, , , ,

(1.云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院,昆明 650091; 2.廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南寧 530004)

調(diào)頻質(zhì)量阻尼器(TMD)可以通過調(diào)整彈簧系數(shù)與阻尼系數(shù)的大小使吸振阻尼器盡量接近激振頻率,從而起到減小建筑結(jié)構(gòu)在風(fēng)、地震等外部激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)的作用,是一種有效、常用的被動(dòng)控制裝置.為此,合理地選擇TMD參數(shù)顯得尤為重要.在實(shí)際工程中,地震等隨機(jī)激勵(lì)往往成為建筑結(jié)構(gòu)破壞的主因,因此帶來的結(jié)構(gòu)-TMD參數(shù)的不確定性優(yōu)化選擇成為研究的重點(diǎn).

近幾十年,由于力學(xué)、數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)的進(jìn)展,確定性激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和隨機(jī)激勵(lì)下線性優(yōu)化得到了快速而廣泛的發(fā)展.但是,隨機(jī)激勵(lì)作用下的結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)約束條件求解困難,成為隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的瓶頸.

在結(jié)構(gòu)全壽命周期內(nèi),由于載荷的隨機(jī)性,結(jié)構(gòu)將不可避免地進(jìn)入非線性階段. 然而,為了處理問題的方便,人們常常將隨機(jī)振動(dòng)與隨機(jī)結(jié)構(gòu)人為割裂開來,不考慮兩者的耦合效應(yīng). 其中,具有代表性的有功率譜分析、矩演化方法與FPK方程(Fokker Planck Kolmogorov equation)等[1-2],而在隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析中具有代表性的方法主要有隨機(jī)模擬方法、隨機(jī)攝動(dòng)技術(shù)與正交多項(xiàng)式展開理論等.這些方法主要集中在平穩(wěn)激勵(lì)和低自由度情況,而對于多自由度非線性系統(tǒng),結(jié)構(gòu)非線性與隨機(jī)性的耦合效應(yīng)對隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)非線性分析帶來了巨大困難,而陳建兵等[3-4]提出的廣義概率密度理論,其演化方程的維數(shù)與原系統(tǒng)的維數(shù)無關(guān),因此,求解多自由度問題更為方便.而且既可以直接獲得隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù),又可以同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)特性與激勵(lì)的隨機(jī)性.

本文通過基于概率密度演化理論的動(dòng)力可靠度計(jì)算方法求解結(jié)構(gòu)的位移可靠度,將隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的位移約束拓展到可靠度層面,準(zhǔn)確描述隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的約束條件.從而建立了隨機(jī)激勵(lì)下多自由度剪切型框架結(jié)構(gòu)-TMD體系的優(yōu)化模型.并采用遺傳算法對TMD結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼與剛度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).實(shí)現(xiàn)了概率密度演化方法在隨機(jī)激勵(lì)下TMD建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的成功應(yīng)用.

1 結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)優(yōu)化模型

如圖1所示,在框架結(jié)構(gòu)頂層安裝TMD控制裝置的多自由度TMD建筑結(jié)構(gòu)形式[5-7],圖1中mi表示結(jié)構(gòu)體系第i層質(zhì)量,假設(shè)主結(jié)構(gòu)受地震激勵(lì),則TMD裝置運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

圖1 多層剪切模型Fig.1 Multilayer shear model

由于在工程實(shí)際中結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地震波的波長,而且在每次地震中造成結(jié)構(gòu)破壞的最主要因素是剪切地震波的作用,所以,假設(shè)建筑結(jié)構(gòu)為剪切型模型,即各層之間的梁和板的剛度無窮大,不考慮結(jié)構(gòu)層間的梁板轉(zhuǎn)動(dòng)變形,則主結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中:[M0],[C0],[K0]分別表示主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;{X}為主結(jié)構(gòu)的位移列向量;In為單位列向量.

TMD控制裝置對主結(jié)構(gòu)的阻尼調(diào)制作用及剛度調(diào)制作用分別為

綜合式(1)和式(2),可列矩陣方程式(3).

(3)

M=diag (Mj(i)),j=1,2,3,…,n,Mj(i)為結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量.

而結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的剛度矩陣

K=

(4)

式中,ki表示第i層剛度.

主結(jié)構(gòu)的阻尼形式采用瑞雷阻尼,針對設(shè)置TMD減震控制裝置的結(jié)構(gòu)體系,結(jié)構(gòu)-TMD體系的阻尼矩陣

(5)

式中,a0,a1為不依賴于頻率的常數(shù),通常采用實(shí)測的結(jié)構(gòu)阻尼比來確定,或通過給定的2個(gè)振型的阻尼比的值來確定.

采用哈密頓體系和 Wilson-θ法對TMD框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)激勵(lì)作用下的彈性動(dòng)力時(shí)程分析,由層單元?jiǎng)偠染仃?利用剛度集成法求得主結(jié)構(gòu)剛度矩陣,疊加TMD系統(tǒng)的剛度,最后求得整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣.質(zhì)量矩陣采用集中質(zhì)量法和瑞雷阻尼,采用Wilson-θ時(shí)程積分法對框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程進(jìn)行求解.

