在數(shù)學(xué)解題中，我們對(duì)數(shù)學(xué)概念理解錯(cuò)誤，或理解不透，又或者思考不全面，對(duì)某些解題方法沒(méi)有真正掌握等，都容易導(dǎo)致解題出錯(cuò).

一、概念不清引起出錯(cuò)

概念是思維的基本單位，弄清概念是解題的基礎(chǔ).有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，平方根與算術(shù)平方根，絕對(duì)值，分式等概念，都是解題時(shí)容易混淆和出錯(cuò)的地方.

例1 在實(shí)數(shù)[5]，[227]，0，[π2]，[36]，-1.414中，有理數(shù)有 個(gè).

【解析】[227]是分?jǐn)?shù)，因此是有理數(shù)，[36]=6，故[36]也是有理數(shù).故有理數(shù)有[227]，0，[36]，

-1.414，共有4個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】有理數(shù)的小數(shù)部分是有限或無(wú)限循環(huán)的數(shù)，無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分是無(wú)限不循環(huán)的數(shù).特別地，要注意π是無(wú)理數(shù).如果不理解無(wú)理數(shù)的概念，而僅僅從形式上去判斷，那么容易錯(cuò)認(rèn)為帶根號(hào)的數(shù)（如[36]）都是無(wú)理數(shù).也有的同學(xué)計(jì)算[227]時(shí)，前六位小數(shù)都沒(méi)出現(xiàn)循環(huán)節(jié)，于是錯(cuò)認(rèn)為[227]也是無(wú)理數(shù).有的同學(xué)還將[π2]錯(cuò)認(rèn)為分?jǐn)?shù)，而分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，于是錯(cuò)誤判斷[π2]為有理數(shù).

例2 下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.±4的平方根是16

B.1的平方根是1

C.[9]的平方根是3

D.2是（-2）2的平方根

【解析】選項(xiàng)A應(yīng)為16的平方根是±4，A錯(cuò)；B.正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，故1的平方根是±1，B錯(cuò)；∵[9]=3，∴[9]的平方根是[±3]，C錯(cuò)；∵（-2）2=4，4的平方根是±2，∴2是4的其中一個(gè)平方根，D正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根與算術(shù)平方根的定義，我們?nèi)菀讓⑦@兩個(gè)概念混淆，理解正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，0的平方根是0.本題容易混淆B、D兩個(gè)選項(xiàng).

例3 若分式[x-2x+2]的值等于零，求x的值.

【解析】分式的值為零，需滿(mǎn)足兩個(gè)條件，一是分子的值等于零，二是分母不等于零.故由已知得，[x-2=0，x+2≠0，]∴[x=±2，x≠-2，]∴x=2.

【點(diǎn)評(píng)】在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，容易忽視“分母不為零”這個(gè)條件，這是對(duì)分式的概念理解不清所致.另外，如果由[x]-2=0得到x=2，這樣雖然結(jié)果正確，但過(guò)程有誤，這是對(duì)絕對(duì)值的概念理解不清所致.

二、公式、法則不清引起出錯(cuò)

運(yùn)用計(jì)算公式或法則進(jìn)行運(yùn)算，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度.但如果對(duì)公式、法則記憶不清，理解出錯(cuò)，容易導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò).

例4 下列各運(yùn)算中，正確的是（ ）.

A.（x-2）2=x2-4 B.（3a2）3=9a6

C.x6÷x2=x3 D.x3·x2=x5

【解析】由完全平方公式得（x-2）2=x2-4x+4，A錯(cuò)；由積的乘方運(yùn)算得（3a2）3=33（a2）3=27a6，B錯(cuò)；由同底數(shù)冪的除法法則得x6÷x2=x6-2=x4，C錯(cuò)；由同底數(shù)冪的乘法法則得x3·x2=x3+2=x5，D正確.

【點(diǎn)評(píng)】此題容易由于對(duì)冪的運(yùn)算法則記憶不清而導(dǎo)致出錯(cuò).同時(shí)，冪的概念不清，也容易出現(xiàn)33=3×3=9這樣的錯(cuò)誤.

