●林 昀 (衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校，浙江 衢州 324000)

1 研究背景

數(shù)學(xué)是“站在巨人的肩膀”上發(fā)展的，數(shù)學(xué)新知識(shí)的產(chǎn)生是以已有的數(shù)學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)的．而數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成定理、法則、公式等的基礎(chǔ)，因此是否理解概念的本質(zhì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有至關(guān)重要的影響．?dāng)?shù)學(xué)概念又是理性思維的產(chǎn)物，且具有一定的抽象性．若能在學(xué)生接觸概念之初，通過(guò)一定的教學(xué)活動(dòng)來(lái)突顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解概念是十分有益的．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年)》在教學(xué)建議中明確提出，加強(qiáng)過(guò)程教學(xué)是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑［1］．著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾也認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)．因此，教學(xué)中要重視過(guò)程教學(xué)，展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生理性思維、科學(xué)精神的形成以及思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展．

下面以浙教版“同底數(shù)冪的除法(第二課時(shí))”為例，來(lái)說(shuō)明如何將數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，促使其理性思維、科學(xué)精神的形成，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

2 教學(xué)案例展示

浙教版“同底數(shù)冪的除法(第二課時(shí))”是同底數(shù)冪相除的法則(am÷ an=am－n，其中 a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m＞n)后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，本節(jié)課的主要內(nèi)容是兩個(gè)規(guī)定:1)零指數(shù)冪運(yùn)算法則:a0=1(其中a≠0);2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則:中a≠0，p是正整數(shù))．事實(shí)上，這兩個(gè)規(guī)定不是從同底數(shù)冪的運(yùn)算推導(dǎo)而來(lái)，也不是隨意規(guī)定的，而是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展需要進(jìn)行合理的規(guī)定，即這兩個(gè)規(guī)定與已有的運(yùn)算法則保持和諧一致，也使得指數(shù)的概念能從正整數(shù)推廣到整數(shù)，同時(shí)正整數(shù)指數(shù)冪的各種運(yùn)算法則也隨之推廣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)體系建設(shè)的嚴(yán)謹(jǐn)性、相容性、完備性．由此，浙教版“同底數(shù)冪的除法(第二課時(shí))”的教學(xué)不能簡(jiǎn)單采取“記憶+練習(xí)”的模式進(jìn)行．而應(yīng)在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，充分展現(xiàn)該規(guī)定的“過(guò)程”，引導(dǎo)學(xué)生感悟這種“規(guī)定”的必要性和合理性．

浙教版“同底數(shù)冪的除法(第二課時(shí))”大致可分5個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)要的教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)意圖如下:

環(huán)節(jié)1猜想:20=1．

引導(dǎo)學(xué)生分別用除法和同底數(shù)冪除法的運(yùn)算法則計(jì)算23÷23．從而得到23÷23=1和23÷23=23－3兩種結(jié)果，順勢(shì)追問(wèn):怎樣解釋用不同的方法計(jì)算同一算式所得到兩種不同的答案?從而促使學(xué)生大膽提出猜想20=1．接著追問(wèn):為什么會(huì)提出這個(gè)猜想?

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，運(yùn)用不同的計(jì)算方法得到不同形式的答案，這一過(guò)程引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和求知欲望．本環(huán)節(jié)通過(guò)教師的層層追問(wèn)，直奔主題，“自然”引出“20=1”這一新概念．同時(shí)使學(xué)生感受到20=1并不是憑空創(chuàng)造的，而是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展(運(yùn)算)的需要，即當(dāng)被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等時(shí)，要使得同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)能使用，必須要有20=1成立．

環(huán)節(jié)2質(zhì)疑、驗(yàn)證．

1)通過(guò)舉例引導(dǎo)學(xué)生感受猜想的合理性，如細(xì)胞分裂:一個(gè)細(xì)胞分裂1次變成2個(gè)，分裂2次變成4個(gè)，分裂3次變成8個(gè)，那么一個(gè)細(xì)胞沒(méi)有分裂時(shí)的個(gè)數(shù)為多少?學(xué)生通過(guò)思考活動(dòng)，就能比較充分地感受到“20=1”的合理性，于是作出“零指數(shù)冪”意義的規(guī)定:a0=1(其中a≠0)．

2)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與“除法定義”“原有同底數(shù)冪的除法法則”是和諧一致的，即由同底數(shù)冪的除法法則得a3÷a0=a3－0=a3，這與根據(jù)零指數(shù)冪的規(guī)定得a3÷a0=a3÷1=a3是一致的．

活動(dòng)小結(jié)對(duì)環(huán)節(jié)1和環(huán)節(jié)2的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)進(jìn)行小結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)舉例和運(yùn)用法則進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生感受到這個(gè)規(guī)定既符合實(shí)際背景，又符合原有的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力、理性思維，發(fā)展批判性的思維品質(zhì)，形成科學(xué)精神．事實(shí)上，數(shù)學(xué)上的規(guī)定并非隨意的，都必須合情合理，方便數(shù)學(xué)研究交流．活動(dòng)小結(jié)的目的在于總結(jié)過(guò)程所獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和感受，為后面探究負(fù)整數(shù)指數(shù)冪積累經(jīng)驗(yàn)．

環(huán)節(jié)3類(lèi)比探究:規(guī)定其中 a≠0，p是正整數(shù))的合理性．

1)首先用不同的方法計(jì)算2－3，然后猜想，接著計(jì)算，最后通過(guò)字母進(jìn)行驗(yàn)證，得出規(guī)定a(其中a≠0，p是正整數(shù))的合理性．