2 概率密度演化理論

對于一個(gè)包含n個(gè)自由度的系統(tǒng),引入隨機(jī)向量后,將運(yùn)動(dòng)方程[8-9]可以改寫為

(6)

本文選取的物理量是結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng),根據(jù)概率守恒原理,(Z(t),Θ)所構(gòu)成的系統(tǒng)概率是恒定不變的,聯(lián)合概率密度函數(shù)pZΘ(z,θ,t)滿足廣義概率密度演化方程見式(7).廣義概率密度演化方程的推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)[10].

(7)

式(7)聯(lián)合概率密度函數(shù)pZΘ(z,θ,t)的初始條件可以表示為

pZΘ(z,θ,t0)=pZΘ(z,θ,t)δ(Z-Z0)

(8)

式中:Z0為Z(t)的確定性初始值;δ(·)為Dirac函數(shù).

而對聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行θ積分,可得到只關(guān)于Z(t)的概率密度函數(shù)

(9)

式中,Ωθ為θ的分布區(qū)域.

通過對概率密度方程的求解,可以很簡便地求出在隨機(jī)作用下的線性與非線性動(dòng)力反應(yīng)的概率密度,從而獲得二階及更高階的統(tǒng)計(jì)矩,完整地反映結(jié)構(gòu)體系狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的隨機(jī)信息.

3 位移可靠度約束

通常情況下,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,以結(jié)構(gòu)的最大彈性層間位移限值作為控制指標(biāo)建立位移極限約束方程.

μj≤μβ,j=1,2,3,…m

(10)

式中:μj為第j層層間位移響應(yīng)最大值;μβ為給定的結(jié)構(gòu)層間位移限值.

假設(shè)結(jié)構(gòu)體系的層間位移響應(yīng)需滿足約束條件μγ≤μj≤μβ,則在t時(shí)刻,結(jié)構(gòu)體系層間位移滿足約束條件的概率為

(11)

式中,pμj(μj,t)為結(jié)構(gòu)體系在隨機(jī)激勵(lì)下第j層層間位移概率密度函數(shù).

在基于首次超越破壞準(zhǔn)則的條件下,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)滿足約束條件的概率與結(jié)構(gòu)在t時(shí)刻的位移可靠度p(μγ≤μj≤μβ,t)相等,即

(12)

若要使結(jié)構(gòu)體系在0～t時(shí)間段內(nèi)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的位移可靠度值不小于pmin,只需要求解出結(jié)構(gòu)體系在激勵(lì)時(shí)間段內(nèi)所有時(shí)間點(diǎn)的位移可靠度,使之滿足

p(μγ≤μj≤μβ,0～t)≥pmin

(13)

當(dāng)采用方程(7)來求解pμj(μj,t)時(shí),參照文獻(xiàn)[11],可以對結(jié)構(gòu)施加一個(gè)邊界吸收壁條件:

(14)

這表明一旦不滿足約束條件,則概率進(jìn)入失效區(qū)域,且失效區(qū)域內(nèi)的概率將不再返回有效區(qū)域,即該部分的概率被完全吸收,隨之可靠度降低.

4 遺傳算法

基于隨機(jī)激勵(lì)作用下多自由度TMD框架結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)特點(diǎn),以位移可靠度為約束條件,采用遺傳算法求解TMD的最優(yōu)質(zhì)量md,其模型定義為

minf(x),x=x1,x2,…,xn

目標(biāo)函數(shù)f(x)為結(jié)構(gòu)體系的頂層層間位移響應(yīng).為了方便遺傳算法的應(yīng)用,將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題[12],當(dāng)?shù)趇個(gè)個(gè)體約束條件滿足時(shí),Ci=0;否則,Ci=0.2,該無約束問題為

minφ(x)=f(x)(1+PC)

式中,參數(shù)P表示違約對于目標(biāo)函數(shù)的影響,本文P取值為1,表示違約一次,目標(biāo)函數(shù)增大,其代表的個(gè)體更容易被淘汰.

在迭代過程中,需要對每一代種群個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行評價(jià),其適應(yīng)度

式中,μi為該種群中第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度.

為了驗(yàn)證本文所選研究方法的嚴(yán)謹(jǐn)性和有效性,以3層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)減震控制參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例,設(shè)基本參數(shù)為:第1至第3層質(zhì)量m=2 762,2 760,2 300 kg,剛度分別為2.485×104,1.921×104,1.522×104 N/m.位移可靠度約束為頂層位移在[-0.05 0.05]m范圍內(nèi)的概率不小于0.9.在基底輸入隨機(jī)載荷,隨機(jī)載荷采用20條0.2g(g為重力加速度)人工波模擬,采樣周期0.02 s.在結(jié)構(gòu)的層間位移響應(yīng)最小的情況下,得到結(jié)構(gòu)-TMD體系的最優(yōu)參數(shù).