例5 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）.

A.x2+y2 B.-x2+y2

C.x2-（-y2） D.-x2-y2

【解析】因式分解的平方差公式是a2-b2=（a+b）（a-b），公式左邊是兩個(gè)數(shù)的平方差的形式，A與C都是x2+y2，屬于平方和的形式，故A、C錯(cuò)；-x2-y2=-（x2+y2），也是平方和的形式，故D錯(cuò)；-x2+y2=y2-x2=（y+x）（y-x），故B對(duì).

【點(diǎn)評(píng)】記憶平方差公式時(shí)，如果僅是從形式上記憶，認(rèn)為前項(xiàng)與后項(xiàng)之間用“-”號(hào)連接就可以用平方差公式，這樣很容易被選項(xiàng)C或D所迷惑，也容易認(rèn)為B不正確.

三、思維不嚴(yán)謹(jǐn)引起出錯(cuò)

在解答某些問(wèn)題時(shí)，常因?yàn)楹鲆晢?wèn)題中的隱含條件，或?qū)﹄[含條件挖掘不充分，導(dǎo)致出現(xiàn)漏解或解答出錯(cuò).

例6 若4y2-my+25是一個(gè)完全平方式，則m= .

【解析】∵4y2-my+25是一個(gè)完全平方式，

∴4y2=（2y）2，25=52，

∴-my這一項(xiàng)應(yīng)該是±2×2y×5，

∴m=±20.

【點(diǎn)評(píng)】需注意的是，完全平方式有兩個(gè)：a2+2ab+b2與a2-2ab+b2，解題時(shí)容易只考慮第一個(gè)而忽略第二個(gè)，導(dǎo)致m只取一個(gè)值，出現(xiàn)漏解.

例7 已知[m]=4，[n]=6，且m+n=[m+n]，則m-n的值是 .

【解析】由[m]=4，[n]=6得m=±4，n=±6，∵m+n=[m+n]，得m+n≥0，∴m=4，n=6或m=-4，n=6，∴m-n=-2或m-n=-10.

【點(diǎn)評(píng)】由m+n=[m+n]得m+n為非負(fù)數(shù)，錯(cuò)認(rèn)為m、n均為非負(fù)數(shù)，于是由[m]=4，[n]=6得m=4，n=6，導(dǎo)致漏解.

例8 先將[1-1x-1]÷[x2-4x+4x2-1]化簡(jiǎn)，再?gòu)?1，0，1，2這幾個(gè)數(shù)中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)代入并求值.

【解析】原式=[x-2x-1]×[x+1x-1x-22]=[x+1x-2]，

當(dāng)x=0時(shí)，原式=[0+10-2]=-[12].

【點(diǎn)評(píng)】正確解答本題的關(guān)鍵是找出題中隱含的條件，保證每一步運(yùn)算中，分式的分母均不能為零.解題時(shí)，我們?nèi)菀鬃⒁獾皆}中分母不為零的條件，但也容易忽視運(yùn)算過(guò)程中的分母取值范圍，導(dǎo)致選擇數(shù)時(shí)出錯(cuò).

四、數(shù)學(xué)思想方法不清引起出錯(cuò)

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向與單位長(zhǎng)度的直線(xiàn).在數(shù)軸上，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.運(yùn)用數(shù)軸，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)（數(shù)）與數(shù)軸上的點(diǎn)（形）的互化.但在解決具體問(wèn)題過(guò)程中，常由于忽視“形”位置而導(dǎo)致“數(shù)”出錯(cuò).

例9 已知表示數(shù)a、b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a、b、-a、-b的大小順序是（ ）.

A.-a

C.-a<-b

【解析】從數(shù)軸上可以看出b<0[a]，∴-a<0，-a>b，-b>0，-b>a，即b<-a

也可以由互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系得下圖：

于是有b<-a

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用數(shù)軸可以比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，從左到右依次變大，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).此題容易錯(cuò)認(rèn)為b是正數(shù)，而-b是負(fù)數(shù)，忽視表示數(shù)b的點(diǎn)的位置.

（作者單位：廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)）