江文輝，徐 菱*,1b，李延來,1b，李思雯，丁小東

(1.西南交通大學(xué)a.交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，b.綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，成都610031；2.中國鐵道科學(xué)研究院運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)研究所，北京100081)

0 引言

鐵路是我國貨物運(yùn)輸?shù)闹饕袚?dān)者，但近年來隨著航空、公路等多種運(yùn)輸方式的快速發(fā)展，鐵路貨運(yùn)總量持續(xù)下降.為扭轉(zhuǎn)鐵路貨運(yùn)量逐年下滑的困境，2013年鐵路實(shí)行貨運(yùn)改革，貨改的一項(xiàng)主要內(nèi)容是貨運(yùn)市場的定價(jià)權(quán)將逐步放開，由企業(yè)自主定價(jià)，自此鐵路貨運(yùn)市場迸發(fā)出新的活力.

對(duì)于特定開行的貨運(yùn)班列，通常運(yùn)力較為固定且不可儲(chǔ)存，因此在運(yùn)力固定、需求不確定及預(yù)售期有限等硬性約束條件下，如何對(duì)貨運(yùn)班列的運(yùn)力進(jìn)行有效管理以獲得最大收益，是鐵路貨運(yùn)企業(yè)面臨的重要決策.基于此，本文利用收益管理的思想，針對(duì)貨運(yùn)企業(yè)面臨的運(yùn)力分配和定價(jià)問題展開研究，以期為鐵路貨運(yùn)企業(yè)有效控制運(yùn)力提供科學(xué)的決策依據(jù).

關(guān)于運(yùn)輸問題中的運(yùn)力(存量)控制和定價(jià)問題，國內(nèi)外許多學(xué)者已做了一些有益的研究：Lee等[1]研究了海運(yùn)集裝箱運(yùn)輸?shù)南湮环峙鋯栴}，并給出了最優(yōu)分配的閥值策略；Lu等[2]構(gòu)建了考慮聯(lián)盟協(xié)議情況的艙位優(yōu)化互換分配和定價(jià)聯(lián)合決策模型；卜祥智等[3]建立了考慮和不考慮貨主價(jià)格參考效應(yīng)2種情形下兩級(jí)海運(yùn)鏈的運(yùn)力分配和定價(jià)聯(lián)合決策模型；Levin等[4]研究了多條平行貨運(yùn)航班在合同市場和現(xiàn)貨市場的運(yùn)力控制問題，上述研究問題的背景均缺乏鐵路運(yùn)輸多列車、多站段的網(wǎng)絡(luò)特性.楊華龍等[5]研究了集裝箱班輪運(yùn)輸中2個(gè)市場的艙位分配和定價(jià)問題，隨后劉迪等[6]將模型拓展到多節(jié)點(diǎn)海鐵聯(lián)運(yùn)情形，雖然也建立了隨機(jī)非線性模型，但最后都轉(zhuǎn)化為確定性模型進(jìn)行求解，缺少對(duì)需求隨機(jī)性的探討.You等[7]針對(duì)多站段2個(gè)票價(jià)等級(jí)的鐵路票額分配問題建立了1個(gè)概率非線性整數(shù)規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)粒子群算法求解；趙翔[8]、錢丙益[9]等在此基礎(chǔ)上分別研究了多列車多停站方案情形和考慮顧客buy-up行為情形的票額分配問題，研究內(nèi)容針對(duì)客運(yùn)鐵路，并不完全適用鐵路貨運(yùn)問題；Hellermann[10]等從契約理論的角度研究運(yùn)輸雙市場的運(yùn)力分配或定價(jià)問題.

此外，注意到列車的停靠方案直接影響著列車的運(yùn)力分配，但目前考慮列車停站約束的運(yùn)力控制問題的研究成果甚少，文獻(xiàn)[8]雖然考慮了列車的停站問題，但是將列車的停站方案設(shè)定為已知條件且研究背景是客運(yùn)鐵路.關(guān)于列車停站問題的研究成果可參考李得偉[11]等學(xué)者.

針對(duì)以上不足，本文將考慮列車停站約束和2個(gè)市場需求的隨機(jī)性，以期望收益最大化為目標(biāo)建立運(yùn)力分配和定價(jià)聯(lián)合決策的混合整數(shù)概率非線性規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)粒子群算法對(duì)模型求解.

