張冠軍, 李天勻, 朱 翔

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院， 武漢 430074)

圓柱殼結(jié)構(gòu)在船舶與海洋工程、航空航天、石油開(kāi)采及管道輸送等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如飛機(jī)機(jī)體和輸油管道等都是圓柱殼結(jié)構(gòu)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)特性也進(jìn)行了大量的研究。而偏心柱殼在實(shí)際工程中也有很大的應(yīng)用空間，如偏心管道，另一方面，即使是針對(duì)原設(shè)計(jì)的圓柱殼結(jié)構(gòu)，由于制造工藝、加工誤差等諸多因素的影響，也可能產(chǎn)生不可忽略的偏心率等偏差[1-3]。由于其截面的特殊性，想要獲得這類(lèi)殼體的解析解或半解析解要比理想圓柱殼困難得多。這是因?yàn)閳A柱殼的動(dòng)力平衡方程可以化為一個(gè)常系數(shù)偏微分方程來(lái)進(jìn)行求解，但偏心柱殼的動(dòng)力平衡方程為一個(gè)變系數(shù)的偏微分方程，難以求解。因此關(guān)于偏心柱殼振動(dòng)特性的相關(guān)研究目前還未廣泛展開(kāi)。

Chang等[4]最早對(duì)偏心柱殼進(jìn)行了靜力學(xué)分析，將偏心柱殼分為常厚度和變厚度部分，通過(guò)界面處位移及應(yīng)力連續(xù)建立力學(xué)平衡方程，方程中存在大量的為滿足連續(xù)性條件而引入的系數(shù)，不便求解，文中也只給出了理論推導(dǎo)，并未計(jì)算實(shí)際算例。針對(duì)偏心柱殼以及周向變厚度殼體，后來(lái)研究者主要采用傳遞矩陣法、級(jí)數(shù)展開(kāi)法和有限元法等進(jìn)行求解。熊路等[5]將偏心柱殼沿周向微分，假設(shè)在每個(gè)微段內(nèi)殼體厚度是均勻的，采用傳遞矩陣法結(jié)合指數(shù)矩陣精細(xì)積分法求解了偏心柱殼的固有頻率，文中只考慮了對(duì)稱(chēng)模態(tài)。黃玉盈等[6]采用傳遞矩陣法研究了一端剛固的軸向變厚度圓柱蓄水池的自由振動(dòng)特性。曹雷等[7]同樣采用傳遞矩陣法對(duì)軸向加肋變厚度圓柱殼體的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，但傳遞矩陣法受單元傳遞矩陣的計(jì)算精度、傳遞矩陣連乘過(guò)程中的累積誤差以及計(jì)算機(jī)的舍入(或截?cái)?誤差影響，狀態(tài)向量在傳遞過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定的精度損失，對(duì)于指數(shù)矩陣還存在收斂穩(wěn)定性問(wèn)題，且計(jì)算效率較低。Hasheminejad等[8-9]通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)假設(shè)殼體變量函數(shù)，對(duì)內(nèi)外圓不同心的偏心中空?qǐng)A柱體自由振動(dòng)及聲輻射問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)二分法求解殼體的振動(dòng)方程；該方法主要針對(duì)壁厚較厚的偏心柱殼，但該方法最后的頻率方程過(guò)于繁雜，大量未知系數(shù)相互耦合，需要進(jìn)行截?cái)啵嬖谝欢ń財(cái)嗾`差。Bacciocchi等[10]采用一種廣義積分法研究變厚度板殼的自由振動(dòng)特性，該方法類(lèi)似于有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。Vidal等[11]則采用有限元法研究了中間帶有偏心孔的圓柱殼的自由振動(dòng)特性，該方法建模工作量較大且不利于參數(shù)化分析。

