王鏡惠，梅明華，梁正中，王華軍，劉娟

隨著老油田產油能力不斷下降，水平井水力壓裂對于提高油井產量具有重要意義，通過水平井水力壓裂，將原來井筒附近地層流體的徑向流變?yōu)榫€性流，從而減小流體的滲流阻力。隨著壓裂技術的不斷進步與完善，水平井壓裂技術在開采致密油氣藏中具有廣闊的前景[1-6]。地層條件的復雜性以及壓裂過程中出現(xiàn)的特殊情況，導致裂縫關于井筒不對稱，因此求解壓裂水平井壓力的核心問題在于多條裂縫壓力的相互疊加。在壓裂直井壓力動態(tài)分析方面，國外學者進行了大量研究，文獻［2］和文獻［3］將儲集層滲流壓力解與裂縫滲流壓力解進行耦合，獲得儲集層和裂縫滲流系統(tǒng)的井底壓力半解析解；文獻［6］基于橢圓滲流建立了有限導流垂直裂縫試井解釋模型，該模型的優(yōu)點在于求解速度快，缺點是不能很好地對不對稱有限導流垂直裂縫進行研究；文獻［7］建立了不對稱垂直裂縫試井解釋模型，但該模型只描述了裂縫滲流特征，沒有對裂縫和儲集層滲流井底壓力進行耦合求解；文獻［8］利用數(shù)值模擬方法，對不對稱垂直裂縫進行研究，分析了不對稱因子對壓力導數(shù)曲線的影響，但數(shù)值模擬計算速度慢。中國學者對不對稱垂直裂縫的試井工作做了大量研究，為非常規(guī)多段壓裂水平井試井模型的研究奠定了基礎[9-14]。在水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型的研究方面，文獻［15］和文獻［16］提出了Laplace空間點源函數(shù)理論，對點源函數(shù)積分獲得單條裂縫無限導流的線源解與面源解，通過壓降疊加原理，獲得水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型半解析解；文獻［17］—文獻［19］基于前人的研究，建立了對稱裂縫水平井多段壓裂試井解釋模型，并進行求解；為了提高計算速度，文獻［20］在文獻［6］的研究成果中引入了裂縫導流能力函數(shù)，對無限導流井底壓力解與導流能力函數(shù)組合，得到有限導流垂直裂縫井和水平井多段壓裂井底壓力計算的新方法，但該計算方法是基于多條對稱裂縫的研究，沒有考慮裂縫不對稱對試井曲線的影響。在前人研究的基礎上，本文建立均質地層單條有限導流不對稱裂縫試井解釋模型，利用Laplace變換獲得其半解析解，然后通過壓降疊加原理得到水平井多段壓裂井底壓力半解析解，最后利用Stehfest數(shù)值反演方法[21-22]繪制井底壓力和壓力導數(shù)曲線，并分析不對稱因子、裂縫條數(shù)、裂縫分布方式和裂縫導流系數(shù)等因素對試井曲線的影響。

1 單條有限導流垂直裂縫壓力動態(tài)特征

1.1 單條有限導流垂直裂縫試井模型

不對稱垂直裂縫就是一條或多條水力壓裂裂縫，以井筒為中心，裂縫兩端關于井筒不對稱。為了更好地建立不對稱垂直裂縫試井解釋模型，根據(jù)對稱垂直裂縫試井解釋模型的建立，以裂縫中點為中心建立直角坐標系，井偏離裂縫中心位置的位移為xw，儲集層上下為不滲透邊界（圖1）。根據(jù)文獻［15］給出的無限導流垂直裂縫試井解釋模型解，結合不對稱垂直裂縫試井解釋模型，將裂縫與儲集層滲流進行耦合，從而求得單條不對稱有限導流垂直裂縫井底壓力。模型基本假設條件如下：壓裂裂縫兩端沒有流體通過；流體在儲集層和裂縫中的流動符合等溫達西滲流規(guī)律；裂縫寬度為bf，裂縫穿過整個地層；整條裂縫中壓力不相同，即沿裂縫有壓降產生，裂縫的滲透率為Kf；忽略毛細管壓力和重力的影響；儲集層流體為微可壓縮單相流體。

