王航超，陳振中

(沈陽航空航天大學(xué) 民用航空學(xué)院，沈陽 110000)

0 引言

齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比精確以及傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，因此齒輪作為傳動(dòng)零件被廣泛地應(yīng)用于各種機(jī)械傳動(dòng)結(jié)構(gòu)中。在航空航天領(lǐng)域，直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)一般由主減速器、中間減速器、尾減速器、動(dòng)力輸入軸、主旋翼軸以及尾傳動(dòng)軸組成。其中，主減速器主要由齒輪減速器、調(diào)節(jié)運(yùn)動(dòng)方向的錐齒輪傳動(dòng)、離合器、駐車制動(dòng)裝置以及潤滑系統(tǒng)等組成。正常工況下，飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速一般可達(dá)2000～3000r/min，如果將此轉(zhuǎn)速直接輸出給旋翼，旋翼會(huì)由于轉(zhuǎn)速過高而產(chǎn)生激波，造成破壞，因此，主轉(zhuǎn)速器的作用就是把一臺(tái)或者多臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率合并到一起，再按照一定的傳動(dòng)比降低轉(zhuǎn)速，分別傳遞給旋翼、尾漿以及相關(guān)部件。所以，主減速器是直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分，其功能對(duì)直升機(jī)的性能有很大影響。

在齒輪減速器中，齒輪又是其主要傳動(dòng)零件，齒輪在嚙合傳動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)，齒輪嚙合結(jié)構(gòu)一般可以承受輕微的振動(dòng)，但是一旦嚙合結(jié)構(gòu)所受激勵(lì)的頻率(外載頻率)接近其固有頻率時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生振幅增大、劇烈振動(dòng)的共振現(xiàn)象。共振會(huì)導(dǎo)致齒輪嚙合結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形，甚至造成破壞性事故，因此對(duì)齒輪的動(dòng)力學(xué)分析就顯得十分重要。然而，設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)過程中又很難通過實(shí)驗(yàn)得到齒輪固有頻率，目前相對(duì)較好的方法就是有限元模態(tài)分析(計(jì)算模態(tài)分析)。模態(tài)分析是一切動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，通過有限元模態(tài)分析軟件能對(duì)齒輪進(jìn)行無阻尼自由振動(dòng)的模態(tài)分析，得到齒輪前五階固有頻率和振型，為齒輪的設(shè)計(jì)以及進(jìn)行進(jìn)一步動(dòng)力學(xué)分析提供一定的參考。

1 有限元模態(tài)分析

模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一種數(shù)值模擬技術(shù)，是一切動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性一般包括固有頻率和振型，模態(tài)分析可以計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率和振型，從而幫助設(shè)計(jì)人員在齒輪設(shè)計(jì)過程中避免共振。本文針對(duì)漸開線斜齒圓柱齒輪的無阻尼自由振動(dòng)進(jìn)行模態(tài)分析。

在機(jī)械系統(tǒng)中，振動(dòng)現(xiàn)象是普遍存在的，依據(jù)其產(chǎn)生振動(dòng)的原因可分為自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)以及自激振動(dòng)。任何一種機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)現(xiàn)象都可以用下圖1來表示。

圖1機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)現(xiàn)象

機(jī)械結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))振動(dòng)的三要素為質(zhì)量、彈性和阻尼。一般的動(dòng)力學(xué)問題都遵循以下平衡方程：

[M]{x″}+[C]{x′}+[K]{x}={F(t)}

(1)

其中，[M]、[C]、[K]分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣，{x″}、{x′}、{x}分別表示系統(tǒng)的加速度向量、速度向量以及位移向量。

一般情況下，系統(tǒng)的阻尼對(duì)于模態(tài)參數(shù)影響比較小，所以，理想狀態(tài)下假設(shè)[C]={0}。其對(duì)應(yīng)的無阻尼自由振動(dòng)方程為：

[M]{x″}+[K]{x}={0}

(2)

漸開線斜齒圓柱齒輪結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)一般為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其對(duì)應(yīng)的位移函數(shù)一般為正弦函數(shù)：

{x}=[X]sin(ωt)

(3)

將正弦位移函數(shù)(3)代入無阻尼自由振動(dòng)方程(2)可得：

[K]-ω2[M][X]={0}

(4)

其中，ω為系統(tǒng)的固有頻率。

不難發(fā)現(xiàn)方程組(4)為線性齊次方程組。所以，其系數(shù)矩陣的秩小于n(或系數(shù)矩陣的行列式等于零)是方程組(4)有非零解的充要條件。

