王家祥，楊向紅，孫建軍

（天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300387）

引言

梯形螺桿將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動(dòng)、將扭矩轉(zhuǎn)換成推力等優(yōu)點(diǎn)而被大量使用在航空航天、海洋領(lǐng)域以及生產(chǎn)的各行各業(yè)。由于其截面型線的多樣性和加工過(guò)程中空間嚙合的復(fù)雜性，導(dǎo)致螺桿嚙合間隙不均勻、運(yùn)轉(zhuǎn)振動(dòng)大、齒間嚙合出現(xiàn)局部干涉，使得梯形螺桿普遍存在嚙合沖擊大、壽命低等問(wèn)題。賈寅等人基于螺桿真空泵針對(duì)單頭梯形螺桿齒頂圓周螺旋升角小于齒根圓周螺旋升角,在兩螺桿齒間嚙合區(qū)，一螺桿的齒頂部分與另一螺桿的齒根部分上升速率不一，導(dǎo)致產(chǎn)生根切現(xiàn)象,即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)二級(jí)轉(zhuǎn)子齒間干涉[1]進(jìn)行型線研究[2]。張世偉等針對(duì)單頭等螺距梯形螺桿轉(zhuǎn)子型線的干涉問(wèn)題提出平移齒面法和內(nèi)凹齒面法[3]，并未涉及各型線方程之間的一階連續(xù)性問(wèn)題?；诼輻U加工過(guò)程中的嚙合情況，趙春秀等對(duì)成型銑刀加工螺桿過(guò)程的坐標(biāo)計(jì)算進(jìn)行了研究[4]，景寧等建立了圓柱立銑刀成型加工螺桿曲面模型[5]，Yang等使用逆包絡(luò)法的思想建立了11∶6單螺桿壓縮機(jī)的數(shù)字化模型并進(jìn)行了加工刀具的設(shè)計(jì)[6]，王艷琴等建立并仿真了球頭銑刀加工螺桿的過(guò)程[7]。刀具刃形的求解方法無(wú)法解決任意型線的情況，尤其展現(xiàn)于對(duì)螺桿齒形曲線的光滑連續(xù)性方面。本文采用內(nèi)凹齒面法設(shè)計(jì)螺桿截面型線，解決了螺桿截面各型線之間的一階連續(xù)問(wèn)題，有效避免齒間干涉的出現(xiàn)，建立并解析出螺桿曲面模型?；诳臻g包絡(luò)原理，對(duì)解析出的螺桿模型，將螺桿齒形離散成一系列離散點(diǎn)，研究螺桿于刀具加工過(guò)程中的空間嚙合特性和幾何特性，建立工件—刀具坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程，結(jié)合嚙合原理解析出刀具接觸跡方程、刀具軸向刃形。

1 螺桿三維建模

1.1 等螺距螺旋面方程

在圖1中，該螺旋面是由曲線c沿著z軸方向作等速移動(dòng)，同時(shí)沿著z軸作等速旋轉(zhuǎn)形成，即由曲線c沿著軸向作螺旋運(yùn)動(dòng)形成。建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系（x，y，z），三個(gè)坐標(biāo)的矢量分別表示，引入端截面角度參數(shù)φ，可以得到已知的螺桿端截面曲線c的坐標(biāo)方程為：

圖1 螺旋曲面

若已知的螺桿端面廓形——曲線c繞著z軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度θ，同時(shí)曲線c沿著z軸方向以導(dǎo)程pz上升一個(gè)距離時(shí)，引入螺旋參數(shù)p來(lái)表示，其中p=pzθ/（2π）[8-9]，則上式沿螺旋線形成的左螺旋面方程可以表達(dá)成：

右螺旋面方程則為：

式中：θ為角度參數(shù)，表示母線沿z軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，沿著z軸看，以順時(shí)針為正；p為螺旋參數(shù)，表示母線繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)單位角度，沿z軸方向移動(dòng)的距離[10]。

由式（2）或式（3）可知，若以θ為常數(shù)，而只改變?chǔ)眨傻玫讲煌S向位置處的端截面廓形曲線。反之，保持φ為常數(shù)，而改變?chǔ)?，便可得到該螺旋面上的一系列螺旋線[11-12]。

1.2 單頭等螺距內(nèi)凹螺桿形線設(shè)計(jì)

螺桿的截面線型一般有對(duì)稱圓弧型線、不對(duì)稱圓弧型線以及新型不對(duì)稱型線等，常用的是漸開(kāi)線和擺線[13]。本文用漸開(kāi)線、擺線和圓弧曲線作為所要設(shè)計(jì)的單頭等距內(nèi)凹螺桿的形線，如圖2和圖3所示。對(duì)于螺桿的左、右旋向而言，在實(shí)際制造過(guò)程中其線形設(shè)計(jì)基本參數(shù)一致，左右旋向不同，從而配對(duì)成一對(duì)螺桿轉(zhuǎn)子。