圖1 單條有限導流不對稱垂直裂縫示意

無量綱變量和不對稱因子分別定義為

根據(jù)上述假設條件，得到無量綱裂縫試井解釋模型為

無量綱裂縫試井解釋模型的邊界條件為

通過使用Laplace變換和Green函數(shù)，并聯(lián)合邊界條件（13）式和（14）式，求得（12）式的解為

Laplace空間下裂縫平均壓力可表示為

根據(jù)文獻［7］，Green函數(shù)可以寫為

文獻［15］和文獻［16］對單條無限導流垂直裂縫做了研究，任意地層壓力的表達式為

根據(jù)裂縫壁面處壓力相等，聯(lián)立（15）式和（18）式，可得無量綱單位長度裂縫流量與Laplace空間下無量綱裂縫平均壓力方程：

根據(jù)質量守恒原理，則無量綱單位長度裂縫流量滿足表達式

1.2 裂縫離散化處理

對于有限導流垂直裂縫，流體沿裂縫流動方向存在壓降，裂縫不同位置處流量不恒定，而是與位置有關的函數(shù)，因此，在計算流量過程中將裂縫進行離散，單位長度裂縫流量可以視為一個定值，對于多條裂縫，根據(jù)壓降疊加原則，（19）式和（20）式經過離散化處理之后得到：

對于單條裂縫而言，M=1，ymD(i,j)=ywD(i,j)，（21）式和（22）式構成2N+1個方程組，需求解出qˉD()i,j和pˉfDavg，共有2N+1個未知數(shù)，其中Bessel函數(shù)的積分可以通過高斯-勒讓德數(shù)值積分獲得，將所求未知參數(shù)代入（15）式，并取xD=xasmy，獲得井底壓力。

根據(jù)杜哈美原理，考慮井儲和表皮效應的影響，得到的井底壓力為[17]

根據(jù)（21）式和（22）式，采用Stehfest數(shù)值反演方法，繪制有限導流不對稱垂直裂縫無量綱井底壓力、壓力導數(shù)與無量綱時間的關系曲線（圖2）。將本文所獲得的有限導流不對稱垂直裂縫無量綱井底壓力及壓力導數(shù)結果與文獻［8］中利用數(shù)值計算方法得到的結果進行對比，從圖2可以看出，利用本文計算獲得的結果與文獻［8］中的結果符合率高。因此，關于不對稱裂縫試井解釋模型的研究，可以采用本文解析法代替數(shù)值差分求解方法，在數(shù)值反演的過程中，以向量為基本運算單元，采用并行算法，提高計算速度。

圖2 有限導流不對稱垂直裂縫無量綱井底壓力曲線（不對稱因子為0.6）

2 多條非常規(guī)裂縫壓力動態(tài)特征

對于多段壓裂水平井，當開井投產時，M條裂縫同時生產，M條裂縫之間的相互影響可以通過疊加原理得到，應用前面研究結果，對每條裂縫的壓降進行疊加，獲得所有裂縫的壓力。根據(jù)文獻［19］和文獻［20］可知，當裂縫導流系數(shù)大到一定程度時，不對稱因子變化幾乎不影響壓力和壓力導數(shù)曲線形態(tài)，然而流體在井筒中的流動被視為無限導流，即井筒導流能力為無限大。因為裂縫不對稱是相對于井筒而言，并且每一條裂縫與井筒都存在一個交點，這個交點可以被視為“井筒”，交點兩端裂縫長度不相等，根據(jù)壓裂水平井滲流方式，儲集層流體首先從地層流入裂縫，再經過裂縫流入井筒，因此，可以將水平井井筒在x-y平面內彎曲而不改變原有的滲流方式。為了利用不對稱因子建立水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型，將多段壓裂常規(guī)對稱裂縫與水平井的交點沿裂縫方向平移，實現(xiàn)裂縫關于“井筒”不對稱，所以，可以采用井筒彎曲來進行水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋問題的研究（圖3）。