在這樣熱烈的日間大潮下，2016年才剛剛開展的、廣州市婦女兒童醫(yī)療中心（以下簡(jiǎn)稱“中心”）“不過夜的婦兒日間手術(shù)”究竟有何特別，能夠榮膺精典？

|[K]-ω2[M]|=0

(5)

經(jīng)過分析可知，方程組(5)為關(guān)于未知量ω2的n階代數(shù)方程組，通過方程組(5)解得系統(tǒng)第i階固有頻率(自振圓頻率)ωi，再將ωi代回?zé)o阻尼自由振動(dòng)方程(4)解得與其對(duì)應(yīng)的第i階振型Xi。模態(tài)分析即是線性方程組的求解過程，亦即是模態(tài)的提取過程[1]。

2 基于Catia軟件的漸開線斜齒圓柱齒輪三維建模

在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，齒輪材料一般采用調(diào)質(zhì)鋼(含碳量0.2%～0.6%)，本文采用45#鋼(含碳量0.45%)作為漸開線斜齒圓柱齒輪加工材料。在繪制三維模型中，Catia軟件相對(duì)于AnsysWorkbech軟件要強(qiáng)大一些，因此，本文采用Catia軟件作為三維建模的工具，對(duì)漸開線斜齒圓柱齒輪進(jìn)行參數(shù)化建模。漸開線斜齒圓柱齒輪參數(shù)以及材料的基本參數(shù)如表1所示。

表1 漸開線斜齒圓柱齒輪參數(shù)以及材料的基本參數(shù)

根據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，通過漸開線斜齒圓柱齒輪的計(jì)算公式計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的分度圓直徑、齒頂圓直徑以及齒根圓直徑。

圖2 漸開線斜齒圓柱齒輪三維模型

基于Catia軟件的零件設(shè)計(jì)、三維標(biāo)注模塊對(duì)漸開線斜齒圓柱齒輪進(jìn)行三維建模和尺寸、形位公差、粗糙度標(biāo)注，其對(duì)應(yīng)的漸開線斜齒圓柱齒輪三維模型如下圖2所示[2-3]。

3 基于Ansys Workbench軟件的漸開線斜齒圓柱齒輪模態(tài)分析

在Catia軟件中完成漸開線斜齒圓柱齒輪的三維建模、標(biāo)注，另存為igs格式，然后導(dǎo)入到Ansys Workbench軟件中對(duì)其進(jìn)行有限元模態(tài)分析。

3.1 設(shè)置材料的基本屬性

實(shí)際工程中一般選用調(diào)質(zhì)鋼(淬火+高溫回火)，因此本文選用45#鋼作為漸開線斜齒圓柱齒輪材料。在材料庫中設(shè)置45#鋼密度為7.85×103kg/m3，彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.31。進(jìn)而，在模態(tài)分析對(duì)應(yīng)的Model模塊中把45#鋼材料賦給導(dǎo)入的漸開線斜齒圓柱齒輪模型。

3.2 劃分網(wǎng)格

本文采用自動(dòng)網(wǎng)格的劃分方式對(duì)漸開線斜齒圓柱齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分。然后，對(duì)其部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格修整，漸開線斜齒圓柱齒輪網(wǎng)格劃分如下圖3所示。

圖3 漸開線斜齒圓柱齒輪網(wǎng)格劃分

3.3 施加約束

根據(jù)漸開線斜齒圓柱齒輪的實(shí)際傳動(dòng)工況可知，需要約束的三處均采用無摩擦約束(Frictionless Support，F(xiàn)S)。漸開線斜齒圓柱齒輪為軸上零件且與軸為過盈配合，軸向定位一側(cè)依靠軸肩定位，另一側(cè)依靠套筒進(jìn)行定位；周向定位依靠齒輪、軸上的鍵槽與鍵的配合定位。

經(jīng)過分析，漸開線斜齒圓柱齒輪的內(nèi)孔圓柱面、鍵槽的一面(漸開線斜齒圓柱齒輪高速旋轉(zhuǎn)會(huì)向一側(cè)擠壓鍵槽面)以及在漸開線斜齒圓柱齒輪的兩端面的一定范圍內(nèi)(套筒、軸肩外徑范圍以內(nèi)區(qū)域)三處采用無摩擦約束。

最后，設(shè)置模態(tài)分析的頻率階次為五階，即對(duì)此漸開線斜齒圓柱齒輪的前五階模態(tài)(固有頻率和振型)進(jìn)行分析[4]。

3.4 求解與分析(后處理)

