需求的不確定性。采用情景樹(shù)[14]的思想設(shè)計(jì)了隨機(jī)變量的處理方法，具體步驟如下(以下情景設(shè)計(jì)只針對(duì)單個(gè)產(chǎn)品，多產(chǎn)品分別進(jìn)行設(shè)計(jì)即可)：

步驟1：假設(shè)ξj服從期望為E、 方差為D的指數(shù)分布[15]，根據(jù)產(chǎn)品種數(shù)、周期及統(tǒng)計(jì)指標(biāo)i(如期望、方差等)設(shè)置隨機(jī)變量的情景個(gè)數(shù)。

步驟2：記錄隨機(jī)變量不同情景下的值xi及其生成概率pi， 按照式(3)計(jì)算目標(biāo)值fi(x,p)為

(3)

∑pi=1pi≥0

(4)

式(3)是求統(tǒng)計(jì)值與標(biāo)準(zhǔn)值之間誤差最小，式(4)保證所有情景的概率之和為1。目標(biāo)值越趨近于0，表明不同情境下的數(shù)據(jù)對(duì)隨機(jī)變量的趨近效果越好。

步驟3：重復(fù)n次步驟2，逐次記錄按式(3)計(jì)算出的最優(yōu)目標(biāo)值及其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的情景值及其概率。

步驟4：計(jì)算步驟3中不同情景之間的歐氏距離，并乘以對(duì)應(yīng)的條件概率(每個(gè)周期的pi相乘)，得到不同情景的權(quán)重距離weight_distance。

步驟5：記錄所有的權(quán)重距離，其中最小的權(quán)重距離對(duì)應(yīng)的情景scenario即為隨機(jī)變量的最優(yōu)取值。

3.2 蟻群參數(shù)設(shè)計(jì)

3.2.1 啟發(fā)式信息計(jì)算

針對(duì)不同目標(biāo)yi(i=1,2)分別設(shè)計(jì)啟發(fā)式信息：

3.2.2 信息素更新規(guī)則

為獲得Optimal最優(yōu)解，分別針對(duì)各目標(biāo)對(duì)信息素進(jìn)行全局更新。計(jì)算公式如下

式中，φ是信息素?fù)]發(fā)系數(shù)，φ∈(0,1)；PNC是第NC次迭代中允許更新信息素的螞蟻集合；Δτa(NC)表示螞蟻a在第NC次迭代中對(duì)應(yīng)于目標(biāo)yi的信息素增量；Qi表示針對(duì)目標(biāo)值f(yi)設(shè)定的調(diào)整系數(shù)，即

Δτa=Qi/f(yi)

3.3 算法步驟

步驟1：初始化矩陣、參數(shù)設(shè)置，螞蟻數(shù)為m，最大運(yùn)行時(shí)間t0。

步驟2：建立非劣解集fzp， 設(shè)置t=0， 將螞蟻均分至各子空間。

步驟3：按照3.1中的策略，對(duì)需求函數(shù)中的隨機(jī)變量ξj進(jìn)行模擬計(jì)算。

步驟4：將螞蟻隨機(jī)放在各變量節(jié)點(diǎn)之上并進(jìn)行尋優(yōu)。

步驟5：計(jì)算在第yi(i=1,2)個(gè)目標(biāo)下，選擇下一變量節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率Ps0s， 設(shè)置閾值q0，q0∈(0,1)， 若隨機(jī)數(shù)q>q0， 則螞蟻選擇轉(zhuǎn)移概率中最大的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移；若q≤q0，則螞蟻按照輪盤賭的方式選擇下一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

