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(秀州中學(xué),浙江 嘉興 314000)

●楊 威

(鎮(zhèn)海中學(xué)，浙江 寧波 315200)

文獻(xiàn)[1]在數(shù)學(xué)課程的十大基本理念中第七點“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”中指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里……”，尤其是在“指向高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教與學(xué)研究”中，研究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)揭示就有了重要的意義.“張金良名師工作室”于2017年9月4日在浙江省杭州高級中學(xué)舉行了以“指向高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教與學(xué)策略——數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)揭示”為主題的“名師面對面”活動，引起了與會者的濃厚興趣．?dāng)?shù)學(xué)的教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)努力反映數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，并且在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程中去貫穿．筆者以人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-3)》第二章“隨機(jī)變量及其分布”教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．

1 在“數(shù)學(xué)期望”教學(xué)中落實對“期望本質(zhì)”的理解

數(shù)學(xué)中任何一個概念、定理、定義的產(chǎn)生必然經(jīng)歷了漫長的時間的檢驗，曾經(jīng)也可能有過曲折與反復(fù)、分歧與斗爭、停滯與突破.了解知識發(fā)生和發(fā)展的過程，認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，才能更好地加深對問題的認(rèn)識．“隨機(jī)變量及其分布”課堂設(shè)計的幾個片段，從最初的“怎么算期望”，到“為什么這么算期望”，到“怎么算簡單”，到“期望的其他應(yīng)用”，層層遞進(jìn)，揭示期望的概念本質(zhì)，展現(xiàn)“不一樣的期望”．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，在思考數(shù)學(xué)問題的方法中，在揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)過程中，逐步提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維水平．

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，期望之初探

片段1據(jù)新聞報道：2005年，麻省理工大學(xué)的一群大學(xué)生通過分析“Cash WinFall”彩票的投入和回報期望，發(fā)現(xiàn)了新規(guī)則的漏洞．2005年2月7日，其中一位大四的學(xué)生一次性購買了1 000張彩票，獲得了大約3倍于投入額的獎金，之后他們組成“隨機(jī)策略”團(tuán)隊專注于通過統(tǒng)計手段分析彩票漏洞，獲利頗多，使得“Cash WinFall”彩票游戲于2012年1月26日退出了該地區(qū)彩票市場．

設(shè)計意圖概率起源于賭博問題，生活中許多問題都要用到數(shù)學(xué)中概率論的知識．它可以幫助設(shè)計者制定規(guī)則，也可以讓游戲者利用概率論的知識獲取更多的利益．同時讓學(xué)生了解，這中間用到的知識就是概率論，尤其是獎金額的大小設(shè)置就是利用數(shù)學(xué)期望來確定的．這是對期望的最初的認(rèn)識，也是第一層次的理解．同時，為下面如何設(shè)計一個簡單的摸獎游戲作鋪墊，同時再次體會數(shù)學(xué)是來源于生活的．

1.2 創(chuàng)設(shè)游戲，期望之發(fā)展

片段2某班決定進(jìn)行一次班級聯(lián)歡活動，規(guī)則是：袋子中有8形狀大小完全一樣的球，其中4個球標(biāo)的面值為10元，另4個球為5元．每位同學(xué)從袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該同學(xué)所獲的獎勵額．

1)作為體育委員的小王，很想知道如果自己去抽獎，最有可能獲得幾元的獎勵，且獲得該獎勵額的概率有多大，你能幫他算算嗎？

2)作為學(xué)習(xí)委員的小吳更想預(yù)知，全班50位同學(xué)共有多少位有幸抽得最高獎20元，一半同學(xué)抽得最高獎勵額的概率有多大？

3)作為班長的小李，想知道這一規(guī)則是否會超出班費(fèi)獎勵總額預(yù)算600元？

4)還有什么方法能夠讓所花費(fèi)的總額控制在預(yù)算之內(nèi)？

設(shè)計意圖這個摸獎游戲是賭博問題的再升華，通過一連串的設(shè)問層層遞進(jìn)，復(fù)習(xí)一個思想(概率思想)、二個模型(超幾何分布、二項分布)、三個關(guān)鍵(分布列、期望、方差)．在問題4)中利用開放性的問題設(shè)置，向?qū)W生揭示概率、期望的本質(zhì)意義，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識期望在決策中的作用．