表2 漸開線斜齒圓柱齒輪對(duì)應(yīng)階數(shù)的固有頻率

求解完成之后，漸開線斜齒圓柱齒輪對(duì)應(yīng)階數(shù)的固有頻率如表2所示。

漸開線斜齒圓柱齒輪對(duì)應(yīng)的前五階自由振動(dòng)變形云圖如圖4所示。經(jīng)過分析計(jì)算，漸開線斜齒圓柱齒輪一階模態(tài)固有頻率為3012.5Hz，一階振型為繞著齒輪軸(x軸)的扭轉(zhuǎn)振(或者yz平面內(nèi)的圓周振)，輪齒處的振動(dòng)變形量最大、最明顯，沿著徑向向圓心處依次遞減。

漸開線斜齒圓柱齒輪二階模態(tài)固有頻率為7022.6Hz，二階振型為輪齒繞著y軸擺動(dòng)(一階彎曲振)。

漸開線斜齒圓柱齒輪三階模態(tài)固有頻率為7128.9Hz，三階振型為輪齒繞著z軸擺動(dòng)(一階彎曲振)。

漸開線斜齒圓柱齒輪四、五階模態(tài)固有頻率分別為7838.4Hz、7914.4Hz，其振型均為繞y、z軸的擺動(dòng)疊加(二階彎曲振)[5-10]。

(a)一階變形云圖

(b)二階變形云圖

(c)三階變形云圖

(d)四階變形云圖

(e)五階變形云圖

4 結(jié)語

本文通過Catia軟件的零件設(shè)計(jì)、三維標(biāo)注模塊分別對(duì)漸開線斜齒圓柱齒輪進(jìn)行三維建模、尺寸標(biāo)注，然后把所建立的模型保存成igs格式導(dǎo)入到Ansys Workbench軟件中進(jìn)行模態(tài)分析。

在Ansys Workbench軟件中對(duì)漸開線斜齒圓柱齒輪進(jìn)行了自由振動(dòng)分析，計(jì)算出了其前五階固有頻率和振型。通過觀察分析，一階自由振動(dòng)為扭轉(zhuǎn)振；二、三(頻率相近)階自由振動(dòng)均為一階彎曲振；四、五(頻率相近)階自由振動(dòng)均為二階彎曲振；可以得出固有頻率相近的振型也基本相同。

通過Ansys Workbench軟件中Modal模塊得到漸開線斜齒圓柱齒輪前五階固有頻率和振型，避免外加載荷的頻率接近漸開線斜齒圓柱齒輪的固有頻率而發(fā)生共振現(xiàn)象,為漸開線斜齒圓柱齒的設(shè)計(jì)以及進(jìn)行進(jìn)一步動(dòng)力學(xué)分析提供參考。

[1] 張洪信，吳俊飛，沈孝芹，等.有限元基礎(chǔ)理論與ANSYS應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006：1.

[2] 齊從謙,何燕，王士蘭，等.齒輪機(jī)構(gòu)三維CAD/CAE實(shí)用教程[M].北京：中國電力出版社，2016：5.

[3] 濮良貴，陳國定，吳立信，等.機(jī)械設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2013：5.

[4] CAE應(yīng)用聯(lián)盟.ANSYSWorkbench16.0理論解析與工程應(yīng)用實(shí)例[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016：9.

[5] 黃廣新，于麗新.基于Soildworks、ANSYS軟件的減速器齒輪模態(tài)分析[J].制造業(yè)信息化，2014(2)：157-158.

[6] 周建釗，徐肖攀，諸偉俊.基于Pro/E與ANSYS的減速箱齒輪模態(tài)分析[J].信息技術(shù)，2013，42(5)：136-139.

[7] 孫妍.基于有限元法的直齒圓柱齒輪模態(tài)分析[J].機(jī)械研究與應(yīng)用，2012(5)：10-11.

[8] 吳文光，朱如鵬.基于Workbench的斜齒輪固有特性分析[J].機(jī)械傳動(dòng)，2010，34(4)：54-56.

[9] 劉煬，李曉光.基于Workbench的斜齒輪參數(shù)化建模及有限元模態(tài)分析[J].計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)，2015,42(S1)：36-38，61.

[10] 楊宇博，崔仕博.漸開線齒輪靜態(tài)和模態(tài)的有限元分析[J].科技展望，2016，26(4)：131-132.