圖3 水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫示意

對于M條裂縫，共有2NM+1個未知數(shù)，聯(lián)立質量守恒方程構成2NM+1個方程組，通過該方程組可以求得2NM+1個未知數(shù)，將其代入（15）式，得到井底壓力。（19）式可以寫成以下矩陣形式：

3 試井曲線與影響因素分析

利用Stehfest數(shù)值反演方法，對（24）式進行編程計算，得到不考慮井儲和表皮效應的井底壓力曲線，再根據(jù)（23）式，繪制考慮井儲和表皮效應的壓力和壓力導數(shù)曲線。

3.1 試井曲線分析

水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井曲線[23-24]可分為7個階段。

（1）井儲階段 純井儲階段壓力和壓力導數(shù)重合，其曲線斜率都為1.00.

（2）雙線性流階段 沿裂縫流動的線性流和沿垂直裂縫方向的線性流，壓力導數(shù)斜率為0.25.

（3）早期線性流階段 只有地層中的流體向裂縫發(fā)生線性流，壓力導數(shù)曲線斜率為0.50.

（4）第一徑向流階段 地層中的流體圍繞單條裂縫產生徑向流，壓力導數(shù)曲線斜率為0.

（5）第二線性流階段 流體沿垂直于井筒的方向發(fā)生線性流，壓力導數(shù)曲線斜率為0.50.

（6）過渡流階段 壓力導數(shù)曲線斜率為0～0.50.

（7）系統(tǒng)徑向流階段 地層中的流體沿裂縫和井筒所組成的系統(tǒng)發(fā)生徑向流，壓力導數(shù)曲線斜率為0（圖4）。圖4中無量綱井儲系數(shù)為0.000 8，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為4條，無量綱導流系數(shù)為12，不對稱因子為0.4.

圖4 水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井曲線

3.2 影響因素分析

不對稱因子主要影響雙線性流和過渡流階段井底壓力和壓力導數(shù)曲線特征的變化，流體首先從地層流入壓裂裂縫，再沿裂縫流入井筒，由于井筒兩端裂縫不對稱，裂縫短的一端首先結束雙線性流階段，因此，裂縫不對稱因子越大，雙線性流階段結束的時間越早，即壓力導數(shù)曲線斜率為0.25的直線結束越早；由于壓裂裂縫為有限導流，裂縫越不對稱，在雙線性流階段到過渡流階段，井筒與裂縫之間的壓差就越大，流體流過該區(qū)域時所消耗的壓降就越大，所以，裂縫越不對稱，雙線性流階段到早期線性流階段井底壓力和壓力導數(shù)曲線幅度越高；當裂縫完全不對稱時，流體首先沿裂縫做線性流后直接進入早期線性流階段，因此，壓力導數(shù)曲線的斜率不為0.25（圖5）。

圖5 不對稱因子對井底壓力和壓力導數(shù)曲線的影響

壓裂裂縫條數(shù)主要影響雙線性流階段到第二線性流階段的井底壓力和壓力導數(shù)曲線特征的變化，在水平井長度不變的情況下，裂縫條數(shù)越多，裂縫與裂縫之間的間距就越小，裂縫條數(shù)的增加會提高水平井井筒附近地層的滲透率，水平井井筒壓力越低，水平井井筒與裂縫之間的壓差越大，對于定產生產的油井，原油流過該區(qū)域時所消耗的壓降就越小，所以，雙線性流階段到第二線性流階段井底壓力和壓力導數(shù)曲線幅度越低，系統(tǒng)徑向流階段壓力導數(shù)曲線對裂縫條數(shù)并不敏感，說明系統(tǒng)徑向流階段主要反映的是壓力波傳播到距離水平井井筒比較遠的區(qū)域的滲流特征（圖6）。圖6中無量綱井儲系數(shù)為0.000 5，表皮系數(shù)為0.01，無量綱導流系數(shù)為12，不對稱因子為0.4.