本文根據(jù)偏心柱殼截面的幾何特性，將偏心柱殼轉(zhuǎn)化為周向變厚度柱殼。基于Flügge薄殼理論[12]推導(dǎo)出偏心柱殼的受迫振動(dòng)方程，采用波傳播的思想將偏心柱殼位移以雙Fourier級(jí)數(shù)形式展開(kāi)，周向變厚度表示為周向角度坐標(biāo)的函數(shù)，通過(guò)三角函數(shù)變換將變系數(shù)的偏微分方程組轉(zhuǎn)換為周向模態(tài)階數(shù)相互耦合的有限階常系數(shù)線性方程組，通過(guò)求解得到偏心柱殼的受迫振動(dòng)位移響應(yīng)，進(jìn)而計(jì)算偏心柱殼的輸入功率流，并研究了殼體相關(guān)參數(shù)對(duì)輸入功率流的影響。

1 研究對(duì)象

1.1 偏心柱殼截面的幾何形狀

偏心柱殼橫截面如圖1所示，A為外圓圓心，B為內(nèi)圓圓心，r1為外圓半徑，r2為內(nèi)圓半徑。O為AB中點(diǎn)，|AB|=e為偏心距。C為外圓上一點(diǎn)，OC交內(nèi)圓于點(diǎn)D。

圖1 偏心柱殼橫截面示意圖

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，偏心柱殼可視為以O(shè)為圓心，殼體平均半徑為R=(r1+r2)/2，厚度為h(θ)=h0-ecosθ的周向變厚度圓柱殼，h0=r1-r2，表示殼體平均厚度。

1.2 基本假設(shè)及坐標(biāo)系

偏心柱殼幾何參數(shù)和坐標(biāo)如圖2所示，殼體無(wú)限長(zhǎng)，材料密度為ρ，楊氏模量為E，泊松比為μ，材料阻尼因子為η。坐標(biāo)系選取圓柱坐標(biāo)系(x,θ,r)，其中x為軸向坐標(biāo)，θ為周向坐標(biāo)，r為殼體徑向坐標(biāo)，并設(shè)u,v,w分別表示殼體中面的軸向、周向和徑向位移。

圖2 偏心柱殼幾何參數(shù)和坐標(biāo)

2 基本理論推導(dǎo)

2.1 殼體中的位移及內(nèi)力基本關(guān)系

根據(jù)Flügge薄殼理論，殼體的幾何方程為

(1)

式中:εx和εθ為殼體中面內(nèi)各點(diǎn)的線應(yīng)變;γxθ為剪應(yīng)變；κx，κθ和τ代表了中面內(nèi)各點(diǎn)主曲率及扭率的改變。

殼體物理方程為

(2)

式中；Nx,Nθ分別為x和θ方向單位寬度上的面內(nèi)力；Nθx和Nxθ為平面內(nèi)單位寬度上的剪切力；Mx,Mθ和Mxθ,Mθx分別為單位寬度上的彎矩和扭矩。K和D分別表示殼體微元的拉壓剛度和彎曲剛度，表達(dá)式為

(3)

殼體內(nèi)的動(dòng)力平衡方程為

(4)

式中:Qx和Qθ分別為x和θ方向單位寬度上的橫剪力；F為殼體法向受到的外力，外法線方向?yàn)檎?/p>

將方程組(4)中第4式和第5式代入到第2式和第3式并聯(lián)立第1式，可得到新的平衡方程

(5)

為便于推導(dǎo)，引入如下無(wú)量綱參數(shù)

(6)

φ記為偏心柱殼的偏心率，表示殼體偏心距與平均厚度的比值，用來(lái)衡量殼體的偏心程度。

此時(shí)有：

h=h0(1-φcosθ)

(7)

此時(shí)式(3)中殼體的拉壓剛度K和彎曲剛度D均是與周向坐標(biāo)θ有關(guān)的函數(shù)，設(shè)：

(8)

將式(7)代入式(8)中有：

K=K0(1-φcosθ)，D=D0(1-φcosθ)3

(9)

將式(1)，(2)，(9)代入式(5)中，可得到矩陣形式表達(dá)的平衡方程

(10)