圖2 螺桿嚙合半剖示意圖

圖3 螺桿截面嚙合示意圖

如圖2所示，1為齒頂圓線形，2為漸開(kāi)線線形，3為齒根圓線形，4為內(nèi)凹擺線線形。螺桿嚙合點(diǎn)處的端截面形線則如圖3所示，主要參數(shù)包括：嚙合中心距A0，齒頂圓半徑R1，齒根圓半徑R2，漸開(kāi)線的生成圓半徑R，理論嚙合圓其半徑R3，以及參數(shù)p（p=導(dǎo)程（/2π））。其中：

所設(shè)計(jì)的螺桿端截面各段截面形線方程分別為：

1）齒頂圓方程：

2）齒根圓方程：

3）漸開(kāi)線部分是由標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線方程先順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2，同時(shí)為了使得嚙合點(diǎn)位于兩嚙合圓心連線上，需再將漸開(kāi)線方程順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角。本文中的漸開(kāi)線方程是由標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線方程經(jīng)過(guò)這兩步旋轉(zhuǎn)變化所得，其方程的矩陣形式為：

4）擺線部分亦是由擺線的標(biāo)準(zhǔn)方程逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2所得，則其方程矩陣表達(dá)式為：

初步設(shè)計(jì)的截面形線中齒根圓與漸開(kāi)線、漸開(kāi)線與齒頂圓、齒頂圓與擺線相交點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)不存在，導(dǎo)致螺桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生較大的震動(dòng)、兩螺桿間嚙合不順暢，損耗螺桿的使用壽命，因而必須減少不可導(dǎo)點(diǎn)的出現(xiàn)。為了能夠使得各段形線連接點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，本文采用圓弧過(guò)渡的方法：

齒根圓與漸開(kāi)線部分采用外切圓弧過(guò)渡，設(shè)此圓弧方程為：

其中：（a，b）為過(guò)渡圓弧圓心點(diǎn)坐標(biāo)，c為過(guò)渡圓弧半徑。則聯(lián)立公式（6）和（9）可得方程組（10），即可得到過(guò)渡圓弧與齒根圓的交點(diǎn)：

聯(lián)立公式（7）和（9）可得方程組（11），即得到過(guò)渡圓弧與漸開(kāi)線的交點(diǎn)：

通過(guò)給定過(guò)渡圓弧半徑，求解方程組（10）（11），可得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，y1），（x2，y2），由這兩點(diǎn)坐標(biāo)與過(guò)渡圓弧半徑就可確定過(guò)渡圓弧圓心位置。此外把點(diǎn)（x1，y1）代入到公式（6），可求解出齒根圓終止角θ1；把（x2，y2）代入到公式（7），可求得漸開(kāi)線部分的起始角θ2。

齒頂圓與漸開(kāi)線采取內(nèi)切圓弧過(guò)渡，同上可確定此時(shí)過(guò)渡圓弧圓心位置，并求解齒頂圓起始角與漸開(kāi)線終止角。對(duì)于齒頂圓與內(nèi)凹擺線處的過(guò)渡方式，可用內(nèi)切圓弧過(guò)渡，求解出過(guò)渡圓弧圓心位置，并確定齒頂圓和內(nèi)凹曲線的終止位置。

根據(jù)上文推導(dǎo)，代入各個(gè)參數(shù)的實(shí)際賦值（R=20，R1=80，R2=30，c=5），通過(guò)C語(yǔ)言編程計(jì)算，將求解出的數(shù)據(jù)用Grapher繪制，得到如圖4所示含過(guò)渡曲線的螺桿數(shù)學(xué)模型圖：

圖4 螺桿數(shù)學(xué)模型圖

2 刀具及工件坐標(biāo)系的建立

考慮螺桿的實(shí)際加工過(guò)程，建立刀具模型，基于包絡(luò)法加工螺桿[14]的過(guò)程確定工件和刀具坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。由于銑刀在加工過(guò)程中一直處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，所以可以將刀具模型簡(jiǎn)化為其旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的回轉(zhuǎn)工作面，即將刀具的回轉(zhuǎn)工作面作為所要建立的刀具模型。

如圖5所示，使刀具沿著工件坐標(biāo)軸x正方向由遠(yuǎn)及近進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在工件和刀具達(dá)到接觸時(shí)，接觸點(diǎn)稱為第一接觸點(diǎn)即為刀具與工件接觸的初始位置（初始切削點(diǎn)位置）。

2.1 銑刀方程的建立

成形銑刀工作的有效切削表面是其形成的回轉(zhuǎn)面，其結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為如圖6所示。