1 模型建立

1.1 問題描述和符號(hào)說明

假設(shè)某一個(gè)鐵路貨運(yùn)企業(yè)經(jīng)營1條包含N個(gè)站點(diǎn)的鐵路貨運(yùn)線，某一時(shí)段可開行K列列車，每列貨運(yùn)班列的最大運(yùn)力為Ck，不允許超售.定義相鄰2個(gè)站點(diǎn)構(gòu)成的路程稱為區(qū)段，1個(gè)或多個(gè)區(qū)段構(gòu)成了鐵路運(yùn)行的路徑稱OD.貨運(yùn)企業(yè)面臨的貨運(yùn)市場可分為由大客戶組成的合同市場和由零散客戶組成的自由市場.合同市場上各OD對(duì)(i,j)的運(yùn)力需求是較為穩(wěn)定的大客戶，需求量表現(xiàn)為某種概率分布，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)可分別設(shè)為fij(?)、Fij(?)，相應(yīng)OD上運(yùn)力的單位運(yùn)價(jià)為自由市場面臨的是貨運(yùn)量需求波動(dòng)較大的零散客戶，可用關(guān)于運(yùn)價(jià)的線性函數(shù)來描述，并用隨機(jī)需求因子來刻畫自由市場需求的波動(dòng)性，即dij=αij-βij riBj+εij，其中，系數(shù)αij,βij的取值需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)采用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)出來為自由市場關(guān)于OD對(duì)(i,j)的單位運(yùn)價(jià)，εij為隨機(jī)變量，不妨設(shè)其服從[-eij,eij]上的均勻分布.相關(guān)符號(hào)說明如下：

S——鐵路貨運(yùn)企業(yè)所經(jīng)營的1條鐵路運(yùn)輸線所包含的鐵路貨運(yùn)站點(diǎn)集合，S={i|i=1,2,…,N}，易知該鐵路運(yùn)輸線共有N-1個(gè)運(yùn)行區(qū)段，可用m來索引區(qū)段序列，即m=1,2,…,N-1；

G——鐵路貨運(yùn)企業(yè)在該條鐵路運(yùn)輸線上可開行的列車集

Ckm——列車k在區(qū)段m上的最大貨運(yùn)能力，通常取Ckm=Ck，k=1,2,…,K，m=1,2,…,N-1；

(i,j)——列車運(yùn)行路徑(OD對(duì))，?i,j滿足1≤i＜j≤N；

yki——列車k在車站i的停站決策，若yki=1，則列車k在車站i停靠，yki=0時(shí)反之，?i∈S，?k∈G；

決策變量：

yki——列車的停站約束決策，為0-1變量，?i∈S,?k∈G，變量個(gè)數(shù)為KN，記 為y=(y11,y12,…,y1N,…,yk1,yk2,…,ykN,…).

1.2 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)就是鐵路貨運(yùn)企業(yè)的收益最大化.鐵路貨運(yùn)企業(yè)的收益分為合同市場和自由市場2個(gè)部分，首先分析合同市場的收益情況.

綜上可知，是鐵路貨運(yùn)企業(yè)的總收益為

1.3 約束條件

(1)區(qū)段容量約束.

對(duì)于任意區(qū)段m(m=1,2,…,N-1)，列車k(?k∈G)在區(qū)段m上的合同市場和自由市場的運(yùn)力分配量之和不能大于列車k在區(qū)段m上所能提供的最大運(yùn)力，即

(2)列車停站約束.

影響列車停站的因素有很多，如：車站接發(fā)列車能力、站點(diǎn)服務(wù)頻率、列車最大停站數(shù)目、客流量約束和列車停站模式適應(yīng)性等.為簡化問題，本文主要考慮站點(diǎn)服務(wù)頻率、列車停站數(shù)目及站間服務(wù)可達(dá)性3個(gè)因素.

(a)站點(diǎn)服務(wù)頻率約束，是指對(duì)于某個(gè)車站i(i=1,2,…,N)，要求在給定時(shí)間段其服務(wù)頻率不得低于fi(次/單位時(shí)間)，即

(b)列車停站數(shù)目約束，列車停站數(shù)量會(huì)影響列車的運(yùn)行速度，增加貨物的在途時(shí)間，影響鐵路貨運(yùn)的時(shí)效性，而列車停站數(shù)目較少又難以承接足夠的貨運(yùn)量，導(dǎo)致列車的運(yùn)力不能夠得到充分利用.因此需要在效率和效益之間取得平衡，可為每列列車設(shè)置1個(gè)停站數(shù)目的下限和上限，即

(c)站間服務(wù)可達(dá)性約束，考慮到N個(gè)貨運(yùn)車站中，車站的等級(jí)、貨運(yùn)站間貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量都不相同，因此會(huì)要求某兩個(gè)車站之間有直達(dá)班列，基于此可用式(9)來描述車站i與車站j(i＜j)間的直達(dá)關(guān)系.

(3)自由市場定價(jià)約束.

