倪鳳香

（浙江省杭州市蕭山區(qū)益農(nóng)鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，浙江 杭州）

函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與進(jìn)一步進(jìn)行學(xué)習(xí)的保障。在初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)學(xué)習(xí)中，求最值是一個(gè)重要的內(nèi)容，同時(shí)也是教師教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)。求函數(shù)的最值的方法非常靈活，能對(duì)學(xué)生的綜合能力做出了重點(diǎn)考查，很多時(shí)候需要學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)各方面的分支內(nèi)容，因此，在解題過(guò)程中，學(xué)生能否找出最簡(jiǎn)單、最正確的方法來(lái)進(jìn)行是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容。在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中，我逐漸發(fā)現(xiàn)幾何圖形可以作為研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要輔助工具，可以將函數(shù)復(fù)雜的知識(shí)結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單，使學(xué)生更快速、靈活地進(jìn)行解答。

下面，我將結(jié)合自身實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，研究利用函數(shù)的不同形式給出幾何知識(shí)的解決應(yīng)用有效的方法幫助學(xué)生分析幾何與函數(shù)的關(guān)系，從而幫助學(xué)生快速地掌握解答的關(guān)鍵，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，以供參考。

一、函數(shù)最值對(duì)教學(xué)的意義分析

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，對(duì)于整個(gè)初中數(shù)學(xué)體系的學(xué)習(xí)都具有重要的意義和作用。在初中函數(shù)教學(xué)中，最值是一個(gè)尤為重要的內(nèi)容，是函數(shù)的一個(gè)重要的形態(tài)，并且，在實(shí)際生活中，最值也可以幫助我們解決很多問(wèn)題，函數(shù)最值的求解也因此具有非常強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義。在過(guò)去的初中函數(shù)教學(xué)中，最值問(wèn)題一直是一個(gè)教學(xué)的重難點(diǎn)，而且在求解時(shí)也會(huì)涉及整個(gè)函數(shù)體系的知識(shí)，因此，如何在教學(xué)中幫助學(xué)生順利理解最值的含義并且快速找出最有效的求解方案是歷來(lái)初中數(shù)學(xué)教師的一個(gè)教學(xué)難題。

二、用幾何知識(shí)解決函數(shù)最值問(wèn)題的意義以及現(xiàn)狀

1.利用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的意義

幾何是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也可以作為研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要的輔助工具。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，如果將函數(shù)的特性利用幾何知識(shí)呈現(xiàn)出來(lái)，則可以使函數(shù)本身的特性直觀地展現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)這般形象化地展示在學(xué)生的眼前，可以使學(xué)生更輕易地理解。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)中很多的抽象知識(shí)都隱含著圖形的信息，因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果可以將一些原本看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)利用圖形表現(xiàn)出來(lái)，會(huì)更加容易進(jìn)行研究，則可以使其得到迅速的破解。

2.利用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的教學(xué)現(xiàn)狀

最值問(wèn)題是我們的日常生活與工作中都非常容易碰到的一類(lèi)問(wèn)題，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)意義。在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)函數(shù)最值教學(xué)中，大多數(shù)教師為了提升學(xué)生的考試成績(jī)，會(huì)對(duì)學(xué)生采用“背題”式的教學(xué)方法，讓學(xué)生生硬地記住一些常規(guī)的解題方法，在考試時(shí)進(jìn)行套用。目前，由于新課程改革的提出，作為初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵組成部分的函數(shù)教學(xué)也在不斷地進(jìn)行方法的創(chuàng)新，其中，運(yùn)用幾何知識(shí)求函數(shù)最值就是一個(gè)有效的新型手段。

經(jīng)過(guò)調(diào)查研究，目前在函數(shù)最值領(lǐng)域中運(yùn)用幾何知識(shí)的方法主要有兩種：數(shù)形結(jié)合法和向量法。其中通過(guò)細(xì)致的劃分，數(shù)形結(jié)合法可以分為使用截距的方法求函數(shù)的最值和使用構(gòu)造法求函數(shù)的最值兩種，而向量法則可以分為利用向量中的數(shù)量積求函數(shù)的最值和利用三角不等式求函數(shù)最值兩種。