圖6 裂縫條數(shù)對井底壓力和壓力導數(shù)曲線的影響

本文主要分析儲集層被全部壓裂開時，裂縫沿水平井不對稱均勻分布對試井曲線的影響。從圖7可以看出，在壓裂裂縫條數(shù)不變的情況下，裂縫分布方式對試井特征曲線的影響主要集中在第二線性流階段，壓裂裂縫分布越不對稱，即裂縫與裂縫之間的距離越小，第二線性流階段持續(xù)的時間就越短，其壓力導數(shù)曲線斜率不為0.50，系統(tǒng)徑向流階段開始的時間越早（圖7）。圖7中無量綱井儲系數(shù)為0.000 5，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為5條，無量綱導流系數(shù)為12，不對稱因子為0.4.

圖7 裂縫分布方式對井底壓力和壓力導數(shù)曲線的影響

裂縫導流系數(shù)越大，說明流體在裂縫中的流動阻力越小，裂縫導流系數(shù)對試井曲線的影響主要在雙線性流階段和早期線性流階段。裂縫導流系數(shù)越大，井筒附近壓差就越大，流體流過該區(qū)域時所消耗的壓降就越小，沿裂縫方向流體流動阻力就越小，雙線性流階段結束時間越早（圖8）。因此，裂縫導流系數(shù)越大，早期井底壓力和壓力導數(shù)曲線在井儲階段向雙線性流階段過渡曲線幅度越低；當裂縫導流系數(shù)為無窮大時，雙線性流階段消失，該階段曲線特征為無限導流曲線特征。圖8中無量綱井儲系數(shù)為0.000 5，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為5條，不對稱因子為0.4.

圖8 裂縫導流系數(shù)對井底壓力和壓力導數(shù)曲線的影響

4 實例應用

勝利油田樊154區(qū)塊沙二段油藏多段壓裂水平井M井，測試水平井井段為2 963～3 779 m，水平段長度為602 m，水平段井筒距離油層頂面為17.5 m，井筒半徑為0.07 m，儲集層有效厚度為35 m，平均孔隙度為12.4%，平均滲透率為2.27 mD，原油黏度為1.60 mPa·s，油藏壓力為31.07 MPa，綜合壓縮系數(shù)為1.66×10-3MPa-1，原油體積系數(shù)為1.22.M井在3 185 m，3 550 m和3 760 m進行射孔壓裂，其加砂量分別為25.1 m3，25.6 m3和 35.0 m3，壓力恢復測試前油壓為4.00 MPa，日產油量為16.5 t.根據(jù)M井實測井底壓力與壓力導數(shù)的雙對數(shù)曲線形態(tài)，結合該油藏地質特征，選用有限導流水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型進行曲線擬合解釋，由于該井沒有進行微破裂影像監(jiān)測，視人工壓裂的3條裂縫均有效，并結合壓裂施工設計與現(xiàn)場實際資料，解釋裂縫擬合參數(shù)見表1.從圖9可以看出，由（21）式和（22）式計算所得到的無量綱井底壓力和壓力導數(shù)數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)擬合效果很好，因此（21）式和（22）式可以用來解釋多段壓裂不對稱試井資料。