其中各算子Lij(i,j=1,2,3)表達(dá)式如下：

L33=(f+Hf3+6Hf2f′+3Hf2f′2)w+

2.2 偏心柱殼的位移展開(kāi)形式及外力表達(dá)式

參考圖1可知，偏心柱殼僅有一條對(duì)稱(chēng)軸，即圖中x軸，存在對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)位移模式。對(duì)于對(duì)稱(chēng)位移模式，可以將殼體位移在軸向和周向展開(kāi)成雙Fourier級(jí)數(shù)形式

(11)

對(duì)于反對(duì)稱(chēng)位移模式，其展開(kāi)形式為

(12)

式中:l是軸向波數(shù)解的序號(hào);kl為殼體的軸向波數(shù)；Ul,n，Vl,n，Wl,n分別為對(duì)應(yīng)于周向模態(tài)階數(shù)n的殼體軸向、周向和徑向位移的Fourier幅值系數(shù)。

設(shè)柱殼在點(diǎn)(x0,θ0)處受到簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)載荷

F(x,θ,t)=F0δ(θ)δ(x)exp(iωt)

(13)

式中：F0表示作用在(x0,θ0)處的集中力幅值。當(dāng)在殼體上作用多個(gè)集中點(diǎn)激勵(lì)力時(shí)，將上式中的θ改寫(xiě)為θj(j=0,1,2,...)。

上式中，令x=0，θ=θ0得：

F(x,θ,t)=F0δ(θ0)δ(0)exp(iωt)

(14)

對(duì)于對(duì)稱(chēng)位移模式，將其展開(kāi)成周向模態(tài)階數(shù)疊加的形式：

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)可得：

F0δ(θ0)δ(0)exp(iωt)=

(16)

對(duì)上式進(jìn)行正交化處理可得：

(17)

對(duì)于反對(duì)稱(chēng)位移模式：

(18)

2.3 偏心柱殼的受迫振動(dòng)方程

將式(11)或式(12)及式(15)代入式(10)，并通過(guò)三角函數(shù)變換，可以得到三個(gè)關(guān)于Ul,n，Vl,n，Wl,n相互耦合的新方程

(19)

式(19)中的位移幅值Ul,n，Vl,n，Wl,n關(guān)于不同周向模態(tài)階數(shù)n相互耦合成無(wú)窮多個(gè)線性方程，需對(duì)方程組進(jìn)行截?cái)嗲蠼?，即?duì)n進(jìn)行截?cái)噙x取。

當(dāng)n取有限項(xiàng)p時(shí)，可以得到3p個(gè)線形方程，并寫(xiě)成矩陣形式：

=F

(20)

M為3p階方陣，由式(19)中的系數(shù)循環(huán)迭代而成。

則由式(20)可得：

(21)

則殼體位移幅值系數(shù)Ul,n，Vl,n，Wl,n可由式(21)得到。

2.4 殼體輸入功率流

根據(jù)振動(dòng)功率流的定義，因外激勵(lì)力呈簡(jiǎn)諧變化，故位移響應(yīng)和速度響應(yīng)均呈簡(jiǎn)諧變化，設(shè)：

(22)

(23)

則：

(24)

因此，可以求得外力輸入到結(jié)構(gòu)的功率為

(25)

為便于比較，將輸入功率流無(wú)量綱化為

(26)

將輸入功率流進(jìn)行級(jí)運(yùn)算可得

(27)

式中:W0=1×10-12W。

3 數(shù)值計(jì)算及分析

3.1 算法收斂性及可靠性驗(yàn)證

對(duì)偏心柱殼輸入功率流分析時(shí)周向模態(tài)階數(shù)n的截?cái)噙x取進(jìn)行收斂性分析，由式(21)得到殼體振動(dòng)位移，進(jìn)而計(jì)算殼體的輸入功率流。本文計(jì)算中采用文獻(xiàn)[13]所提出的加阻尼數(shù)值積分法考慮材料阻尼因子的影響。驗(yàn)證模型參數(shù)：殼體無(wú)限長(zhǎng)，材料密度為ρ=7 800 kg/m3，楊氏模量為E=2.1×1011Pa，泊松比為μ=0.3，殼體平均厚度h0=0.02 m，中面半徑R=1 m，點(diǎn)激勵(lì)力幅值F0=1 N，無(wú)量綱頻率Ω=3，阻尼因子取η=0.01。