三、利用幾何知識(shí)求函數(shù)最值的策略探究

1.利用數(shù)形結(jié)合的方法求函數(shù)最值

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中研究的兩個(gè)最基本的內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，基本所有的問(wèn)題都可以圍繞數(shù)與形的發(fā)展進(jìn)行展開(kāi)。在每個(gè)幾何圖形中都包含著一定的數(shù)量之間的關(guān)系，同時(shí)，數(shù)量之間的關(guān)系也可以通過(guò)一些圖象表現(xiàn)出來(lái)。因此，在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以將數(shù)的問(wèn)題首先用圖形表示出來(lái)，找到其中涉及的幾何意義，將數(shù)量關(guān)系與幾何進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，這種處理的方法就是數(shù)形結(jié)合法。經(jīng)過(guò)實(shí)踐探索分析，數(shù)形結(jié)合法同樣可以應(yīng)用在函數(shù)最值求解中。

傳授給學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，不僅能夠幫助學(xué)生掌握基本的解題手段，同樣還能提升學(xué)生的思維遷移能力，加強(qiáng)學(xué)生的空間意識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升具有重要的意義。下面是用實(shí)例來(lái)對(duì)數(shù)形結(jié)合應(yīng)用在函數(shù)最值問(wèn)題中的說(shuō)明。

（1）用截距求函數(shù)最值

截距是函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)中的一個(gè)知識(shí)。在初中函數(shù)最值問(wèn)題中存在著一些諸如y=f（x）+/-g（x）的最值求解問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題是函數(shù)最值的基礎(chǔ)性問(wèn)題，同時(shí)也是函數(shù)最值問(wèn)題的核心問(wèn)題，因此，在教學(xué)過(guò)程中教師一定要重視學(xué)生解決這類(lèi)基礎(chǔ)問(wèn)題的能力。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題并未直接地給出函數(shù)來(lái)讓我們解答，而是通過(guò)函數(shù)的構(gòu)造來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的展示，這時(shí)，我們可以指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)將這些問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行函數(shù)最值的構(gòu)造，從而進(jìn)行解答。

比如例子：兩個(gè)數(shù)x與y滿(mǎn)足2x2+y2-5x=5，然后需要我們求出x+y的值。在這個(gè)問(wèn)題中，題目非常的簡(jiǎn)潔，但是在實(shí)際的求解中卻與我們的傳統(tǒng)認(rèn)知不同，不是我們平常提起過(guò)的函數(shù)問(wèn)題，這個(gè)時(shí)候，我們就可以使用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造出a=x+y，所以y=a-b，這樣就將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成了求y=a-b在y軸上的截距問(wèn)題。在接下來(lái)的解答中，還涉及了求截距的最大值與最小值的問(wèn)題。

這類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)求函數(shù)最值的一類(lèi)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，其中涉及了用力截距求函數(shù)最值的核心知識(shí)。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)將這類(lèi)問(wèn)題作為函數(shù)最值教學(xué)的基礎(chǔ)來(lái)進(jìn)行詳細(xì)的講解，幫助學(xué)生掌握解決這類(lèi)問(wèn)題的思想關(guān)鍵，在遇到類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，首先要弄清楚已知的條件，構(gòu)造簡(jiǎn)單的一元函數(shù)，在初期不熟練的階段還可以通過(guò)畫(huà)圖進(jìn)行分析，讓思路更加清晰。

（2）用構(gòu)造法求函數(shù)最值

在初中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系中，構(gòu)造法是一種非常有效并且常見(jiàn)的解題方法，在求函數(shù)最值問(wèn)題中也發(fā)揮著巨大的作用。針對(duì)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)，現(xiàn)階段經(jīng)常使用到的構(gòu)造法主要涉及兩方面的構(gòu)造，一是構(gòu)造矩形來(lái)求函數(shù)的最值，另一個(gè)是構(gòu)造立體的圖形來(lái)求解函數(shù)的最值。

比如在教學(xué)過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)看到一些形如x2+y2的題目出現(xiàn)，這種形式的問(wèn)題很容易使我們想到勾股定理（a2+b2=c2），結(jié)合實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在遇到此類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，我們可以指導(dǎo)學(xué)生首先考慮構(gòu)造矩形。如，題目：已知x+y+z=1，求的最小值，在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，可以首先根據(jù)x+y+z=1構(gòu)造出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，使其中的一對(duì)臨邊的一條長(zhǎng)度為x，y，z，另一邊為y，z，x，畫(huà)出大致的圖象，由圖形觀察兩點(diǎn)之間直線的最短距離，從而求出最小值。在這類(lèi)問(wèn)題中，上述例題只是一個(gè)最簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但是卻能夠體現(xiàn)出利用構(gòu)造句型來(lái)解決函數(shù)最值問(wèn)題的核心，值得引起初中數(shù)學(xué)教師的重視。

