許東亮+方守文

【摘 要】考慮度量滿足規(guī)范ε-Ricci流的閉的n維黎曼流形，給出一類幾何算子-Δ+cR的特征值的發(fā)展方程，其中常數(shù)c≥1/4，R是流形上的數(shù)量曲率。作為應(yīng)用，在閉曲面上證明了這類幾何算子的特征值沿著規(guī)范ε-Ricci流保持單調(diào)性，從而推廣了前人的相關(guān)研究結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】規(guī)范ε-Ricci流；特征值；單調(diào)性；幾何算子

中圖分類號(hào)：O186.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)： 2095-2457（2017）32-0017-002

【Abstract】An n dimensional closed Riemannian manifold with the metric which satisfied the normalizedε-Ricci flow will be considered in the paper. The evolution of eigenvalues for geometric operator will be obtained. As an application， along the normalizedε-Ricci flow the monotonicity of eigenvalues can be proved on closed surfaces. These results generalizes our predecessors results on Ricci flow.

【Key words】The normalizedε-Ricci flow； Eigenvalue； Monotonicity； Geometric operator

1 預(yù)備知識(shí)

3 結(jié)語

本文利用幾何分析的方法，對(duì)規(guī)范ε-Ricci流下一類常見的幾何算子的特征值進(jìn)行研究，得到了閉曲面上該算子特征值的單調(diào)性。文中的結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[4]中的相關(guān)結(jié)果，也對(duì)ε-Ricci流及流形上幾何算子特征值相關(guān)問題的進(jìn)一步研究有很好的啟發(fā)意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]PERELMAN G.The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications[DB/OL].（2002-11-11）[2012-11-25].http：//arxiv.org/abs/math/0211159.

[2]MA Li.Eigenvalue monotonicity for the Ricci-Hamilton flow [J].Ann.Global Anal.Geom.，2006，29（3）：287-292.

[3]CAO Xiaodong. Eigenvalues of -R on manifolds with nonnegative curvature operator[J].Math.Ann.，2007，337（2）：435-441.

[4]CAO Xiaodong.First eigenvalues geometric operators under the Ricci flow[J].Proc.Amer.Math.Soc.，2008，136（11）：4075-4078.

[5]儲(chǔ)亞偉，朱茱.ε-Ricci流上一類幾何算子特征值的單調(diào)性[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，26（1）：22-24.

[6]方守文，朱鵬.Ricci流下具有位能的共軛熱方程Harnack量的熵[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，15（2）：14-16.

[7]方守文.延拓的Ricci流下具有位能的熱方程Harnack估計(jì)[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，16（2）：13-15.

[8]FANG Shouwen，XU Haifeng，ZHU Peng.Evolution and monotonicity of eigenvalues under the Ricci flow[J].Sci.China Math.，2015，58（8）：1737-1744.

[9]FANG Shouwen，ZHAO Liang，ZHU Peng.Estimates and monotonicity of the first eigenvalues under the Ricci flow on closed surfaces[J].Commun.Math.Stat.，2016，4（2）：217-228.

[10]FANG Shouwen，YANG Fei.First eigenvalues of geometric operators under the Yamabe flow[J].Bull.Korean Math.Soc.，2016，53（4）：1113-1122.

[11]FANG Shouwen，YANG Fei，ZHU Peng.Eigenvalues of geometric operators related to the Witten Laplacian under the Ricci flow[J].Glasg.Math.J.，2017，59（3）：743-751.endprint