高曉巍

摘?要：商品的定價(jià)與選購是經(jīng)濟(jì)問題中常見的兩類問題。隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，這兩類問題所涉及的現(xiàn)實(shí)要素也日益復(fù)雜，引入優(yōu)化模型是解決此類問題的有效途徑。本文從建模的數(shù)學(xué)理論入手對兩類模型展開對比分析，有利于模型的進(jìn)一步優(yōu)化，更好地適應(yīng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的實(shí)際需要。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型;選購優(yōu)化問題;商品定價(jià)問題

中圖分類號：F714.1??????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????文章編號：1008-4428（2018）12-0005-03

一、 引言

隨著科技的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們開始追求更優(yōu)質(zhì)的生活方式，無論是工業(yè)生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)種植、商業(yè)決策還是交通運(yùn)輸都會(huì)遇到各種各樣的優(yōu)化決策問題，合理建立優(yōu)化模型是解決現(xiàn)實(shí)問題的有效途徑。

在云南滇池流域水污染問題中，昆明市委通過構(gòu)建流域水文水質(zhì)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型和湖體水質(zhì)水動(dòng)力數(shù)學(xué)優(yōu)化模型對這一流域污染負(fù)荷總量和湖體水質(zhì)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測，加強(qiáng)解決管理的效率，同時(shí)優(yōu)化環(huán)境治理的解決方案，為地區(qū)的可持續(xù)性發(fā)展提供了有效指導(dǎo);李智群將數(shù)學(xué)優(yōu)化模型引入到我國的傳統(tǒng)的茶葉種植勞動(dòng)中，解決了茶葉的品質(zhì)評估計(jì)量和優(yōu)化;周博等人通過引入數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，采用定量計(jì)算與定性分析結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)了動(dòng)車組資源的有效利用，由此可以看出優(yōu)化模型的建立研究與我們的生活息息相關(guān)。

二、 優(yōu)化模型數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

優(yōu)化模型是指以達(dá)到優(yōu)化的目的為目標(biāo)而建立的數(shù)學(xué)模型，對于不同的實(shí)際問題建立不同的優(yōu)化模型。從數(shù)學(xué)建模的理論基礎(chǔ)主要可分為如下三種形式：

（一）線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式

minz=f（x）

s.t. g（x）≤0（i=1，2，…，m）

其中目標(biāo)函數(shù)f（x）和約束條件中g(shù)（x）都是線性函數(shù)采用的方法：單純性法。

Matlab函數(shù)：linprog（）

（二）非線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式

min=f（X）

s.t. gi（X）≥0?i=1，hj（X）=0?j=1

X=（x1，x2，…，xn）T∈En，f，gi，hi是定義在En上的實(shí)質(zhì)函數(shù)，簡記：

f：En→El，gi：En→El，hj：En→El。

（三）整數(shù)規(guī)劃的一般形式

minz（maxz）=∑nj=1cjxj

∑nj=1aijxj=bi（i=1，2，…，m）xj≥0（j=1，2，…，n）且部分或全部為整數(shù)

根據(jù)決策變量取整的條件不同，整數(shù)規(guī)劃可以分為四類，第一類：0-1整數(shù)規(guī)劃，全部的決策變量只有兩個(gè)選擇0、1，它在整數(shù)規(guī)劃中占據(jù)非常重要的地位，分枝定界法是用來求解0-1規(guī)劃的最常用的一種方法。第二類：純整數(shù)規(guī)劃，這類整數(shù)規(guī)劃的決策變量需要取非負(fù)數(shù)。第三類：全整數(shù)規(guī)劃，在純整數(shù)規(guī)劃的基礎(chǔ)上系數(shù)和常數(shù)也要取整數(shù)。第四類：混合整數(shù)規(guī)劃，這種規(guī)劃方法分兩部分，一部分取非負(fù)整數(shù)，一部分取可以取非負(fù)實(shí)數(shù)。

