婁藍(lán)英

摘 要：在學(xué)科綜合的指導(dǎo)思想下，運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科中的“集合思想、函數(shù)思想、計(jì)數(shù)原理、歸納推理”等數(shù)學(xué)思想在高中生物教學(xué)中的應(yīng)用研究，有效提高生物課堂的有效性，提高學(xué)生的解題能力和解題速度，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生不同學(xué)科知識(shí)的遷移能力和綜合發(fā)展能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；高中生物教學(xué)；應(yīng)用

數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)的一門基礎(chǔ)性和工具性的學(xué)科，在高中生物教學(xué)中，應(yīng)對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，教師可以引入不同的“數(shù)學(xué)思想”幫助學(xué)生理解不同的知識(shí)，“集合思想”能夠讓學(xué)生更加明確、生動(dòng)、形象地理解不同的生物學(xué)概念以及不同概念之間的聯(lián)系。把“分類加法計(jì)數(shù)原理”和“分步乘法計(jì)數(shù)原理”應(yīng)用于孟德?tīng)柖?，?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科之間的遷移能力和綜合能力。通過(guò)“歸納推理”“函數(shù)思想”，拓展學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生從具體的生物現(xiàn)象中建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)模型，再用抽象的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決具體的生物學(xué)現(xiàn)象，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去考慮生物學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

一、集合思想

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，集合是一個(gè)重要的概念和知識(shí)點(diǎn)。一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為“元素”，把一些元素組成的總體叫做“集合”，不同的集合之間又存在“子集”“交集”等關(guān)系，學(xué)生通過(guò)這些概念的學(xué)習(xí)，可以有效地把它運(yùn)用到高中生物學(xué)習(xí)中。高中生物教材中有上千個(gè)概念，不同的概念之間有區(qū)別也有聯(lián)系，我們可以使用集合之間不同的關(guān)系將生物概念分門別類地進(jìn)行總結(jié)和整理，從而幫助學(xué)生理解和記憶。

1.子集

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，在數(shù)學(xué)中可用Venn圖表示（圖1）。

此概念可以用來(lái)分析生態(tài)學(xué)中的“種群”“群落”和“生態(tài)系統(tǒng)”等概念，種群指的是占有一定空間和時(shí)間的同一物種個(gè)體的集合體。也就是說(shuō)種群作為一個(gè)大的集合，其內(nèi)部的同一物種的生物就是該集合內(nèi)的“元素”。群落指的是占有一定空間和時(shí)間的所有生物種群的集合體，也就是說(shuō)在群落這個(gè)大集合里，所有的種群就是該集合內(nèi)的“元素”。因此，種群包含于群落中，種群是群落的子集。以此類推，群落在整個(gè)自然界的生態(tài)系統(tǒng)中也只是其中一個(gè)“元素”，群落包含于生態(tài)系統(tǒng)中，群落是生態(tài)系統(tǒng)的子集。所以可以根據(jù)以上關(guān)系，“種群”“群落”和“生態(tài)系統(tǒng)”三個(gè)集合可以畫(huà)出相應(yīng)的Venn圖（圖2）。

2.交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，在數(shù)學(xué)中可用Venn圖表示（圖3）。在生物學(xué)中不同的概念（集合A、集合B）之間有相似點(diǎn)或共同的條件（即交集C），比如：很多物質(zhì)或結(jié)構(gòu)是植物或動(dòng)物特有的，但也有些結(jié)構(gòu)是動(dòng)植物都有的，植物性糖類（集合A）、動(dòng)物性糖類（集合B）、動(dòng)植物兼有的糖類（交集C）。有些概念之間比較復(fù)雜，用文字表述啰嗦不明，我們就可以借助交集圖，比如：蛋白質(zhì)、抗原、多糖、酶、激素之間的關(guān)系（圖4）。

二、函數(shù)思想

函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述事物就稱為數(shù)學(xué)模型。引導(dǎo)學(xué)生從具體的生物現(xiàn)象中建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)模型，再用抽象的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決具體生物學(xué)現(xiàn)象，使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去考慮生物學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科綜合能力和分析、解決問(wèn)題的能力。