初設(shè)設(shè)計(jì)變量的取值范圍為:md∈(0.03,10.52) t,cd=0.9×c11,kd=0,其中,c11表示結(jié)構(gòu)-TMD體系中阻尼矩陣C內(nèi)的第一個(gè)數(shù).

取篩選概率0.3,交叉概率0.2,變異概率0.2,隨機(jī)載荷采用20條人工波模擬,種群大小分別取20,30,40,迭代50次,計(jì)算結(jié)果如表1所示.從表1中可以看出,在最小可靠度pmin=0.9的約束條件下,當(dāng)TMD質(zhì)量取4.13 t時(shí),優(yōu)化后的TMD結(jié)構(gòu)對位移響應(yīng)的控制效果最優(yōu),優(yōu)化后的最大位移可達(dá)到優(yōu)化前的56.27%.隨著種群數(shù)的增加,計(jì)算結(jié)果越來越好,且趨于穩(wěn)定.圖2和圖3給出了最優(yōu)個(gè)體頂層的層間位移概率密度演化曲面和典型時(shí)刻的概率密度函數(shù)曲線.由圖2和圖3可知,通過對概率密度演化方程進(jìn)行求解,可以方便地提取任意時(shí)刻結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)的概率密度信息,這樣能夠準(zhǔn)確地描述結(jié)構(gòu)在任意時(shí)刻的隨機(jī)響應(yīng),進(jìn)而計(jì)算出結(jié)構(gòu)在任意時(shí)刻的位移可靠度.結(jié)果表明,雖然隨機(jī)激勵(lì)屬于正態(tài)分布,但是,位移響應(yīng)在任意時(shí)刻的概率分布既不屬于通常假定的正態(tài)分布,也不屬于其他特殊分布,它具有明顯的多峰特性,且隨著時(shí)間改變而變化.圖4給出了優(yōu)化過程中所有個(gè)體的結(jié)構(gòu)頂層層間位移可靠度的平均值變化,由于是在一定的位移可靠度約束下,且目標(biāo)函數(shù)是結(jié)構(gòu)頂層層間位移響應(yīng)最小,所以,位移可靠度隨時(shí)間的增加逐漸增加,最終達(dá)到位移可靠度約束0.9,表明優(yōu)化后位移可靠度增加,TMD具有減震效果.

表1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Structural optimization results

圖2 頂層的層間位移概率密度演化曲面Fig.2 Evolving surface of the displacement probabilitydensity function of the top floor

圖3 典型時(shí)刻的概率密度函數(shù)Fig.3 Probability density function at typical time

通過對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)頂層層間的位移響應(yīng),如圖5所示,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)結(jié)構(gòu)本身位移響應(yīng)越大的時(shí)候,控制效果越明顯;當(dāng)結(jié)構(gòu)本身位移響應(yīng)很小的時(shí)候,TMD裝置對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的控制效果不明顯.所以,總體上TMD對降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有很好的效果,優(yōu)化后的峰值響應(yīng)為優(yōu)化前的56.27%.

圖4 頂層的層間位移可靠度Fig.4 Vertical displacement reliability of the top floor

圖5 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)頂層層間位移響應(yīng)Fig.5 Comparison between the displacement responsesat the top and bottom of the structure beforeand after optimization

5 結(jié) 論

針對多自由度TMD結(jié)構(gòu)體系在非平穩(wěn)隨機(jī)地震作用下的最優(yōu)TMD參數(shù)求解問題,將改進(jìn)遺傳算法中的位移約束條件用隨機(jī)概率密度理論求解出的位移可靠度描述,解決了傳統(tǒng)的位移約束條件對于隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不適應(yīng)性問題.通過算例可以看出:

a. TMD能夠很好地發(fā)揮作用,特別是能夠降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最大峰值,優(yōu)化后的峰值響應(yīng)為優(yōu)化前的56.27%,即大大降低了結(jié)構(gòu)的失效概率.

b. 通過對任意時(shí)刻結(jié)構(gòu)位移的概率密度信息進(jìn)行提取,實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)全災(zāi)變的準(zhǔn)確描述.結(jié)果表明,雖然隨機(jī)激勵(lì)屬于正態(tài)分布,但是,位移響應(yīng)具有多峰的性質(zhì),且隨著時(shí)間的變化而變化,因此,對全過程的概率描述是必要的.

c. 在位移可靠度約束下,對優(yōu)化過程中所有個(gè)體結(jié)構(gòu)頂層層間位移可靠度平均值監(jiān)測結(jié)果說明位移可靠度隨時(shí)間的增加逐漸增加,最終達(dá)到位移可靠度約束0.9的理想效果,進(jìn)一步說明該方法得到的TMD參數(shù)具有良好的減震效果.

本文所提出的思路與方法為計(jì)算隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)可靠度提供了新的途徑,實(shí)現(xiàn)了概率密度演化方法在隨機(jī)激勵(lì)下TMD建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的成功應(yīng)用,為隨機(jī)載荷下多塔結(jié)構(gòu)控制優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了很好的技術(shù)支持.

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