從圖3可以看出，當(dāng)偏心率φ較小時(shí)，偏心柱殼輸入功率流收斂所需的截?cái)囗?xiàng)數(shù)p相對(duì)較少，當(dāng)偏心率φ較大，尤其偏心率φ=0.7時(shí)需取更高的截?cái)囗?xiàng)數(shù)以保證結(jié)果收斂。隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果的收斂精度會(huì)更高，但過(guò)多的截?cái)囗?xiàng)數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率的降低。從圖中可以看出，在截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=60，偏心柱殼輸入功率流趨于穩(wěn)定，本文計(jì)算中取截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=70。

圖3 輸入功率流隨周向模態(tài)階數(shù)的收斂性曲線

為了驗(yàn)證本文偏心柱殼振動(dòng)理論模型及計(jì)算方法的可靠性，令偏心率φ=0，將偏心柱殼退化為圓柱殼，并將本文方法計(jì)算退化模型的輸入功率流與已有文獻(xiàn)[13]進(jìn)行對(duì)比，模型參數(shù)按文獻(xiàn)選取，結(jié)果如圖4(a)所示。同時(shí)選取有限長(zhǎng)偏心柱殼與FEM結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖4(b)所示，(偏心柱殼長(zhǎng)度L=50 m，殼體厚度h0=0.02 m，偏心率φ=0.5，其它參數(shù)如文獻(xiàn)[13]；對(duì)于偏心柱殼有限元模型，為滿足每個(gè)振動(dòng)彎曲波波長(zhǎng)內(nèi)至少6個(gè)單元，則單元尺寸約為0.08 m，單元數(shù)量為50 000個(gè))。

(a)

(b)

由圖4可見(jiàn)本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)及FEM計(jì)算結(jié)果吻合很好，表明本文所建立的偏心柱殼振動(dòng)理論模型及計(jì)算方法準(zhǔn)確可靠。

3.2 激勵(lì)力位置對(duì)殼體輸入功率流的影響

對(duì)于偏心柱殼，截面各處的殼體厚度沿周向是變化的，激勵(lì)力施加在殼體截面不同位置將對(duì)殼體的振動(dòng)產(chǎn)生影響。本節(jié)研究了激勵(lì)力分別施加在θ=0,π/2,π對(duì)殼體輸入功率流的影響，激勵(lì)力位置如圖5所示，不同激勵(lì)力下的輸入功率流如圖6所示。

圖5 不同激勵(lì)力位置

(a)

(b)

從圖6可以看出，激勵(lì)力施加在不同位置對(duì)偏心柱殼的輸入功率流有明顯的影響，激勵(lì)力施加在θ=0的位置殼體輸入功率流相對(duì)較大，施加在θ=π的位置輸入功率流相對(duì)較小，主要由于在θ=0的位置，殼體截面厚度較小，相對(duì)剛度也較小，使得偏心柱殼的輸入功率流增大，而在θ=π的位置，殼體截面厚度較大，相對(duì)剛度也較大，則輸入功率流較小。

3.3 偏心率對(duì)殼體輸入功率流的影響

對(duì)于偏心柱殼，偏心率大小不同，對(duì)偏心柱殼的結(jié)構(gòu)剛度、振動(dòng)特性等影響也不相同，本節(jié)研究了偏心率對(duì)偏心柱殼輸入功率流的影響，同時(shí)也與圓柱殼(即偏心率φ=0)作了對(duì)比，激勵(lì)力施加在θ=0處。圖7給出了不同偏心率下偏心柱殼的輸入功率流隨頻率的變化。

(a)

(b)