步驟6：根據(jù)式(1)、式(2)計(jì)算目標(biāo)值。

步驟7：根據(jù)本次迭代計(jì)算非劣解，更新fzp集合，并保留fzp集合中解的路徑。

步驟8：為fzp集合中每條解的路徑進(jìn)行信息素的全局更新。

步驟9：NC=NC+1， 記錄運(yùn)行時(shí)間t， 若t=t0則轉(zhuǎn)至步驟10，否則轉(zhuǎn)至步驟3。

步驟10：輸出fzp解集。

4 實(shí)例應(yīng)用

4.1 算法結(jié)果分析

采用文獻(xiàn)[15]中測(cè)試算例的生成規(guī)則，考慮產(chǎn)品數(shù)量、生產(chǎn)能力、交貨期的影響。產(chǎn)品數(shù)量分為四類(J1類:20，J2類:50，J3類:100，J4類：150)；產(chǎn)品交貨期(J1類：服從[5,20]離散均勻分布，J2類：服從[15,30]離散均勻分布，J3類：服從[30,45]離散均勻分布，J4類：服從[45,60]離散均勻分布)，生產(chǎn)能力分兩類(C1: 低生產(chǎn)能力，C2： 高生產(chǎn)能力)。生產(chǎn)時(shí)間隨機(jī)生成，產(chǎn)品價(jià)格從有界整數(shù)集P(j)={pj:10≤pj≤60}上選取，hjt=0.5，rjt=1，T=3。

設(shè)置最大運(yùn)行時(shí)間t0=60s， 信息素權(quán)重α=0.01， 啟發(fā)式信息權(quán)重β=0.2， 信息素?fù)]發(fā)系數(shù)φ=0.2， 螞蟻數(shù)m=20， 調(diào)整系數(shù)：Q1=1000,Q2=0.01，θ=1。 在PC機(jī)(Intel(R)Core(TM)i7-3770CPU@3.40GHz，8.00GB)上使用Matlab軟件對(duì)8組算例各運(yùn)行10次，各目標(biāo)的極大值見(jiàn)表1。

表1 各目標(biāo)極值

如表1所示，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，隨著產(chǎn)品數(shù)量的增加，混合算法對(duì)利潤(rùn)目標(biāo)的優(yōu)化程度呈現(xiàn)“∧”型特征，對(duì)質(zhì)量目標(biāo)的優(yōu)化程度呈現(xiàn)“∨”型特征，表明該算法在中等規(guī)模問(wèn)題上優(yōu)化效果更好；在高生產(chǎn)能力水平下，各算例下的質(zhì)量目標(biāo)都有所提升，大規(guī)模算例下利潤(rùn)目標(biāo)有所增加而小規(guī)模算例下利潤(rùn)目標(biāo)降低，說(shuō)明擴(kuò)大生產(chǎn)能力并不一定會(huì)給企業(yè)帶來(lái)更高的利潤(rùn)，但會(huì)在一定程度上提高質(zhì)量。為了進(jìn)一步探究在不同交貨期條件下價(jià)格和利潤(rùn)目標(biāo)隨生產(chǎn)能力的變化而變化的趨勢(shì)，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)見(jiàn)圖1(以J1算例為例)。

由圖1可知，在不同交貨期影響下，產(chǎn)能的增加導(dǎo)致產(chǎn)品價(jià)格的降低，從而吸引了更多的客戶、消耗更多的產(chǎn)能，企業(yè)利潤(rùn)逐漸增加，這與文獻(xiàn)[17]的結(jié)論相同。在一定范圍內(nèi)，產(chǎn)能增加使得企業(yè)能夠按時(shí)交貨，質(zhì)量上升；而超出這個(gè)范圍后，質(zhì)量目標(biāo)受交貨期影響的程度大于產(chǎn)能，交貨期越短，質(zhì)量目標(biāo)的滿足率就越低。具體來(lái)看，當(dāng)交貨期為10和11時(shí)，價(jià)格隨產(chǎn)能增加而下降的速率為先減后增，而利潤(rùn)上升的速度先增后減，這是由價(jià)格下降帶來(lái)的收益與增加產(chǎn)能消耗的成本不平衡產(chǎn)生的結(jié)果，而質(zhì)量由于受到交貨期和產(chǎn)能的雙重影響，變化趨勢(shì)為先增后減；當(dāng)交貨期為8時(shí)，客戶對(duì)交貨期的要求較高，企業(yè)必須調(diào)動(dòng)一切生產(chǎn)資源保證交貨，因此價(jià)格下降的速度緩慢、質(zhì)量變化幅度較大。而利潤(rùn)上升的趨勢(shì)為先增后減再增，這是由價(jià)格和產(chǎn)能共同作用的結(jié)果。