三、 商品定價(jià)與選購優(yōu)化模型分析

（一）商品定價(jià)問題

在生產(chǎn)經(jīng)營領(lǐng)域，廠商均要考慮在生產(chǎn)鏈條中合理利用資源獲取經(jīng)濟(jì)利益的最大化，實(shí)現(xiàn)企業(yè)的長期穩(wěn)定發(fā)展，保持不敗的競爭力。合理制定產(chǎn)品的價(jià)格就是其中的一個(gè)要素。產(chǎn)品最優(yōu)價(jià)格制定模型是經(jīng)濟(jì)學(xué)中比較典型的一個(gè)優(yōu)化模型。

1. 商品定價(jià)模型

假設(shè)：產(chǎn)品的銷售量與產(chǎn)品的價(jià)格相關(guān)，產(chǎn)品的成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量相關(guān)。

設(shè)每件產(chǎn)品的價(jià)格為p，每件產(chǎn)品成本用c來表示，銷售量用x表示，總收入用I表示，總支出用C表示，利潤為R，利潤=銷售收入-成本支出，總收入和總支出可以表示為

I=px?C=cx

銷售量x是價(jià)格p的函數(shù)，表示為x=f（p）; f為需求函數(shù)。

成本c是銷售量x的函數(shù)，表示為c=φ（x）;φ為成本函數(shù)，利潤R可以表示為

R（p）=I（p）-C（p）

I（p）=pf（p）?C（p）=φ（x）f（p）=φ{(diào)f（p）}f（p）

R（p）=I（p）-C（p）=pf（p）-φ{(diào)f（p）}f（p）=f（p）（p-φ{(diào)f（p）}）

由一元函數(shù)取極值的條件知，當(dāng)dRdp=0得到的價(jià)格p就是最優(yōu)價(jià)格p*，即使利潤R（p）達(dá)到最大時(shí)的最優(yōu)價(jià)格p*=p。

2. 模型的求解

dIdp表示邊際收入，dCdp表示邊際支出，當(dāng)dIdp=dCdp時(shí)利潤達(dá)到最大。

設(shè)需求函數(shù)為簡單的線性函數(shù)，f（p）=m-np（m，n>0）;

設(shè)成本函數(shù)為φ（x）=α+1/（βx+γ）（α，β，γ>0），其中，α表示最低成本，β表示產(chǎn)品數(shù)量增加或減少的幅度，γ為調(diào)節(jié)常數(shù)，即產(chǎn)品的最大成本為（α+1/γ）。

R（p）=I（p）-C（p）=f（p）（p-φ{(diào)f（p）}）

=（m-np）p-α-1β（m-np）+γ

=（m-np）p-α-1βm+γ-nβp

由dR（p）dp=0得，

nβp-（2nβγ+2mnβ+nβα）p+（γ+2mβγ+mβ+2mnβα+2nβαγ）p-α（γ+βm）γ=0

得出的方程是一個(gè)關(guān)于p的三次方程，其中m、n、α、β和γ在已知的條件下即可以求出價(jià)格p，即最優(yōu)價(jià)格p*=p。在實(shí)際問題的研究中，m和n由價(jià)格和銷售量的數(shù)據(jù)是通過用最小二乘法擬合來確定的。α、γ是已知的常數(shù)，β根據(jù)產(chǎn)量得出，所以就可以得到最優(yōu)價(jià)格。

3. 模型應(yīng)用

設(shè)某種商品銷售中的市場需求函數(shù)為

f（p）=3-p4

在銷售的過程中商品因受到擠壓碰撞等會(huì)有損失，每件商品的成本隨產(chǎn)品數(shù)量增減的變化幅度是0.03，調(diào)節(jié)常數(shù)為2，商品的最低成本為5。

設(shè)成本函數(shù)為φ（x）=α+1/（βx+γ）

由題知α=5，β=0.03，γ=2

R（p）=I（p）-C（p）=f（p）（p-φ{(diào)f（p）}）

=（m-np）p-α-1β（m-np）+γ

=（m-np）p-α-1βm+γ-nβp

由dR（p）dp=0得，

nβp-（2nβγ+2mnβ+nβα）p+（γ+2mβγ+mβ+2mnβα+2nβαγ）p-α（γ+βm）γ=0

由題知需求函數(shù)為f（p）=3-p/4，則m=3，n=1/2

12×0.03p-2×12×0.06+2×32×0.03+12×0.15p+（2+2×0.18+0.09+2×32×0.15+0.3）p-5（2+0.09）2=0

p≈6.99，即p*=p=6.99。

通過模型的分析與求解，該商品定價(jià)為6.99元時(shí)，商家可獲得最大利潤。

（二）商品選購問題

一般情況下，在商品價(jià)格及消費(fèi)者收入一定的條件下，消費(fèi)者在商品選購中用無差異曲線來描述其對兩種商品的偏好和滿意程度，實(shí)現(xiàn)資金的合理分配。