學(xué)生活動學(xué)生通過對問題的解答，復(fù)習(xí)相關(guān)知識并理解期望作為平均數(shù)的意義，尤其是問題4)學(xué)生通過對期望公式的分析，會得出“減小最大隨機(jī)變量取值時的概率”和“減小最大隨機(jī)變量取值”這兩種方法．這是在期望計算過程中得到的結(jié)論，在運(yùn)算角度初步了解期望，這是理解期望的第二層次．

1.3 考題計算，期望之回望

片段3已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(其中m≥3,n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(其中i=1,2)個球放入甲盒中．

1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(其中i=1,2)；

2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(其中i=1,2,)，則

( )

A．p1>p2,E(ξ1)

B．p1E(ξ2)

C．p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)

D．p1

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

設(shè)計意圖體會期望作為均值的意義，期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．當(dāng)m=n時，從乙盒中取出一個球放入甲盒相當(dāng)于取出0.5個紅球和0.5個藍(lán)球放入甲盒．球本沒有半個，但是這種“相當(dāng)于”的等價理解方式才是期望的本質(zhì)，進(jìn)一步讓學(xué)生體會期望作為均值的意義所在．

學(xué)生活動大部分學(xué)生采用寫分布列以及公式法求期望的方法，運(yùn)算難度大．教師通過引導(dǎo)日常生活中的例子，逐步向?qū)W生闡述“當(dāng)m=n時，從乙盒中取出一個球放入甲盒相當(dāng)于取出0.5個紅球和0.5個藍(lán)球放入甲盒”這一期望本質(zhì)，這是學(xué)生理解的第三層次．

1.4 大數(shù)據(jù)化，期望之應(yīng)用

片段4某地區(qū)進(jìn)行某種疾病普查，為此要檢驗每一個人的血液，如果當(dāng)?shù)赜蠳人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，現(xiàn)在問：有沒有辦法減少檢驗的工作量？例如現(xiàn)在要對某個學(xué)校今年將要畢業(yè)的900名高三畢業(yè)生進(jìn)行乙型肝炎病毒檢驗，可以利用兩種方法：

①對每個人的血樣分別化驗，這時共需要化驗900次.

②把每個人的血樣分成兩份，取其中m個人的血樣各一份混合在一起作為一組進(jìn)行化驗，如果結(jié)果為陰性，那么對這m個人只需這一次檢驗就夠了；如果結(jié)果為陽性，那么再對這m個人的另一份血樣逐個化驗，這時對這m個人一共需要m+1次檢驗．

據(jù)統(tǒng)計報道，對所有人來說，化驗結(jié)果為陽性的概率為0.1.

1)求當(dāng)m=3時，一個小組經(jīng)過一次檢驗就能確定化驗結(jié)果的概率是多少？

2)試比較在第2種方法中，當(dāng)m=4和m=6時哪種分組方法所需要的化驗次數(shù)更少一些[2]？

設(shè)計意圖在實際問題中，人們?yōu)榱俗畲笙薅鹊亟档惋L(fēng)險，常常根據(jù)事物的進(jìn)展情況和隨機(jī)因素的信息，把數(shù)學(xué)期望作為決策參考的重要依據(jù)．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望能夠反映離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，正是因為它所具備的這種“平均”特點，使得數(shù)學(xué)期望脫穎而出，從最大程度上用來刻畫、反映各種隨機(jī)因素的影響，從而成為風(fēng)險決策的兩大數(shù)字特征之一．尤其是在大數(shù)據(jù)時代，期望在解決實際問題的過程中發(fā)揮著重要的決策作用．這是對期望理解的第四層次，也是期望的應(yīng)用價值所在．

2 在課堂教學(xué)實踐中對于數(shù)學(xué)問題本質(zhì)揭示的反思

2.1 對“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的再認(rèn)識

從微觀上看，數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)就是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義.某個具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)具有兩面性，既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在其知識本身背后的本質(zhì)屬性，更加表現(xiàn)為統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)素養(yǎng)．“從教與學(xué)的觀點來看，數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵包括：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)理性精神的提煉等”[3]．文獻(xiàn)[1]中也指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”，“通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”.