另外一種構(gòu)造立體圖形的方法也是一種常見(jiàn)的解決函數(shù)最值問(wèn)題的數(shù)形結(jié)合方法，例如：x2+y2+z2=2，求xyz的最小值，針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，我們可以將x，y，z構(gòu)造為一個(gè)長(zhǎng)方體的三條邊，x等于，然后將這些代換到xyz，根據(jù)不等式求解出最小值。

2.利用向量法求函數(shù)的最值

在求解函數(shù)最值的幾何方法中，向量法同樣是一種非常重要的解題手段，向量法也就是構(gòu)造向量，在具體的解題過(guò)程中，學(xué)生可以利用向量的一些不等式和性質(zhì)作為依據(jù)，從而對(duì)函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解。向量是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)必學(xué)內(nèi)容，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想對(duì)于學(xué)生把握整個(gè)初中數(shù)學(xué)體系都有有力的幫助，將向量與函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行有效的融合，對(duì)鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)并且提升學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力具有重要的意義。

（1）利用向量的數(shù)量積性質(zhì)求函數(shù)最值

在初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些看上去非常難以解答的最值問(wèn)題，這些問(wèn)題一眼看上去很難找到解題的思路，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的困難，但是實(shí)際上，在面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用向量中的一些與數(shù)量積相關(guān)的基本性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解決。對(duì)某些函數(shù)最值問(wèn)題構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄織l件，可以將原本復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而快速地解決。

例如：設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y，在滿(mǎn)足5x2+y2≤8的前提下，現(xiàn)在需要我們計(jì)算出z=2x+7y的最大值。在面對(duì)這種類(lèi)型的問(wèn)題的時(shí)候，我們首先可以考慮向量化，然后帶入到，然后根據(jù)來(lái)計(jì)算出其中的最大值。

值得注意的是，在利用向量積求函數(shù)最值的過(guò)程中，構(gòu)造的過(guò)程一定要合理，要通過(guò)練習(xí)使學(xué)生可以找出最為方便的向量構(gòu)造，以得到快速解題的關(guān)鍵；另外，在構(gòu)造的過(guò)程中很多時(shí)候會(huì)用到不等式的知識(shí)，在這個(gè)階段里一定要注意不等式的等號(hào)成立的條件，學(xué)生要多依靠練習(xí)獲得經(jīng)驗(yàn)判斷等號(hào)是否能取到，這是解題正確的重要依據(jù)。

（2）利用函數(shù)的三角不等式求函數(shù)最值

在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，三角不等式是解決大多數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題都會(huì)用到的一個(gè)有效的公式，在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中都占據(jù)著重要的地位。三角不等式的內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，就是在三角形中兩條邊之和大于第三邊，公式可以表示為根據(jù)這個(gè)公式，我們可以將其運(yùn)用在求函數(shù)最值的問(wèn)題中。

上面提到的是利用三角不等式求解函數(shù)最值的一個(gè)典型的問(wèn)題，也是一個(gè)非?；A(chǔ)的問(wèn)題，在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生很可能會(huì)碰到更多更復(fù)雜的問(wèn)題，這個(gè)時(shí)候，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生做題要認(rèn)真、耐心和細(xì)致，利用學(xué)習(xí)過(guò)程中涉及的思想將問(wèn)題進(jìn)行一步步的劃分，不要著急。另外，在實(shí)際的做題過(guò)程中，除了化為兩個(gè)向量還有可能會(huì)碰到需要化為三個(gè)向量的情況，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生有針對(duì)性地進(jìn)行課后練習(xí)，幫助學(xué)生熟練地掌握這些方法。

在初中函數(shù)最值問(wèn)題教學(xué)中采用幾何知識(shí)來(lái)進(jìn)行解決，可以幫助學(xué)生同時(shí)對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行熟練的掌握，一舉雙得。從前面的分析可以看出，在進(jìn)行簡(jiǎn)單的函數(shù)最值問(wèn)題求解時(shí)，可以進(jìn)行直接的常規(guī)求解或者幾何知識(shí)的轉(zhuǎn)化，但是在進(jìn)行比較復(fù)雜的函數(shù)最值求解時(shí)，則對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有了需求，要學(xué)生可以對(duì)其中隱藏的幾何知識(shí)進(jìn)行發(fā)掘，還要有聯(lián)想的能力。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視起利用幾何知識(shí)求解函數(shù)最值的問(wèn)題，幫助學(xué)生更快速地對(duì)這種問(wèn)題進(jìn)行解答，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，對(duì)學(xué)生的綜合能力發(fā)展具有重要的意義。