王哲璇 尹俊添 魯銳

摘要 Hurst指數(shù)反映了事物發(fā)展過程的長(zhǎng)記憶性程度，揭示了事物發(fā)展過去、現(xiàn)在和未來之間的內(nèi)在聯(lián)系，并以時(shí)間序列的自相似性和長(zhǎng)程相關(guān)性體現(xiàn)了事物的發(fā)展變化情況。本文基于Hurst指數(shù)，對(duì)軟件失效時(shí)間間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行Ma tlab處理，進(jìn)而分析得到其長(zhǎng)程相關(guān)性。并通過移動(dòng)Hurst指數(shù)處理，獲得更為準(zhǔn)確的分析結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】Hurst指數(shù) 移動(dòng)Hurst 指數(shù) 長(zhǎng)相關(guān)特征 軟件失效

1 引言

在當(dāng)今社會(huì)，計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展。人類對(duì)于計(jì)算機(jī)系統(tǒng)需求的增長(zhǎng)，要求人類設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)、測(cè)試和維護(hù)這些系統(tǒng)的能力應(yīng)得到相應(yīng)的提升，否則將產(chǎn)生嚴(yán)重的計(jì)算機(jī)失效危機(jī)。顯然，提高計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)的可靠性，對(duì)于計(jì)算機(jī)開發(fā)者以及軟件維護(hù)人員來講，是一個(gè)艱巨且重要的挑戰(zhàn)。

2 分析方法

2.1 Hurst指數(shù)

Hurst指數(shù)是水利專家Hurst在研究尼羅河水庫(kù)水流量和貯存關(guān)系時(shí)，提出的用來描述分形布朗運(yùn)動(dòng)特性的參量。Hurst指數(shù)反映了事物發(fā)展過程的長(zhǎng)記憶性程度，揭示了事物發(fā)展過去、現(xiàn)在和未來之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過研究Hurst指數(shù)隨時(shí)間尺度的變化規(guī)律，可合理預(yù)測(cè)事物變化發(fā)展的趨勢(shì)。在估計(jì)Hurst指數(shù)時(shí)，R/S分析法（重標(biāo)極差法）最為常用。

log（R/S）n=Hlogn+loga

式中，R/S為重標(biāo)極差，a和H為常數(shù)，稱H為Hursr指數(shù)。用最小二乘法對(duì)log（R/S）。與logn作回歸，回歸直線的斜率即為Hurst指數(shù)H的估計(jì)值。

2.2 Hurst指數(shù)與長(zhǎng)程相關(guān)性的關(guān)系

（1） H=l/2時(shí)，該時(shí)間序列為獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，即過去狀況與未來趨勢(shì)之間不存在相關(guān)性。

（2）H≠1/2時(shí)，該時(shí)間序列為非隨機(jī)序列，即過去狀況與未來趨勢(shì)之間有關(guān)。

（3） 1/2

（4） O

3 分析對(duì)象

本文利用間隔時(shí)間單位為秒的軟件失效時(shí)間間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行Hurst指數(shù)分析。數(shù)據(jù)來源于軟件失效測(cè)量系統(tǒng)SYS3的檢測(cè)結(jié)果，共有數(shù)據(jù)207個(gè)。

前三個(gè)數(shù)據(jù)為：39，10，4。以前三個(gè)數(shù)據(jù)為例，我們對(duì)數(shù)據(jù)含義進(jìn)行解釋：第一次軟件失效與第二次軟件失效的時(shí)間間隔為39秒，第二次軟件失效與第三次軟件失效的時(shí)間間隔為10秒，第三次軟件失效與第四次軟件失效的時(shí)間間隔為4秒。我們利用以上數(shù)據(jù)來進(jìn)行Hurst指數(shù)估計(jì)。

4 計(jì)算軟件失效的Hurst指數(shù)

如圖1所示，通過運(yùn)行我們編寫的MATLAB程序，我們獲得了Hurst指數(shù)的圖像，趨勢(shì)為一條向右上方傾斜的曲線，波動(dòng)范圍較小，類似于線性圖像。因此我們利用線性擬合，做出該圖形的線性擬合圖像。由R/S分析法知，該線性圖形的斜率即為Hurst指數(shù)。結(jié)果為H=0.6337>0.5。通過在本文第二部分的分析中我們可以了解到：這組數(shù)據(jù)序列具有長(zhǎng)期相關(guān)性（或稱長(zhǎng)期記憶性），即未來趨勢(shì)與過去趨勢(shì)一致，且對(duì)初始條件有敏感依賴性。盡管序列相關(guān)性并不強(qiáng)，但在一定程度上說明軟件失效時(shí)間并沒有呈現(xiàn)出隨機(jī)游走的特性，并不是一個(gè)獨(dú)立過程，而是表現(xiàn)出相互依存的關(guān)系。這表明進(jìn)行軟件時(shí)間間隔的分析是有規(guī)律可循的。從另一方面來講，說明了在未來的研究中，我們可以進(jìn)一步探究失效時(shí)間的規(guī)律性，可以進(jìn)行下次失效時(shí)間的預(yù)測(cè)。