實(shí)例：在理想條件下，細(xì)菌每20min分裂一次。問(wèn)題：（1）如果從一個(gè)細(xì)菌開(kāi)始，每繁殖一次，細(xì)菌數(shù)目有多少？（2）根據(jù)數(shù)據(jù)變化規(guī)律，用y表示細(xì)菌數(shù)目，x表示細(xì)菌繁殖代數(shù)，寫(xiě)出x代后細(xì)菌種群數(shù)目的表達(dá)式？（指數(shù)函數(shù)y=2x）（3）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，細(xì)菌數(shù)目為縱坐標(biāo)，畫(huà)出細(xì)菌種群數(shù)量增長(zhǎng)的曲線。結(jié)合數(shù)學(xué)“指數(shù)函數(shù)”的概念與性質(zhì)，學(xué)生能更好地理解生物知識(shí)——“指數(shù)增長(zhǎng)”。

三、計(jì)數(shù)原理

在小學(xué)時(shí)我們已學(xué)習(xí)了加法和乘法，這是將若干個(gè)小的數(shù)結(jié)合成較大數(shù)的最基本技巧，而由他們衍生出來(lái)的“分類加法計(jì)數(shù)原理”和“分步乘法計(jì)數(shù)原理”是計(jì)數(shù)問(wèn)題兩個(gè)最基本、最重要的方法。《遺傳與進(jìn)化》模塊中孟德?tīng)柾愣闺s交實(shí)驗(yàn)的研究中充分體現(xiàn)和利用了“計(jì)數(shù)原理”，教師可利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)組織教學(xué)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)和感受孟德?tīng)栠z傳定律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和知識(shí)應(yīng)用能力。

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

分類加法計(jì)數(shù)原理是指完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。

問(wèn)題：一對(duì)表現(xiàn)型正常的夫婦，有一個(gè)患白化病的女兒和正常的兒子。此兒子與一白化病女子婚配，他們生一個(gè)正常孩子的概率是多少？

分析：白化病是常染色體隱性遺傳，基因設(shè)為B、b，則患病女兒為bb，父母均為Bb，正常兒子基因型為BB或Bb，概率分別為1/3，2/3。“此正常兒子與患病女子（bb）婚配，生一個(gè)正常孩子的概率”這件事完成有兩類情況，第一類為BB1/3×bb→1/3Bb（正常），第二類為2/3Bb×bb→1/3Bb（正常）+1/3bb（患病），那么完成這件事“他們生一個(gè)正常孩子的概率”為：1/3Bb（正常）+1/3Bb（正常）=2/3。此類問(wèn)題，最重要的特征是“或”字的出現(xiàn)。

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

分類加法計(jì)數(shù)原理是指完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第一步有m種方法，做第二步有n種方法，那么完成這件事共有N=n×m種不同的方法。孟德?tīng)柕淖杂山M合定律涉及兩對(duì)（或兩對(duì)以上）等位基因（獨(dú)立遺傳），因此在解答相關(guān)題目時(shí)，多數(shù)學(xué)生存在錯(cuò)誤率高、解題速度慢的問(wèn)題，此時(shí)我們就可以利用數(shù)學(xué)中的“分步乘法計(jì)數(shù)原理”，化難為簡(jiǎn)。

（1）計(jì)算配子的種類

問(wèn)題：三對(duì)等位基因獨(dú)立遺傳（位于三對(duì)同源染色體上），則AaBbCc能產(chǎn)生幾種配子？

分析：AaBbCc有三對(duì)等位基因，所以這件事可以分三步：第一步，Aa能產(chǎn)生2種配子，第二步，Bb能產(chǎn)生2種配子，第三步，Cc能產(chǎn)生2種配子，所以答案是2×2×2=8，AaBbCc總共能產(chǎn)生8種配子。endprint