圖9 （21）式和（22）式計算所得數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)擬合

定產生產時，首先將要繪制曲線的無量綱井筒儲集系數(shù)、無量綱導流系數(shù)、裂縫條數(shù)、表皮系數(shù)和不對稱因子代入（24）式中，計算Laplace空間下壓力和時間數(shù)據(jù)，再通過Stehfest數(shù)值反演方法獲得實空間無量綱壓力曲線，然后結合實際的壓降或壓力恢復測試數(shù)據(jù)，繪制出實測壓降或壓力恢復測試數(shù)據(jù)曲線及其導數(shù)曲線，通過不斷調整試井曲線的基本參數(shù)，使實測曲線與理論典型曲線達到最佳匹配，從而獲得地層和裂縫的相關參數(shù)（表1）。

表1 M井裂縫擬合參數(shù)結果

5 結論

（1）利用點源函數(shù)基本理論，建立單條裂縫有限導流不對稱裂縫試井解釋模型，將本文的解析方法與Berumen數(shù)值差分方法進行了對比驗證，本文給出的解析方法是可行的。

（2）利用疊加原理建立水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型，通過積分變換獲得模型半解析解，利用Stehfest數(shù)值反演方法繪制井底壓力和壓力導數(shù)曲線。

（3）多段壓裂非常規(guī)裂縫水平井與多段壓裂常規(guī)裂縫水平井存在較大的差異。不對稱因子越大，雙線性流階段結束的時間越早，當裂縫不對稱因子為1時，不出現(xiàn)雙線性流階段；裂縫條數(shù)越多，系統(tǒng)徑向流階段的井底壓力和壓力導數(shù)曲線幅度越低；裂縫分布越不對稱，第二線性流階段壓力導數(shù)曲線斜率為0.50的特征越不明顯；裂縫導流系數(shù)越大，雙線性流階段壓力導數(shù)曲線斜率為0.25的特征越不明顯。

