汪語哲，楊正凱，王 寧，李云昭，初昕宇，冉春秋

(大連民族大學(xué) a.機電工程學(xué)院；b.大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育中心，遼寧 大連 116605)

僅有角度測量的固定輻射源無源定位問題是一個經(jīng)典的導(dǎo)航問題。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，快速定位對飛行器有威脅的基地輻射源如雷達(dá)、電子干擾源和紅外輻射源等可以較大程度提高戰(zhàn)斗飛行器的生存能力。在航行過程中，空間飛行器為了防止敵方雷達(dá)跟蹤，常常需要關(guān)閉向外部發(fā)射電磁波來探測目標(biāo)位置和速度的主動探測裝置(如機載主動雷達(dá)等)，而靠僅能夠測量視線角的被動接收裝置來接收目標(biāo)能量輻射以保證自身安全。這種被動式定位方式作用距離遠(yuǎn)，接收隱蔽，不易被對方察覺，對于增強系統(tǒng)在復(fù)雜電磁環(huán)境下的生存能力和工作能力具有重要意義，是飛行器定位輻射源的常用方法[1]。此外，海上遇難搜救電子偵察定位、空間飛行器測控、衛(wèi)星定位等問題也同樣屬于無源定位問題。因此，無源定位問題的研究具有重要的意義和廣闊的應(yīng)用前景。

現(xiàn)有的固定輻射源無源定位，研究的重點在于定位精度、收斂速度和算法效率。最早的定位估計方法是直線(兩點)定位算法，以及最小二乘估計算法(Least Square Estimate,LSE)[1]。LSE是一種數(shù)據(jù)批量處理方法，計算中收斂速度較慢，且僅當(dāng)整個系統(tǒng)沒有噪聲干擾時，才能收斂到真值。隨后，擴展卡爾曼濾波算法(Extended Kalman Filter,EKF)作為一種非線性隨機函數(shù)逼近方法，得到了學(xué)者的普遍關(guān)注[2]。Spingarn注意到了LSE和EKF的相似性，采用EKF算法處理含噪測量方程，提高了定位的收斂速度和算法的效率。為了進一步提高定位的收斂速度，Challa等[3]提出一種測量線性化狀態(tài)方程的EKF定位方法。隨著計算機技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)據(jù)處理速度大幅度提高，很多計算量較大的算法已經(jīng)可以用于處理無源定位等對于實時性需求較高的非線性估計問題。Gordon[4]考慮了采用粒子濾波作為無源定位算法，在某些條件下取得了比LSE和EKF算法更好的估計效果。

1 問題的描述

為使問題簡單化，并具有較強的代表性，考慮典型的平面無源定位模型如下：

(1)由于定位距離和地球半徑的數(shù)量級差距在100倍以上，可以不考慮地球的球面效應(yīng)；

(2)不考慮飛行器自身定位的導(dǎo)航誤差；

(3)不考慮目標(biāo)的高度，只考慮二維平面的定位情況；

(4)將載機視為一個質(zhì)點，且以速度v=v0沿某一方向(不與載機的初始位置和輻射源之間的連線方向重合)做勻速直線運動(載機的加速度a≡0)。

在上述假設(shè)條件下，一種典型的平面無源定位問題原理圖如圖1。飛行器沿輻射源邊緣做勻速直線運動，令飛行器在初始時刻(t=0)的位置表示為ξ0=(x0,y0)T。

圖1 一種典型的平面無源定位問題原理圖

載機在k時刻的位置表示為ξk=(xk,yk)T，η=(xe,ye)T為輻射源的地理位置，則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以描述為

βk=hk(xe,ye)+ωk；

(1)

(2)

設(shè)采樣周期為T，(vx,vy)表示載機的速度v0在x和y軸上的分量，載機在k時刻和初始時刻(t=0)的位置關(guān)系可以表示為

(3)

經(jīng)離散化的系統(tǒng)觀測方程可以表示為

(4)

式中，ωk為系統(tǒng)的測量噪聲，簡單起見，假設(shè)ωk為高斯白噪聲，則有

(5)

2 傳統(tǒng)濾波方法

無源定位問題的經(jīng)典算法是粒子濾波算法(Particle Filter，PF)，該算法1993年由Gordon提出，一開始用于解決非線性估計問題，取得了較好的效果。然而隨后研究人員發(fā)現(xiàn)，該算法對于先驗概率密度函數(shù)的選取十分敏感，只有當(dāng)先驗概率密度函數(shù)充分逼近被估計的非線性隨機系統(tǒng)的真實概率密度分布時，才能取得較好的估計效果。這是由于PF算法選取的提議函數(shù)不含任何觀測信息，在被估計系統(tǒng)的非線性非高斯程度較強時，收斂速度常常較慢，甚至難于收斂。針對這一問題，文獻[5]提出了采用EKF算法作為提議函數(shù)的改進粒子濾波算法，該算法稱為EPF。EPF在一定程度上提高了算法的收斂速度。然而，由于EKF算法本質(zhì)上是一種對于非線性函數(shù)的一階泰勒逼近，在系統(tǒng)非線性程度較高時，EKF算法容易發(fā)散，EPF常常存在類似于EKF精度不高、收斂速度慢等問題。