5 計(jì)算軟件失效的移動(dòng)Hurst指數(shù)

5.1 移動(dòng)Hurst指數(shù)

Hurst指數(shù)能進(jìn)行長(zhǎng)程相關(guān)性的分析，但是無法分析信號(hào)的時(shí)變特性，因此我們接下來將引入移動(dòng)Hurst指數(shù)。移動(dòng)Hurst指數(shù)即對(duì)單步的Hurst指數(shù)進(jìn)行移動(dòng)平均處理，使處理后的Hursr指數(shù)序列，既保留了原Hurst指數(shù)序列的趨勢(shì)性，又提出Hurst指數(shù)波動(dòng)的偶然性波動(dòng)。由于移動(dòng)Hurst指數(shù)反復(fù)計(jì)算了序列，所以比原始的Hurst指數(shù)有更好的準(zhǔn)確性和代表性。我們可以更加確信通過移動(dòng)Hurst指數(shù)獲得的結(jié)果。同時(shí)也從側(cè)面證明了Hurst指數(shù)確實(shí)可以表明序列是均值回復(fù)還是反持久性的。

5.2 計(jì)算軟件失效的移動(dòng)Hurst指數(shù)

通過數(shù)據(jù)波形與移動(dòng)Hursr指數(shù)圖2我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）移動(dòng)Hurst指數(shù)大部分時(shí)間位于0 5以上，與Hurst指數(shù)計(jì)算結(jié)果相符。表示軟件失效時(shí)間并沒有呈現(xiàn)出隨機(jī)游走的特性，不是一個(gè)獨(dú)立過程，而是表現(xiàn)出相互依存的關(guān)系。因此對(duì)于軟件失效時(shí)間間隔分析是有規(guī)律可循的。

（2）由圖2我們看到，數(shù)據(jù)波形與Hurst移動(dòng)平均指數(shù)均是曲線形狀，且走勢(shì)類似。但有部分點(diǎn)存在原始數(shù)據(jù)波形與Hurst移動(dòng)指數(shù)呈現(xiàn)出相反趨勢(shì)的情況。將圖形放大，得到接下來放大了的前一百個(gè)數(shù)據(jù)局部圖3。

通過前一百個(gè)數(shù)據(jù)的放大的局部數(shù)據(jù)波形與移動(dòng)Hurst指數(shù)圖3，我們可以發(fā)現(xiàn)：

圖像中可以找到一些異常點(diǎn)，如50，57，99。在原始數(shù)據(jù)波形中，第50號(hào)、57號(hào)數(shù)據(jù)在局部中一直處于上升趨勢(shì);而在移動(dòng)Hurst指數(shù)圖像中，兩點(diǎn)所在位置均為局部的最低點(diǎn)。這表明，第50號(hào)、第57號(hào)數(shù)據(jù)有極大可能為異常點(diǎn)，將不再符合原來趨勢(shì)上升，而是在接下來一段時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)下降趨勢(shì)。而第99號(hào)數(shù)據(jù)與以上兩點(diǎn)相反，因具有局部最高的移動(dòng)Hurst指數(shù)，原始數(shù)據(jù)很有可能不再符合原始規(guī)律繼續(xù)下降，而是轉(zhuǎn)為上升。在第100號(hào)數(shù)據(jù)以后的107個(gè)數(shù)據(jù)中，具有此類性質(zhì)的還有第136，第147，第196號(hào)數(shù)據(jù)等等。這說明，在總體情況下，移動(dòng)Hurst指數(shù)表征了數(shù)據(jù)的長(zhǎng)程相關(guān)性，但同時(shí)也存在一些異常點(diǎn)，也可稱作離群點(diǎn)。在以后的研究中，要注意到此類數(shù)據(jù)的存在，特殊處理，才能達(dá)到最優(yōu)的分析效果。

6 結(jié)語

本文基于Hurst指數(shù)，進(jìn)行了軟件失效數(shù)據(jù)時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)處理與分析。通過Matlab軟件計(jì)算Hurst指數(shù)，得到其結(jié)果大于0.5，表明了本數(shù)據(jù)的長(zhǎng)程相關(guān)特性。此外，應(yīng)用了移動(dòng)Hurst指數(shù)，進(jìn)行了更為準(zhǔn)確的分析處理，發(fā)現(xiàn)處理結(jié)果與Hurst指數(shù)處理結(jié)果基本相符，但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)仍存在少量異常點(diǎn)，這些數(shù)據(jù)需要在今后分析中進(jìn)行特殊處理。在未來的工作中，計(jì)劃建立Hurst指數(shù)與系統(tǒng)負(fù)載、故障事件之間的關(guān)聯(lián)，診斷出導(dǎo)致軟件失效衰退的構(gòu)件，規(guī)避軟件失效，實(shí)施積極的恢復(fù)策略。

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