4.2 模型分析

以某項(xiàng)目型制造企業(yè)大連分廠某年5～7月的訂單及生產(chǎn)數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證定價(jià)方法的適用性和有效性。樣本共包括91種產(chǎn)品，所需原材料情況、產(chǎn)品加工要求等數(shù)據(jù)見(jiàn)表2和表3。

目前企業(yè)采用以成本加成為基礎(chǔ)的產(chǎn)品定價(jià)方法，通過(guò)成本歷史數(shù)據(jù)對(duì)待加工產(chǎn)品的價(jià)格進(jìn)行估算，其計(jì)算步驟如下：

(1)根據(jù)完全成本法計(jì)算產(chǎn)品i的制造成本C1i， 非制造成本C2i=C1i×ai/(1-ai)。

(2)單位利潤(rùn)Pi=(C1i+C2i)×bi/(1-bi)。

(3)產(chǎn)品i的單價(jià)即為Pi+C1i+C2i。 (ai,bi是一定的計(jì)提比率)

表2 大連分廠5～7月生產(chǎn)計(jì)劃表

表3 生產(chǎn)材料

圖1 產(chǎn)能對(duì)價(jià)格和利潤(rùn)的影響

采用以上兩種定價(jià)方法優(yōu)化價(jià)格，結(jié)果見(jiàn)表4(其中：①是本文方法，②是企業(yè)實(shí)際定價(jià)方法)。多數(shù)產(chǎn)品價(jià)格有效降低，整體價(jià)格重新優(yōu)化。對(duì)應(yīng)的，運(yùn)用②方法時(shí)產(chǎn)品總利潤(rùn)為3 777 255元，平均質(zhì)量85.1%；利用①方法利潤(rùn)總額達(dá)到4 984 359元，增加了31.96%，平均質(zhì)量為98%，提高了15.16%；以第35種產(chǎn)品為例，價(jià)格降低了84個(gè)單位，利潤(rùn)目標(biāo)提升了13.09%，質(zhì)量提高了1.9個(gè)單位。表明本文定價(jià)方法可以有效優(yōu)化產(chǎn)品價(jià)格，保證提高利潤(rùn)和產(chǎn)品質(zhì)量。

表4 改進(jìn)方法與企業(yè)定價(jià)方法結(jié)果對(duì)比

(續(xù))

5 結(jié)語(yǔ)

隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)愈演愈烈，定價(jià)決策是否合理決定著項(xiàng)目型制造企業(yè)盈利能力的高低。結(jié)合客戶的交貨期和質(zhì)量要求，按照一定的概率分布對(duì)隨機(jī)需求進(jìn)行模擬，在生產(chǎn)能力約束下以產(chǎn)品總利潤(rùn)最大、平均質(zhì)量最高為目標(biāo)，建立了多產(chǎn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，提高了企業(yè)產(chǎn)品定價(jià)的準(zhǔn)確性和合理性?；谙伻核惴ㄔO(shè)計(jì)螞蟻的尋優(yōu)啟發(fā)式規(guī)則，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明此啟發(fā)式規(guī)則能夠保證雙目標(biāo)問(wèn)題Pareto解的實(shí)現(xiàn)。最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該定價(jià)方法能有效優(yōu)化價(jià)格，提高產(chǎn)品利潤(rùn)和質(zhì)量，為企業(yè)進(jìn)行定價(jià)決策提供方法支持。

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