3 濾波方法的改進

針對上述EPF算法存在的問題，文獻[4]提出采用UKF算法作為提議函數(shù)，取得了較高的估算精度。然而，UKF算法的三個參數(shù)影響著采樣點沿狀態(tài)均值的分布狀況。如果參數(shù)選擇不當(dāng)，可能導(dǎo)致采樣半徑變大，影響算法的數(shù)值魯棒性和估計精度；在實際仿真過程中同樣發(fā)現(xiàn)，若三個參數(shù)選擇不當(dāng)，則UKF算法運行常常出錯，這是由于當(dāng)協(xié)方差矩陣P的行列式較小時，算法的數(shù)值魯棒性難以保障。針對這一問題，文獻[6]將標(biāo)準(zhǔn)UKF算法展開成矩陣平方根分解方式進行計算，設(shè)計了一種平方根迭代UKF (Square-root Unscented Kalman Fliter,SRUKF) 算法，在UKF迭代中采用了平方根作為迭代傳遞量，從而保證了協(xié)方差矩陣P的正定性。

3.1 SRUKF算法

(1)初始化：

(6)

式中，chol表示矩陣的克萊斯基分解，下同。

(2) Fork∈{1,2,…,∞},

a. Sigma點計算：

(7)

b. 時間更新：

χk|k-1=f[χk-1,uk-1]+E[vk-1] ；

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

yk|k-1=h(χk|k-1)+E[nk] ；

(13)

(14)

c. 測量更新方程：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：U=[u1,u2,…,uNy]；Ny為測量向量維數(shù)。

對于i=1:Ny，

(22)

(23)

考慮到標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法的缺陷，為了在保證不降低計算精度的情況下進一步提高計算效率，文章采用了SRUKF算法作為粒子濾波算法的提議函數(shù)，這里將其稱為SRUPF。

3.2 SRUPF算法

(1) 初始化：

(24)

(2) 對于i=1,2,…,N，利用3.1給出的SRUKF算法更新粒子：

對于i=1,2,…,N,將重要性權(quán)值

(25)

作歸一化處理。

(3) SIR重采樣：

4 仿真結(jié)果

令固定輻射源位置為(xe,ye)=(226.92 km,226.92 km)，觀測者的初始位置(x0,y0)=(209.21 km,17.70 km)，并以定常速度vx=-0.161 km·s-1，vy=0.161 km·s-1沿直線飛行。從k=0時刻開始，每300 s對目標(biāo)方位測量一次，測量噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1°。

(26)

(27)

式中，M表示蒙特卡洛仿真的次數(shù)，作為一個低維參數(shù)估計問題，取較少的仿真次數(shù)就能夠很好地衡量估計的效果[7]，取M=20。文章所設(shè)計的UPF濾波器仿真結(jié)果如圖2。

(a)X軸的RMSE估計誤差

(b)Y軸的RMSE估計誤差

從仿真結(jié)果的對比中發(fā)現(xiàn)，無論是X軸還是Y軸的位置，文章給出的SRUPF算法較PF和UKF算法相比，均具有更快的收斂速度和更高的估計精度。同時，計算得出，文章給出的SRUPF濾波器相比傳統(tǒng)UPF在計算效果基本相同的前提下，節(jié)省了17%的計算時間。

5 結(jié) 語

針對固定輻射源無源定位這一經(jīng)典的參數(shù)估計問題，文章采用平方根迭代UKF算法作為提議函數(shù)，改進了傳統(tǒng)PF算法，給出了一種SRUPF算法的設(shè)計方案。仿真結(jié)果表明，文章所設(shè)計的SRUPF算法和標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波器以及UKF濾波器相比，具有更高的估計精度，而且同標(biāo)準(zhǔn)UPF濾波器相比，在不降低計算精度的前提下，節(jié)省17%的計算時間。對于低維參數(shù)估計問題，UPF粒子濾波器具有更好的估計精度，計算量在硬件可承受范圍內(nèi)，因此，是無源定位的一種較好的新型方法，對機動目標(biāo)跟蹤問題的研究有一定理論意義和使用價值。

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[5] 汪語哲.濾波技術(shù)在高超聲速大機動飛行器末制導(dǎo)中的應(yīng)用[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013:19-51.

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