由圖7可以看出，當(dāng)激勵(lì)力施加在θ=0位置時(shí)，不同偏心率下偏心柱殼的輸入功率流曲線在總體趨勢(shì)上是一致的：即隨頻率的增大不斷出現(xiàn)峰值，整體趨勢(shì)呈現(xiàn)先增大后趨于穩(wěn)定。但偏心率對(duì)偏心柱殼的輸入功率流幅值及對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)也有明顯影響：隨著偏心率的增大，殼體的輸入功率流也增大，圓柱殼的輸入功率流最小，主要是因?yàn)槠穆实拇嬖谑蛊淠B(tài)剛度降低，同時(shí)殼體輸入功率流峰值向低頻偏移。對(duì)于圓柱殼，在殼體環(huán)頻率(對(duì)應(yīng)于無(wú)量綱頻率Ω=1)處殼體輸入功率流最大，對(duì)于偏心柱殼，隨著偏心率的增大，殼體輸入功率流的最大值不斷向低頻移動(dòng)。

3.4 殼厚比對(duì)結(jié)構(gòu)輸入功率流的影響

本節(jié)研究了不同殼厚比h0/R對(duì)偏心柱殼輸入功率流的影響。圖8給出了不同殼厚比偏心柱殼的輸入功率流隨頻率的變化曲線。

(a)

(b)

由圖8可以看出，殼厚比的改變對(duì)偏心柱殼的輸入功率流也有較大影響，當(dāng)殼厚比減小時(shí)，結(jié)構(gòu)的輸入功率流增大，峰值對(duì)應(yīng)的頻率向低頻偏移，說(shuō)明殼厚比減小，偏心柱殼剛度降低，抗振能力下降。殼厚比的改變對(duì)偏心柱殼輸入功率流最大值所對(duì)應(yīng)的頻率沒(méi)有明顯影響。

3.5 材料阻尼因子對(duì)結(jié)構(gòu)輸入功率流的影響

本節(jié)研究了不同材料阻尼因子η對(duì)偏心柱殼輸入功率流的影響。圖9給出了不同材料阻尼因子偏心柱殼的輸入功率流隨頻率的變化曲線。

由圖9可以看出，材料阻尼因子主要影響偏心柱殼共振頻率處的輸入功率流，隨著阻尼因子的增大，偏心柱殼共振頻率處的輸入功率流峰值降低，輸入功率流曲線趨于平順，表明材料阻尼因子能有效降低結(jié)構(gòu)的共振響應(yīng)，但對(duì)非共振頻域影響較小。

4 結(jié) 論

本文基于Flügge薄殼理論推導(dǎo)出偏心柱殼的受迫振動(dòng)方程，采用波傳播的思想將殼體位移以雙Fourier級(jí)數(shù)形式展開(kāi)，周向變厚度表示為周向角度坐標(biāo)的函數(shù)，通過(guò)三角函數(shù)變換將變系數(shù)的偏微分方程組轉(zhuǎn)換為周向模態(tài)階數(shù)相互耦合的有限階常系數(shù)線性方程組，通過(guò)求解得到偏心柱殼受迫振動(dòng)下的位移響應(yīng)，進(jìn)而計(jì)算偏心柱殼的輸入功率流，得到如下結(jié)論：

(a)

(b)

(1) 通過(guò)與文獻(xiàn)及FEM結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文所建立的偏心柱殼振動(dòng)理論模型及計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

(2) 激勵(lì)力施加在θ=0的位置，偏心柱殼的輸入功率流相對(duì)較大；施加在θ=π的位置，輸入功率流相對(duì)較小。

(3) 偏心柱殼的輸入功率流隨偏心率的增大不斷出現(xiàn)峰值，且隨偏心率的增大峰值向低頻偏移，整體趨勢(shì)線逐漸增大后趨于平穩(wěn)。激勵(lì)點(diǎn)在0°位置，偏心率越大則殼體的輸入功率流也越大，圓柱殼的輸入功率流最小。

(4) 當(dāng)殼厚比減小時(shí)，殼體的輸入功率流不斷增大，峰值對(duì)應(yīng)的頻率向低頻偏移。

(5) 材料阻尼因子能有效降低偏心柱殼共振頻率處的輸入功率流峰值，但對(duì)非共振頻域影響較小。

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