1. 商品選購模型

假定消費(fèi)者的收入水平是不變的，市場中的商品的價(jià)格已知，消費(fèi)者購買商品，則它的邊際效用與價(jià)格之比相等。

記消費(fèi)者的既定收入是C，要購買2種商品。用x1，x2分表來表示2種商品的數(shù)量，消費(fèi)者的滿意程度是x1，x2的函數(shù)，U（x1，x2）=m（m為常數(shù)），這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為效用函數(shù)。

如圖1所示U（x1，x2）=m的圖像是無差異曲線，在同一條無差異曲線上，對于不同的x1，x2，效用函數(shù)值總是相同，商品對消費(fèi)者的效用增加或減少可以通過曲線向右上方或左下方移動(dòng)表明，消費(fèi)者對兩種商品的偏愛程度則可以通過曲線的彎曲程度來表示。

假定有兩種商品，它們的價(jià)格分別為p1、p2，消費(fèi)者有C元，消費(fèi)者選擇什么樣的方法用C元購買兩種商品使得效用U（x1，x2）最大，即經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)者均衡。

消費(fèi)者購買兩種商品的花費(fèi)分別為p1x1、p2x2，因此消費(fèi)者最優(yōu)購買問題就是在p1x1+p2x2=C的條件下求p1x1p2x2使得 U（x1，x2）得最大值。根據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算知最優(yōu)解應(yīng)滿足Ux1Ux2=p1p2。

2. 模型求解

當(dāng)U（x1，x2）給定的條件下，上式可確定最優(yōu)比例p1x1p2x2。假定效用函數(shù)

U（x1，x2）=xa1xb2

U/x1U/x2=axa-11xb2bxb-12xa1=ax2bx1=p1p2

p1x1p2x2=ab

當(dāng)消費(fèi)者收入水平不變時(shí)，商品的價(jià)格已知，消費(fèi)者購買商品時(shí)商品的邊際效用與價(jià)格之比相等，滿足p1x1p2x2=ab，就能使得U（x1，x2）得最大值。

3. 模型應(yīng)用

假設(shè)消費(fèi)者的固定收入是5000元，要用來全部進(jìn)行購買2種商品A、B。我們用x1，x2是購買2種商品A、B的數(shù)量，U（q1，q2）=x31x22，兩種商品的價(jià)格分別為100元、50元，消費(fèi)者選擇什么樣的最優(yōu)購買方式購買兩種商品A、B使得效用U（x1，x2）最大？

購買兩種商品用的花費(fèi)分別為100x1、50x2，在100x1+500x2=5000的條件下求100x1/50x2的值，使得U（x1，x2）得最大值。

根據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算知最優(yōu)解應(yīng)滿足

Ux1Ux2=10050=2

已知U（x1，x2）=x31x22

Ux1=3x21x22

Ux2=2x12x31

U/x1U/x2=3x21x222x12x31=3x22x1=10050=2

2x1x2=32

x1x2=34

設(shè)購買B種商品的數(shù)量為x

100×34x+50x=5000

x=40

購買商品A、B的表數(shù)量比為3∶4時(shí)，即購買A的數(shù)量為30，購買B的數(shù)量為40時(shí)使得效用U（x1，x2）最大。

四、 結(jié)論

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，優(yōu)化模型的引入有效地解決了很多棘手的問題，但同時(shí)，隨著經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步發(fā)展，各類復(fù)雜的問題相繼不限，在問題的解決過程中不得不在原有模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化和推廣，使得模型的建立與求解更加符合實(shí)際需要，因此，其已成為不斷學(xué)習(xí)研究的關(guān)鍵。

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