2)追問(wèn):規(guī)定中的p為什么是正整數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1)是通過(guò)類(lèi)比探究a0=1合理性的過(guò)程，探究規(guī)定(其中 a≠0，p是正整數(shù))的合理性，讓學(xué)生再次經(jīng)歷計(jì)算、猜想、驗(yàn)證的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．問(wèn)題2)的提出促使學(xué)生思考規(guī)定的合理性、規(guī)范性，再次感受數(shù)學(xué)上的規(guī)定是有跡可循的，并非隨意．這一過(guò)程不僅僅是對(duì)零指數(shù)冪研究經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用，同時(shí)也積累了新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn):新的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為已解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究．

環(huán)節(jié)4鞏固練習(xí)．

1．用分?jǐn)?shù)或整數(shù)表示下列結(jié)果:

1)10－3; 2)(0．5)－3; 3)( －3)－4．

2．計(jì)算:1)950×(－5)－1; 2)a3÷(－10)0;

3)( －3)5÷36．

3．把下列各數(shù)表示成a×10n(其中1≤n＜10，n為整數(shù))的形式:

1)12000; 2)0．0021; 3)0．0000501．

設(shè)計(jì)意圖第1題涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的直接應(yīng)用．第2題涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的混合運(yùn)算，一般有兩種處理方法:一是把負(fù)整數(shù)指數(shù)冪先化為正整數(shù)指數(shù)冪，然后計(jì)算;二是在整數(shù)范圍內(nèi)使用冪的運(yùn)算法則計(jì)算，但不論哪種方法，最終的結(jié)果都不能出現(xiàn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的形式．第3題是用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的一個(gè)重要應(yīng)用．這個(gè)過(guò)程的目的是讓學(xué)生及時(shí)理解和鞏固相關(guān)知識(shí)，同時(shí)還讓學(xué)生感受冪運(yùn)算的法則已經(jīng)推廣到整數(shù)范圍內(nèi)，體現(xiàn)“規(guī)定”的重要性、必要性及和諧統(tǒng)一性．

環(huán)節(jié)5總結(jié)感悟．

師:談?wù)劚竟?jié)課的收獲與體會(huì)．

學(xué)生不僅說(shuō)出了本節(jié)課的知識(shí)，并且還指出了這樣規(guī)定的合理性和必要性:運(yùn)算的需要．正是這個(gè)規(guī)定，使得正整數(shù)指數(shù)的法則推廣到整數(shù)范圍內(nèi)，這種推廣與數(shù)從正數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)范圍相類(lèi)似．本節(jié)課研究問(wèn)題的方法是:先猜想，再驗(yàn)證．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，師生一起梳理知識(shí)，同時(shí)指出這兩個(gè)規(guī)定與已有的運(yùn)算法則保持和諧一致，也使得指數(shù)的概念及同底數(shù)冪的運(yùn)算法則從正整數(shù)推廣到了整數(shù)，正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)體系建設(shè)的嚴(yán)謹(jǐn)性、相容性、完備性．總結(jié)反思數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的升華，形成理性思維、科學(xué)精神，提升核心素養(yǎng)．

3 教學(xué)反思

3．1 基于概念產(chǎn)生路徑，找準(zhǔn)教學(xué)方向

浙教版“同底數(shù)冪的除法(第二課時(shí))”是一節(jié)概念教學(xué)課，而這一數(shù)學(xué)概念是從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來(lái)的，即從同底數(shù)冪的運(yùn)算中產(chǎn)生出來(lái)的．教學(xué)中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程，有助于幫助學(xué)生理解“規(guī)定”的合理性、和諧一致性．因此本節(jié)課的教學(xué)定位是從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要入手，進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)．于是本案例抓住新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，遵循知識(shí)的遞進(jìn)關(guān)系，巧妙地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，既回顧舊知(同底數(shù)冪的除法)，又“自然”地引入新知(a0=1(其中a≠0)這一個(gè)規(guī)定)，使學(xué)生感受到新知的“自然”產(chǎn)生過(guò)程，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，接著學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)新知的質(zhì)疑、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解a0=1(其中a≠0)這一數(shù)學(xué)概念．

3．2 基于形成理性思維，精心設(shè)計(jì)活動(dòng)

質(zhì)疑是培養(yǎng)批判性思維品質(zhì)的必經(jīng)之路，批判性思維是一種實(shí)事求是、周密縝細(xì)的思維，它是辨別是非、評(píng)價(jià)優(yōu)劣的一種思維品質(zhì)．教學(xué)過(guò)程中要潛移默化地培養(yǎng)思維的批判性，使學(xué)生養(yǎng)成一種實(shí)事求是、求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度．案例中對(duì)“a0=1(其中a≠0)”的合理性探究經(jīng)歷了質(zhì)疑、驗(yàn)證、釋疑過(guò)程，學(xué)生的思維品質(zhì)得到了較好的鍛煉．

3．3 基于積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，反思探究過(guò)程

課堂小結(jié)環(huán)節(jié)不僅要引導(dǎo)學(xué)生回顧所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生反思概念發(fā)生、形成的過(guò)程，通過(guò)反思數(shù)學(xué)活動(dòng)、內(nèi)化數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與升華，使得學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，感受研究問(wèn)題的一般策略，提升思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．本案例中，通過(guò)對(duì)“零指數(shù)冪的規(guī)定”這一合理性知識(shí)的理解與掌握，感受了問(wèn)題研究的思路，尤其是當(dāng)目前知識(shí)無(wú)法解決或不方便解決時(shí)，引進(jìn)新的內(nèi)容可使原問(wèn)題得以解決，同時(shí)所引進(jìn)的“新成員”必須與原有的數(shù)學(xué)知識(shí)相容、和諧、統(tǒng)一，因此通過(guò)對(duì)“a0=1(其中a≠0)”的探究活動(dòng)所獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能科學(xué)地探究其他相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．