鐵路貨運(yùn)企業(yè)在自由銷售市場將面臨大量的零散客戶，此時(shí)鐵路貨運(yùn)企業(yè)處于主導(dǎo)地位即貨運(yùn)企業(yè)具有一定的定價(jià)權(quán).一般來說，此時(shí)自由市場在每個(gè)OD上的運(yùn)價(jià)應(yīng)不小于相應(yīng)的合同運(yùn)價(jià)，且不大于相應(yīng)的價(jià)格上限，即

由上述目標(biāo)函數(shù)和約束條件，整理可得停站約束下多列車運(yùn)力分配與定價(jià)聯(lián)合決策模型(M1)為

2 模型求解

模型(M1)為混合整數(shù)概率非線性規(guī)劃問題，求解該類問題常采用遺傳算法、模擬退火算法等啟發(fā)式算法，粒子群算法具有群體智能、內(nèi)在并行性、迭代格式簡單、占用內(nèi)存空間小、可快速收斂到最優(yōu)解所在的區(qū)域等優(yōu)點(diǎn)，在求解大規(guī)模問題尤其是NP難問題等方面得到廣泛應(yīng)用.因此，本文基于粒子群算法的思想求解該問題.具體算法步驟如下：

Step 1種群規(guī)模、迭代次數(shù)及種群中各粒子位置和速度的初始化.設(shè)種群規(guī)模為L，最大迭代次數(shù)為tmax，粒子初始位置的獲取通過求解模型(M2).

模型(M2)是將模型(M1)中自由市場和合同市場的隨機(jī)需求用其期望值代替的確定性模型，可通過常用的求解軟件(如LINGO)很容易求得模型(M2)的解由此可定義第l(1≤l≤L)個(gè)粒子的初始解為，若問題的搜索空間為D維，則每個(gè)微粒向量中包含D個(gè)分量，即

式中：cl——各分量服從(-c,c)上的均勻分布，c為整數(shù)，其大小可以根據(jù)實(shí)際情況而定.

Step 2計(jì)算每個(gè)微粒的目標(biāo)函數(shù)值(即適應(yīng)度值).設(shè)為第l個(gè)粒子在第t(1≤t≤tmax)次迭代的位置，記為第l個(gè)粒子在第t次迭代時(shí)的函數(shù)值，在計(jì)算適應(yīng)度值時(shí)，由于變量中存在整數(shù)約束條件，因此需要對(duì)部分分量進(jìn)行四舍五入取整處理.

Step 3更新粒子的位置和速度.設(shè)為第l個(gè)粒子在第t次迭代時(shí)的速度，粒子的速度更新公式為式(30)，位置更新公式為式(31).

式中：w——慣性權(quán)重，為避免算法早熟和后期在全局最優(yōu)解附近產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，可以采用線性變化的權(quán)重，讓慣性權(quán)重從最大值wmax線性減少到最小值wmin，w的迭代次數(shù)t的公式為w=

λ1,λ2——正的學(xué)習(xí)因子；

γ1,γ2——0～1均勻分布的隨機(jī)數(shù)；

Step 4計(jì)算位置更新后的每個(gè)粒子的適應(yīng)度，將每個(gè)微粒的適應(yīng)度與以前經(jīng)歷過的最優(yōu)位置所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值作比較，如果更新后微粒的適應(yīng)度值較優(yōu)，則將其當(dāng)前的位置作為該微粒的

Step 5將每一個(gè)粒子的適應(yīng)度值與整個(gè)粒子群的最好位置比較，如果較好，則更新粒子群的全局最優(yōu)解

Step 6檢查是否滿足終止條件(通常判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)tmax)，如果達(dá)到終止條件則算法終止，輸出最優(yōu)解，否則返回Step4.

3 算例分析

考慮某一個(gè)貨運(yùn)企業(yè)經(jīng)營1條包含6個(gè)車站的鐵路貨運(yùn)線，某一時(shí)段可開行2列貨運(yùn)班列，最大運(yùn)力分別為2 500和2 000.此外，通過歷史數(shù)據(jù)可以統(tǒng)計(jì)出合同市場的需求狀況，可知合同市場各個(gè)OD對(duì)的需求服從正態(tài)分布，參數(shù)取值如表1所示.自由市場各個(gè)OD的需求參數(shù)如表2所示，同時(shí)為簡化問題可設(shè)自由市場各個(gè)OD隨機(jī)需求因子εij均服從區(qū)間[-30,30]上的均勻分布，表3給出了各個(gè)OD在合同市場的單位運(yùn)價(jià)和自由市場定價(jià)的價(jià)格上限.

假定列車的停站約束為：①2列貨運(yùn)班列在起點(diǎn)車站(車站1)和終點(diǎn)車站(車站6)必須停靠；②列車1和列車2的停站數(shù)目的下限和上限分別為[3,5]和[3,4]；③要求車站4到車站6至少有1列車直達(dá)；④所有車站的服務(wù)頻率至少為1次.