（2）計(jì)算子代基因型、表現(xiàn)型的種類

問(wèn)題：兩種基因型親本雜交（AaBbCC×AaBbcc），子代基因型和表現(xiàn)型分別有幾種？

分析：表1

同理我們也可用此方法計(jì)算子代基因型、表現(xiàn)型所占比例，如親本雜交（AaBbCc×AaBbcc），子代中基因型為AaBbcc個(gè)體的概率為：1/2×1/2×1/2=1/8，表現(xiàn)型為A_B_cc個(gè)體的概率=3/4×3/4×1/2=9/32。

四、歸納推理

由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）。歸納是從部分到整體，從個(gè)別到一般的過(guò)程，它屬于合情推理。

傳統(tǒng)上，根據(jù)前提所查對(duì)象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考查了某類事物的全部對(duì)象，不完全歸納推理則僅僅考查了某類事物的部分對(duì)象。自然界的生命現(xiàn)象多種多樣，呈現(xiàn)同一生命運(yùn)動(dòng)規(guī)律的個(gè)體往往是無(wú)限的，所以在生物學(xué)的科學(xué)發(fā)現(xiàn)中，不完全歸納推理不但是常用的，而且是重要的思維方法。

1.枚舉歸納推理

枚舉歸納推理是根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有某種屬性，而且沒(méi)有遇到相反的情況，從而推出這一類事物的全部對(duì)象都具有某種屬性的歸納推理。枚舉歸納推理的結(jié)論是或然的，它的可靠程度是和事例數(shù)量相關(guān)的。

實(shí)例：枚舉幾種氨基酸的結(jié)構(gòu)式，通過(guò)觀察比較相同點(diǎn)，學(xué)生歸納出氨基酸的結(jié)構(gòu)通式：一個(gè)中央碳原子上連接著一個(gè)氨基、一個(gè)羧基、一個(gè)氫和一個(gè)R基團(tuán)。此過(guò)程遵循了由簡(jiǎn)單事實(shí)到一般規(guī)律的數(shù)學(xué)歸納思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中由感性認(rèn)識(shí)上升到理性思維，并通過(guò)簡(jiǎn)單的模型建構(gòu)，幫助學(xué)生理解和記憶核心概念。

2.概率歸納推理

概率歸納推理是以思維對(duì)象中的部分對(duì)象出現(xiàn)的概率為前提，提出思維對(duì)象的全部對(duì)象都具有這個(gè)概率的結(jié)論的推理歸納。高中生物學(xué)中的遺傳學(xué)和生態(tài)學(xué)，以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中有較多的應(yīng)用。

實(shí)例：孟德?tīng)柾愣?對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)和測(cè)交實(shí)驗(yàn)的子代表現(xiàn)型及比例進(jìn)行歸納推理（如圖5）：（所以前為歸納，所以后為推理）

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法處理遺傳實(shí)驗(yàn)結(jié)果，是孟德?tīng)栐谘芯糠椒ㄉ系囊淮髣?chuàng)造，概率歸納推理是“數(shù)理統(tǒng)計(jì)法處理遺傳實(shí)驗(yàn)結(jié)果”的重要思維方式，由7對(duì)相對(duì)性狀的實(shí)驗(yàn)結(jié)果到一般的拓展和總結(jié)，構(gòu)成了孟德?tīng)栠z傳定律的重要基礎(chǔ)。

3.科學(xué)歸納推理

科學(xué)歸納推理不是考查對(duì)象數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)和經(jīng)驗(yàn)概括，而是以認(rèn)識(shí)事物之間的因果聯(lián)系為前提，所以，只要能對(duì)事物的因果聯(lián)系作出正確的科學(xué)分析，即使數(shù)量不多，也能推出可靠的結(jié)論。

實(shí)例：自然界中的生物成千上萬(wàn)，它們的遺傳物質(zhì)分別是什么？科學(xué)家不可能把所有的生物進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，所以我們需要從部分生物的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)論中，找出不同生物之間的差異和聯(lián)系，歸納推理出所有生物的遺傳物質(zhì)分別是什么（如圖6）？（所以前為歸納，所以后為推理）

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1[M].人民教育出版社，2007：2-9.

[2]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-3[M].人民教育出版社，2009：2-4.

[3]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2[M].人民教育出版社，2007：71.endprint