符號注釋

A（i，j）——第 i條裂縫，第j個網格所對應的系數(shù)；

bf——裂縫寬度，m；

bfD——無量綱裂縫寬度；

C——井筒儲集系數(shù)，m3/MPa；

CD——無量綱井筒儲集系數(shù)；

CfD——無量綱導流系數(shù)；

Ct——綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；

h——儲集層厚度，m；

K——儲集層滲透率，mD；

K0——零階第二類Bessel函數(shù)；

Kf——裂縫滲透率，mD；

Lf——裂縫長度，m；

Lref——參考長度，本文取裂縫長度的一半，m；

M——裂縫條數(shù)，條；

N(xmD,α)——Green函數(shù)；

Ni——第i條裂縫網格數(shù)，個；

pa——任意位置地層壓力，MPa；

paD——任意位置無量綱地層壓力；

pˉaD——Laplace空間下任意位置無量綱地層壓力；

pˉD——沒有考慮井儲及表皮效應的無量綱井底壓力；

pf——裂縫壓力，MPa；

pfD——無量綱裂縫壓力；

pˉfD——Laplace空間下無量綱裂縫壓力；

pˉfDavg——Laplace空間下無量綱裂縫平均壓力；

pi——原始地層壓力，MPa；

pˉwD——考慮井儲及表皮效應的無量綱井底壓力；

q——單位長度裂縫流量，m2/d；

qD——無量綱單位長度裂縫流量；

qˉD——Laplace空間下無量綱單位長度裂縫流量；

qˉD(i,j)——Laplace空間下第i條裂縫，第j個網格無量綱單位長度裂縫流量；

Q——井底產量，m3/d；

s——Laplace變量；

S——表皮系數(shù)；

t——生產時間，d；

tD——無量綱生產時間；

x，y——分別為直角坐標系x軸和y軸；

xasmy——井相對于裂縫不對稱位置，m；

xD，yD——分別為無量綱直角坐標系x軸和y軸；

xw，yw——分別為井筒中心到直角坐標系原點x軸和y軸方向的位移，m；

xwD，ywD——分別為井筒中心到直角坐標系原點x軸和y軸方向的無量綱位移；

xD(i，j+1)，xD(i，j)——分別為沿著 x軸方向第 i條裂縫第 j個網格起點和終點無量綱坐標；

xmD(i，j)，ymD(i，j)——分別為沿著 x軸和 y軸方向第 i條裂縫第 j個網格中點無量綱坐標；

ywD(i,j)——第i條裂縫與井筒交點無量綱位置；

α——積分變量；

δ——Dirc函數(shù)；

θ——不對稱因子；

μ——流體黏度，mPa·s；

?——孔隙度，f；

ΔxDi——第i條裂縫網格無量綱步長。

［1］ 何東博，賈愛林，冀光，等.蘇里格大型致密砂巖氣田開發(fā)井型井網技術［J］.石油勘探與開發(fā)，2013，40（1）：79-89.

HE Dongbo，JIA Ailin，JI Guang，et al.Well type and pattern optimi?zation technology for large scale tight sand gas，Sulige gas field［J］.Petroleum Exploration and Development，2013，40（1）：79-89.

［2］ CINCO L H，SAMANIEGO V F，DOMINGUEZ A N.Transient pres?sure behavior for a well with a finite?conductivity vertical fracture［J］.Society of Petroleum Engineers Journal，1978，18（4）：253-264.

［3］ CINCO L H，MENG H Z.Pressure transient analysis of wells with fi?nite conductivity vertical fractures in double porosity reservoirs［R］.SPE 18172，1988.

［4］ 陳汾君，湯勇，劉世鐸，等.低滲致密氣藏水平井分段壓裂優(yōu)化研究［J］.特種油氣藏，2012，19（6）：85-89.

CHEN Fenjun，TANG Yong，LIU Shiduo，et al.Study on the optimi?zation of staged fracturing of a horizontal well in a tight gas reservoir with low permeability［J］.Special Oil&Gas Reservoirs，2012，19（6）：85-89.

［5］ 谷建偉，于秀玲，田同輝，等.致密低滲透氣藏壓裂水平井產能計算與分析［J］.特種油氣藏，2016，23（2）：77-82.

GU Jianwei，YU Xiuling，TIAN Tonghui，et al.Fractured horizontal well productivity forecast and analysis in low?permeability tight gas reservoir［J］.Special Oil&Gas Reservoirs，2016，23（2）：77-82.

［6］ RILEY M F，BRIFHAM W E，HORNE R N.Analytic solutions for elliptical finite?conductivity fractures［R］.SPE 22656，1991.

［7］ TIAN D，LU J，NGUYEN H，et al.Evaluation of fracture asymmetry of finite conductivity fractured wells［J］.Journal of Energy Resourc?es Technology，2010，132（1）：11-17.

［8］ BERUMEN S，TIABB D，RODRIGUEZA F.Constant rate solutions for a fractured well with an asymmetric fracture［J］.Journal of Petro?leum Science and Engineering，2000，25（1）：49-58.

［9］ LUO W J.Preseeure transient analysis of multiwing fractures con?nected to a vertical wellbore［R］.SPE 171556，2015.

［10］ WANG L，WANG X.Type curves analysis for asymmetrically frac?tured wells［J］.Journal of Energy Resources Technology，2014，136（2）：1-8.

［11］ 熊健，劉海上，趙長虹，等.低滲透氣藏不對稱垂直裂縫井產能預測［J］.油氣地質與采收率，2013，20（6）：76-79.

XIONG Jian，LIU Haishang，ZHAO Changhong，et al.Study on pro?ductivity of asymmetrical vertical fracture well in low?permeability gas reservoirs［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2013，20（6）：76-79.

［12］ 曹寶軍，李相方，姜子杰，等.壓裂火山巖氣井不對稱裂縫產能模型研究［J］.天然氣工業(yè)，2009，29（8）：79-81.

CAO Baojun，LI Xiangfang，JIANG Zijie，et al.A research on the asymmetric fracture productivity models for fracturing volcanic gas wells［J］.Natural Gas Industry，2009，29（8）：79-81.