粒子群算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)定：種群規(guī)模為L=40，最大迭代次數(shù)tmax=300，慣性權(quán)重wmax=0.9，wmin=0.4，學(xué)習(xí)因子λ1=λ2=0.5.然后通過Matlab工具編程求解可得到：各貨運(yùn)班列在合同市場和自由市場的運(yùn)力分配量如表4所示；自由市場各OD的單位運(yùn)價(jià)如表5所示；以及列車的停站方案，如圖1(a)所示.

表1 合同市場各個(gè)OD對(duì)參數(shù)(μij,σij)Table 1 OD parameters of alloment markrt(μij,σij)

表2 自由市場市場的OD對(duì)參數(shù)(αij,βij)Table 2 OD parameters of spot market(αij,βij)

表3 價(jià)格參數(shù)(,)Table 3 Price parameters(,) (元/單位運(yùn)力)

表3 價(jià)格參數(shù)(,)Table 3 Price parameters(,) (元/單位運(yùn)力)

175,90141,170214,256293,350325,390 2—67,80139,167218,260250,300 3—72,87152,183184,220 4—79,95111,135 5————40,50

表4 2個(gè)市場運(yùn)力分配情況Table 4 Capacity allocation results

表4 2個(gè)市場運(yùn)力分配情況Table 4 Capacity allocation results

1239,324,0,00,0,245,4340,0,586,595198,381,0,0542,818,136,7 2—0,0,0,00,0,0,00,3,0,0129,428,0,0 3—0,0,2,290,0,0,00,0,215,429 4—0,0,0,00,0,475,738 5— — — —174,294,0,0

表5 自由市場各OD的定價(jià)方案Table 5 Each OD pricing results for spot market(元/單位運(yùn)力)

圖1 不同情況下列車停站方案Fig.1 Train stop schedule plan under different circumstances

以相同的列車停站約束條件和市場需求數(shù)據(jù)，采用2個(gè)市場統(tǒng)一定價(jià)策略，即統(tǒng)一采用合同運(yùn)價(jià)，可得到2個(gè)市場的運(yùn)力分配情況和列車停站方案分別如表6和圖1(b)所示.此外，通過計(jì)算可知2個(gè)市場差異化定價(jià)可獲得期望收益為1 463 583元，2個(gè)市場統(tǒng)一定價(jià)可獲得期望收益為1 450 275元，即采用2個(gè)市場差異化定價(jià)可使期望收益增加13 308元.

進(jìn)一步分析市場需求波動(dòng)對(duì)鐵路貨運(yùn)企業(yè)收益的影響.圖2給出了自由市場在不同隨機(jī)需求因子εij取值情況下，采用2個(gè)市場差異化定價(jià)相對(duì)于2個(gè)市場統(tǒng)一定價(jià)期望收益提高的比例，可知，自由市場需求波動(dòng)越大，采用2個(gè)市場差異化定價(jià)策略越優(yōu).

圖2 自由市場隨機(jī)需求因子εij對(duì)總期望收益提高的影響Fig.2 The effect of spot markrt stochastic demand factorεij on the total expect revenue

表6 統(tǒng)一定價(jià)策略下2個(gè)市場運(yùn)力分配情況Table 6 Capacity allocation results under the unified pricing strategy

表6 統(tǒng)一定價(jià)策略下2個(gè)市場運(yùn)力分配情況Table 6 Capacity allocation results under the unified pricing strategy

1236,321,0,0245,428,0,0322,894,0,00,0,160,3460,55,679,811 2—15,17,0,00,0,0,00,0,0,0258,266,0,0 3—0,0,0,00,0,0,0210,494,0,0 4—0,0,0,0476,739,0,0 5— — — —0,0,180,288

4 結(jié)論

本文針對(duì)鐵路貨運(yùn)企業(yè)面臨的合同、自由雙市場運(yùn)力控制和定價(jià)問題，建立了一個(gè)考慮多列車停站約束、2個(gè)市場運(yùn)力分配和定價(jià)的混合整數(shù)概率非線性規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)粒子群算法求解，通過算例驗(yàn)證了模型和算法的有效性.此外，本文以2個(gè)市場統(tǒng)一定價(jià)策略所得的運(yùn)力分配結(jié)果為對(duì)比方案，結(jié)果表明，實(shí)施2個(gè)市場差異化定價(jià)能夠顯著增加貨運(yùn)企業(yè)的收益，且自由市場需求波動(dòng)性越大收益增加越明顯.但是本文采用的運(yùn)力分配和定價(jià)策略仍屬于靜態(tài)策略，在整個(gè)運(yùn)力銷售周期對(duì)運(yùn)力和運(yùn)價(jià)進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制將具有重大意義，列車的?？糠桨赋藵M足特定的硬性約束條件外，還應(yīng)該考慮列車滿載率、客戶滿意度等問題都有待進(jìn)一步研究.

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