摘 要：本文總結(jié)了求解遞推數(shù)列極限的兩個(gè)方法——單調(diào)有界定理和壓縮映射定理，并比較了這兩個(gè)方法在解題過程中的優(yōu)劣。

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列：單調(diào)有界定理；壓縮映射定理

單調(diào)有界定理是判斷極限存在的一個(gè)重要方法，在“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)過程中用單調(diào)有界定理證明數(shù)列極限存在是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

設(shè)x1給定，通過遞推公式xn+1=f（xn）（n=1，2，3，…）定義的數(shù)列{xn}稱為遞推數(shù)列。證明{xn}收斂，并求它的極限是高等數(shù)學(xué)課上的一個(gè)重要內(nèi)容。在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)一部分學(xué)生對于這個(gè)掌握起來有困難。解決這類問題的方法是單調(diào)有界定理和壓縮映射定理。

在課堂教學(xué)中，我們首先給學(xué)生總結(jié)下面這個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論的前兩點(diǎn)是數(shù)列{xn}的有界性結(jié)論，后兩點(diǎn)是單調(diào)性結(jié)論。這個(gè)結(jié)論很有意思，遞推數(shù)列{xn}的首項(xiàng)取值決定了后面所有項(xiàng)的取值，如果首項(xiàng)比x0大，后面所有項(xiàng)都比x0大；首項(xiàng)比x0小，后面所有項(xiàng)都比x0??；首項(xiàng)等于x0，所有項(xiàng)都等于x0；數(shù)列{xn}一定單調(diào)，增還是減由前兩項(xiàng)取值決定。

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作者簡介：吳楠，北京市，中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院。endprint