［13］ 王本成，賈永祿，李友全，等.多段壓裂水平井試井模型求解新方法［J］.石油學報，2013，34（6）：1 151-1 158.

WANG Bencheng，JIA Yonglu，LI Youquan，et al.A new solution of well test model for multistage fractured horizontal wells［J］.Acta Petrolei Sinica，2013，34（6）：1 151-1 158.

［14］ 李龍龍，姚軍，李陽，等.分段多簇壓裂水平井產能計算及其分布規(guī)律［J］.石油勘探與開發(fā)，2014，41（4）：457-462.

LI Longlong，YAO Jun，LI Yang，et al.Productivity calculation and distribution of staged multi?cluster fractured horizontal wells［J］.Petroleum Exploration and Development，2014，41（4）：457-462.

［15］ OZKAN E，RAGHAVAN R.New solutions for well?test?analysis problems：part 1?analytical considerations［J］.SPE Formation Eval?uation，1991，6（3）：359-368.

［16］ OZKAN E，RAGHAVAN R.New solutions for well?test?analysis problems：part 2 ?computional considerations［J］.SPE Formation Evaluation，1991，6（3）：369-378.

［17］ GUO J J，WANG H T，ZHANG L H.Transient pressure and pro?duction dynamics of multi?stage fractured horizontal wells in shale gas reservoirs with stimulated reservoir volume［J］.Journal of Atu?ral Gas Science and Engineering，2016，35（1）：425-443.

［18］ TIAN Q，LIU P H.Pressure transient analysis of non?planar asym?metric fractures connected to vertical wellbores in hydrocarbon res?ervoirs［J］.Intenational Journal of Hydrogen Energy，2017，42（29）：18 146-18 155.

［19］ 包勁青，劉合，張廣明，等.分段壓裂裂縫擴展規(guī)律及其對導流能力的影響［J］.石油勘探與開發(fā)，2014，41（2）：281-289.

BAO Jinqing，LIU He，ZHANG Guangming，et al.Fracture propa?gation laws in staged hydraulic fracturing and their effects on frac?ture conductivities［J］.Petroleum Exploration and Development，2014，41（2）：281-289.

［20］ 王曉冬，羅萬靜，侯曉春，等.矩形油藏多段壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)壓力分析［J］.石油勘探與開發(fā)，2014，41（1）：74-94.

WANG Xiaodong，LUO Wanjing，HOU Xiaochun，et al.Transient pressure analysis of multiple?fractured horizontal wells in boxed reservoirs［J］.Petroleum Exploration and Development，2014，41（1）：74-94.

［21］ ZAKIAN V.Numercial inversion of Laplace transform［J］.Elec?tronics Letters，1970，99（5）：47-49

［22］ 江濤，王玉根，張修明，等.在頁巖氣試井分析中Bessel函數(shù)溢出問題的解決方法［J］.天然氣工業(yè)，2017，37（6）：42-45.

JIANG Tao，WANG Yugen，ZHANG Xiuming，et al.Solution to the numerical overflow of Bessel functions in the analysis of shale gas well testing［J］.Natural Gas Industry，2017，37（6）：42-45.

［23］ 任龍，蘇玉亮，郝永卯，等.基于改造模式的致密油藏體積壓裂水平井動態(tài)分析［J］.石油學報，2015，36（10）：1 272-1 280.

REN Long，SU Yuliang，HAO Yongmao，et al.Dynamic analysis of SRV?fractured horizontal wells in tight oil reservoirs based on stim?ulated patterns［J］.Acta Petrolei Sinica，2015，36（10）：1 272-1 280.

［24］ 呂志凱，冀光，位云生，等.致密氣藏水平井產能圖版及應用［J］.特種油氣藏，2014，21（6）：105-110.

LV Zhikai，JI Guang，WEI Yunsheng，et al.Horizontal well produc?tion type?curve and its application in tight gas reservoirs［J］.Spe?cial Oil&Gas Reservoirs，2014，21（6）：105-110.