陳 周 陳 純

（陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，漢中 723000）

并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的高復(fù)雜性，導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)模型系統(tǒng)具備非線(xiàn)性、多自由度和多參數(shù)耦合的特點(diǎn)，是研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文對(duì)一種并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，并基于Lagrange法對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)方程的建立，同時(shí)利用admas軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，為該機(jī)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用與分析提供了力學(xué)研究支持。

1 雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

該雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)內(nèi)、外齒輪拱，各由一個(gè)獨(dú)立固定在底座上的電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，外齒輪拱通過(guò)銷(xiāo)軸直接連接在臺(tái)面下的銷(xiāo)軸座上，但如果內(nèi)、外齒輪拱均用普通的銷(xiāo)軸與工作臺(tái)連接，則無(wú)法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方向齒輪同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)且互不干擾的。假如X方向（外齒輪拱轉(zhuǎn)動(dòng)方向）上發(fā)生45°轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，Y方向（內(nèi)齒輪拱轉(zhuǎn)動(dòng)方向）上的轉(zhuǎn)動(dòng)軸就從原來(lái)的水平角度轉(zhuǎn)軸變成了現(xiàn)在的45°轉(zhuǎn)軸，如果要圍繞此軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)方向必須與此45°轉(zhuǎn)軸垂直，然而此時(shí)Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)軸仍然是原來(lái)的水平方向的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，兩者發(fā)生沖突。因此為了能滿(mǎn)足內(nèi)外齒輪同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)功能，現(xiàn)對(duì)內(nèi)齒輪拱與工作臺(tái)臺(tái)面的連接方式進(jìn)行優(yōu)化，采用U形孔及銷(xiāo)軸的搭配設(shè)計(jì)，該優(yōu)化原理類(lèi)似于萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)原理，保持兩個(gè)方向上的轉(zhuǎn)軸始終垂直。此并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解如式（1）、式（2）所示。

正解如式（3）、式（4）所示

式中，Z1為驅(qū)動(dòng)外齒輪拱電機(jī)上的消隙齒輪齒數(shù)；Z2為外齒輪拱齒數(shù)；Z3為驅(qū)動(dòng)內(nèi)齒輪拱電機(jī)上的消隙齒輪齒數(shù)；Z4為內(nèi)齒輪拱齒數(shù)；β1為基于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的外齒輪拱偏轉(zhuǎn)角度；β2為驅(qū)動(dòng)外齒輪拱電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；γ1為基于電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的內(nèi)齒輪拱偏轉(zhuǎn)角度；γ2為驅(qū)動(dòng)內(nèi)齒輪拱電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

2 廣義力

由于該機(jī)構(gòu)含有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此用沿內(nèi)、外齒輪拱轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)qk（k=1,2）來(lái)描述該工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng).為求在廣義坐標(biāo)qk下的廣義力Qk，先假設(shè)qk不為零，而其它的2個(gè)廣義坐標(biāo)為零，如式（5）所示。

式中，F(xiàn)為機(jī)構(gòu)所受的外力；Δr為動(dòng)平臺(tái)中心的虛位移；G0為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量；Fk為齒輪拱的驅(qū)動(dòng)力。式（5）兩邊同除以Δqk可得Qk，如式（6）所示。

將式（6）寫(xiě)成矩陣形式，如式（7）所示。

式中,J為Jacobian矩陣。

3 基于Lagrange方法的動(dòng)力學(xué)方程的建立

該雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能，由動(dòng)平臺(tái)動(dòng)能和內(nèi)外兩個(gè)齒輪拱兩部分組成,具體表達(dá)式如式（8）所示。

式中，m0為工作臺(tái)平臺(tái)質(zhì)量；rt為平臺(tái)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離；ωr為平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；mk為齒輪拱及其導(dǎo)軌副質(zhì)量；rk為齒輪拱到其轉(zhuǎn)軸的垂直距離；ωk為齒輪拱轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。將（8）式兩邊對(duì)qk求導(dǎo)，如式（9）所示。

將式（9）對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，如式（10）所示。

式中，α為動(dòng)平臺(tái)的角加速度；αk為齒輪拱角加速度。將式（7）～式（9）帶入Lagrange方程，如式（11）所示。

可得計(jì)算結(jié)果，如式（12）所示。

通過(guò)式（12）可以得到內(nèi)外齒輪拱驅(qū)動(dòng)力的大小，并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性的分析。

4 并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)機(jī)構(gòu)的admas動(dòng)力學(xué)仿真

先將并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)模型導(dǎo)入admas軟件之中，并加上各約束后，如圖1所示。

因?yàn)閮蓚€(gè)消隙齒輪是直接安裝在電機(jī)上的，所以當(dāng)工作臺(tái)面加荷載后，測(cè)試電機(jī)最小驅(qū)動(dòng)力或工作扭矩，可以直接測(cè)兩消隙齒輪的驅(qū)動(dòng)力或工作扭矩。測(cè)得消隙齒輪驅(qū)動(dòng)力與平臺(tái)加入的荷載關(guān)系，如圖2所示。

圖1 導(dǎo)入admas中的模型圖

圖2 消隙齒輪驅(qū)動(dòng)力隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化圖

如圖（2）所示，當(dāng)該并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)從初始水平位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，隨著工作臺(tái)的偏轉(zhuǎn)，工作臺(tái)勢(shì)能變大，內(nèi)、外兩驅(qū)動(dòng)電機(jī)提供的扭矩也逐漸增大。

5 結(jié)語(yǔ)

利用Lagrange方程對(duì)該并聯(lián)雙向偏轉(zhuǎn)工作臺(tái)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建和動(dòng)力學(xué)分析，得到了該工作臺(tái)中兩個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力的顯示解。再利用admas軟件對(duì)該工作臺(tái)模型進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真與分析，測(cè)得了工作臺(tái)加載荷載情況下，內(nèi)、外兩個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)扭矩隨偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的關(guān)系圖。