鄧翠容

在《空間解析幾何》中，柱面是一種常見(jiàn)且重要的曲面.關(guān)于柱面方程的求解分析及幾何圖形教材中都給了規(guī)范的做法.但是反過(guò)來(lái)，給出一個(gè)三元曲面方程，我們要證明它表示一個(gè)柱面，這個(gè)問(wèn)題就復(fù)雜了，很多學(xué)生不會(huì)解答這一類(lèi)題.對(duì)此，本文將介紹證明方程表示一個(gè)柱面的兩種方法，以期幫助大家掌握這個(gè)問(wèn)題.

1 基本定義

由平行于某一定方向且與一條空間定曲線(xiàn)相交的一族平行直線(xiàn)所組成的曲面叫做柱面.定曲線(xiàn)叫做柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，平行直線(xiàn)族中的每一條都叫做柱面的（直）母線(xiàn)，定方向是直母線(xiàn)的方向，也叫做柱面方向.

2 證明方程表示的曲面為柱面

思路一 構(gòu)造空間中的一族平行直線(xiàn)，使得它們能夠生成這個(gè)曲面，這樣就證明了該曲面是一個(gè)柱面.

思路二 我們將作出一個(gè)柱面，它的準(zhǔn)線(xiàn)可取為坐標(biāo)面與題中所給曲面的交線(xiàn)，母線(xiàn)方向設(shè)為v→=（X，Y，Z），然后求出這個(gè)柱面的方程，再將這個(gè)柱面方程與題中所給的方程比較，以確定v→=（X，Y，Z）使兩方程一致，這樣就證明了題中所給的方程表示的曲面是一個(gè)柱面.

下面我們通過(guò)兩個(gè)例題來(lái)分別說(shuō)明這兩種方法的應(yīng)用.

例1 證明方程

表示一個(gè)柱面.

證明 將方程（x-z）2+（y+z-a）2=a2改寫(xiě)為

將原方程即（1）式表示的曲面叫做S.

作方程組

其中 λ1，λ2是不全為零的任意實(shí)數(shù).對(duì)于 λ1∶λ2的每一個(gè)值，方程組（2）表示一條直線(xiàn)，因此方程組（2）表示一族直線(xiàn)，稱(chēng)為λ族直線(xiàn)，下面證明λ族直線(xiàn)可以構(gòu)成整個(gè)曲面S，從而該曲面為柱面.為此，需要證明下面兩點(diǎn)：

（1）λ族直線(xiàn)中的每一條直線(xiàn)都在曲面S上.

當(dāng) λ1λ2≠0 時(shí)，將（2）式中的兩式相乘得到（1），可見(jiàn)直線(xiàn)（2）在曲面 S 上.當(dāng) λ1λ2=0 時(shí)，不妨設(shè) λ1=0，λ2≠0，此時(shí)（2）變?yōu)?/p>

顯然這條直線(xiàn)也在曲面S上.同理可證得當(dāng)λ1≠0，λ2=0時(shí)相應(yīng)的直線(xiàn)也在曲面S上.

（2）在曲面S上的每一點(diǎn)處，必有λ族直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

設(shè)P0（x0，y0，z0）是曲面S上的任意一點(diǎn)，則有

作方程組

這是一個(gè)關(guān)于λ1，λ2的二元一次齊次方程組，由（3）式知系數(shù)行列式等于零，從而上述方程組有非零解，因此可以唯一確定比值λ1∶λ2，于是在λ族直線(xiàn)中有唯一的一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)P0點(diǎn).

綜上可知，曲面S為柱面.

例2 證明方程

2x2+5y2+2z2-2xy-4xz+2yz+2x-10y-2z-1=0表示一個(gè)柱面.

分析 這是一個(gè)三元二次方程，而且各項(xiàng)都齊全，如果想把它像例1那樣，把它改寫(xiě)為一次因子的乘積，再由此寫(xiě)出生成曲面的直線(xiàn)族是比較困難的，為此我們用上面的思路二來(lái)解答.

證明 取曲線(xiàn)

即

為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)方向?yàn)関→=（X，Y，Z）來(lái)建立柱面的方程.

設(shè) P（x，y，z）是柱面上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 必定落在某條母線(xiàn)上，即存在準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)P1（x1，y1，z1），使得點(diǎn) P 位于過(guò)點(diǎn) P1且以v→=（X，Y，Z）為方向向量的直線(xiàn)上，于是有

由方程組消去 x1，y1，z1得

將此式與原方程比較，并取

由此方程得 X∶Y∶Z=1∶0∶1，帶入（4）得到的方程即為原方程

2x2+5y2+2z2-2xy-4xz+2yz+2x-10y-2z-1=0，所以原方程表示的曲面是一個(gè)以

為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)方向v→=（1，0，1）的柱面.

評(píng)注 當(dāng)方程容易改寫(xiě)為一次因子的乘積時(shí)，用例1的方法，計(jì)算簡(jiǎn)單些.當(dāng)方程不容易改寫(xiě)為一次因子的乘積時(shí)，用例2的方法.對(duì)于證明方程是柱面的問(wèn)題，例2的方法是普遍適用的，只是計(jì)算量比較大.

[1]李養(yǎng)成.空間解析幾何（新版）[M].北京：科學(xué)出版社，2008：74-76.

[2]丘維聲.解析幾何（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007：83-84.