2.2 本質(zhì)揭示——抓住數(shù)學(xué)概念教學(xué)的落腳點

概念是高度概括和抽象的，如果教師采用“一讀而過”或“機(jī)械性的記憶加大量的鞏固練習(xí)”的方式進(jìn)行應(yīng)付，造成了學(xué)生的概念學(xué)習(xí)是建立在概念基礎(chǔ)上的知識、方法、思想而沒有深刻感悟的被動局面，對概念的認(rèn)識是膚淺的、不深刻的．在概念教學(xué)中，教師若抓住了概念的本質(zhì)，追溯概念本源,展現(xiàn)其形成過程,挖掘其內(nèi)涵和外延，則能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，這樣才可以多角度強(qiáng)化對概念本質(zhì)的理解，并能對概念的理解升華到一個新的高度，從而感悟概念的本質(zhì)．

例如，在上面的案例中，筆者沒有將期望的定義直接機(jī)械性地給出，或者僅僅通過練習(xí)簡單地告訴學(xué)生如何求期望，而是僅僅圍繞對“期望”本質(zhì)也就是均值的概念去開展教學(xué)設(shè)計，展現(xiàn)了“期望”這個概念從發(fā)生、發(fā)展、研究到大數(shù)據(jù)應(yīng)用的這樣一個過程，這也正是追本溯源、挖掘“期望”概念的抽象形成的過程，學(xué)生可以更加全面地認(rèn)識什么是“期望”．

2.3 本質(zhì)揭示——注重數(shù)學(xué)思想方法的挖掘

數(shù)學(xué)思想方法不是孤立存在的，它總是“以具體的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識等為背景，蘊(yùn)含在具體的數(shù)學(xué)問題的解決過程中，蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)所有知識體系結(jié)構(gòu)中，它是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系的有力支撐”[4]．我們現(xiàn)在所講的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，某種意義上來說也是一種對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的沉淀．因此，教師在平時的教學(xué)過程中，無論是概念課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，都應(yīng)該不斷加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透，讓學(xué)生既能學(xué)到知識，又能感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而提升理性思維的水平．

例如，在上面的教學(xué)案例中，先通過一個新聞報道讓學(xué)生體會到“期望”是一種決策的重要依據(jù)，再通過設(shè)計摸獎的小游戲，幫助學(xué)生在面對決策問題時應(yīng)樹立“概率思想”，而這也正是“期望”本質(zhì)所體現(xiàn)的具體數(shù)學(xué)思想．再如，在習(xí)題課“函數(shù)的圖像”教學(xué)設(shè)計過程中，應(yīng)緊緊把握函數(shù)圖像這個“形”的特征，采用“畫圖—識圖—用圖”的方法，從不同的角度、不同的視角、不同的層次理解數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的數(shù)學(xué)圖像結(jié)合起來，體會其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，提升其直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．

2.4 本質(zhì)揭示——倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變

在數(shù)學(xué)問題本質(zhì)揭示的教學(xué)過程中，倡導(dǎo)深度學(xué)習(xí)．在新課程改革的過程中，學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究式學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)的開展，開闊了學(xué)生的眼界，拓展了學(xué)習(xí)的方法，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣．尤其是與信息技術(shù)的有機(jī)整合等等都反映了一個事實——那就是新課程倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變．反過來，這些新的學(xué)習(xí)方式也更加有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生的過程，理解直觀和抽象的關(guān)系，讓學(xué)生通過對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)結(jié)論得到過程的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，與此同時發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力．

2.5 本質(zhì)揭示——體現(xiàn)對數(shù)學(xué)文化的追求

數(shù)學(xué)是來源于生活的，數(shù)學(xué)中的每一個知識都是為了解決生活中的某一個或者某一類問題而產(chǎn)生的．在這些日常生活問題的解決過程中，形成了獨(dú)特的數(shù)學(xué)文化．因此，這也是數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的來源之一．在數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的探索過程中，可以通過介紹數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展進(jìn)程，尤其是數(shù)學(xué)突破時那種為科學(xué)獻(xiàn)身的勇氣，欣賞世界上著名數(shù)學(xué)問題，感悟著名數(shù)學(xué)家對那些知識孜孜不倦、百折不撓的探索經(jīng)歷等等，感受數(shù)學(xué)的博大精深，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情．