則刀具簡(jiǎn)化模型的軸向截形即刀具廓形方程可表示為：

其中：R表示刀具表面點(diǎn)刀刀具軸線的距離，zr表示刀具軸向坐標(biāo)值，即刀具厚度。

2.2 刀具與工件坐標(biāo)系的關(guān)系

圖5 包絡(luò)法加工示意圖

圖6 刀具簡(jiǎn)化模型示意圖

3 刀觸點(diǎn)軌跡的推導(dǎo)與驗(yàn)證

基于空間包絡(luò)法，工件與刀具是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的接觸切削，且工件表面曲線與刀具表面曲線是一對(duì)共軛曲線，則滿足共軛曲線接觸的三個(gè)基本條件[15]：

1）在接觸點(diǎn)處位置重合；

2）在接觸點(diǎn)處相切；

3）在共軛接觸點(diǎn)處，該點(diǎn)處的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速度方向必須垂直于該點(diǎn)處的公法面即垂直于兩曲面內(nèi)任意法線。

螺桿是由工件繞著C軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與刀具沿著螺桿z軸向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)包絡(luò)而成。若設(shè)取螺桿面上一點(diǎn)M（x，y，z），則該點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的徑矢為：

設(shè)刀具回轉(zhuǎn)角速度為ω2，工件螺旋面回轉(zhuǎn)的角速度為ω1，并以pω1勻速沿螺桿z軸向平移以滿足螺旋面自身的螺旋運(yùn)動(dòng)。

則M點(diǎn)處隨螺旋面運(yùn)動(dòng)的線速度為：

M點(diǎn)處隨刀具運(yùn)動(dòng)的線速度為：將式（13）和式（14）代入式（16）整理得：由嚙合原理可得：

根據(jù)右螺旋方程矢量表達(dá)式可以求解出右螺旋螺桿曲面上任意一點(diǎn)M（x，y，z）處的法矢量方程→n：

則由矢量運(yùn)算法則得：整理式（20）、式（21）、式（22）可得：

稱式（23）為右螺旋面特性方程。

同理可以得到左螺旋面特性方程：

將式（15）、式（16）、式（23）代入式（18），化簡(jiǎn)整理得：

式（25）稱為刀觸點(diǎn)方程，在工件的端面截形上取一個(gè)定φ值，則可以通過(guò)式（25）可以求解出一個(gè)對(duì)應(yīng)的θ值，表示工件截面上的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)按螺旋運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)過(guò)θ后成為接觸點(diǎn)，將點(diǎn)（φ，θ）代入螺旋面方程就得到了一個(gè)接觸點(diǎn)，一系列的接觸點(diǎn)構(gòu)成了空間的接觸線（也稱為接觸跡）。將接觸線繞著刀具回轉(zhuǎn)軸線進(jìn)行回轉(zhuǎn)，可得到刀具的回轉(zhuǎn)面。利用坐標(biāo)變換式（13）將接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系O-XYZ中，得到坐標(biāo)（x1，y1，z1），將一系列離散點(diǎn)通過(guò)轉(zhuǎn)換方程求解出的坐標(biāo)代入式（11）可得到銑刀軸向截形。

其中，取A0=140 mm，p=110.0/（2π），R=80.0 mm，δ=41.197352°，δ所取的值為被加工螺桿的螺旋升角，用C語(yǔ)言編程求解，可以求解出刀具廓形上的點(diǎn)，如圖7所示。

圖7 銑刀廓形截面點(diǎn)分布圖

如圖7所示，求解過(guò)程中存在導(dǎo)數(shù)無(wú)窮大點(diǎn)，所以求解處的廓形曲線上有突變點(diǎn)，對(duì)突變點(diǎn)處進(jìn)行修整，整理數(shù)據(jù)可得到銑刀在廓形截面上的刀具厚度與半徑之間的函數(shù)圖像關(guān)系。對(duì)上圖中的銑刀截形使其繞著刀具軸線R=0旋轉(zhuǎn)一周即可得到完整的銑刀廓形。

4 結(jié)論

1）為避免齒間嚙合干涉，針對(duì)單頭等螺距梯形螺桿進(jìn)行形線設(shè)計(jì)，解析各形線方程、起始點(diǎn)位置，求解出一系列的離散點(diǎn)坐標(biāo)，并用Grapher進(jìn)行坐標(biāo)點(diǎn)圖形繪制；

2）提出應(yīng)用空間包絡(luò)法加工螺桿，建立刀具與工件的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系以及簡(jiǎn)化的刀具模型；

3）研究空間包絡(luò)法加工工件的過(guò)程，并根據(jù)加工時(shí)刀具與工件所必須符合的嚙合原理推導(dǎo)出刀觸點(diǎn)方程，求解出刀位接觸點(diǎn)軌跡的方程，通過(guò)C語(yǔ)言依據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系編程解出工件上離散接觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刀具接觸點(diǎn)坐標(biāo)，得出了刀具廓形。

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