易強(qiáng) 呂希元

【摘要】探討一元函數(shù)微積分中牛頓-萊布尼茨公式的教學(xué)，針對(duì) 牛-萊公式的廣泛運(yùn)用，舉例說(shuō)明它在求解實(shí)際問(wèn)題中起的簡(jiǎn)便實(shí)用的運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】微積分 ?積分限 ?原函數(shù)

【中圖分類號(hào)】O172 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）42-0167-02

一元函數(shù)微積分中求定積分的值是很重要的一部分內(nèi)容，而求解定積分的最關(guān)鍵點(diǎn)就是利用牛頓-萊布尼茨公式，該公式的關(guān)鍵點(diǎn)又是能夠準(zhǔn)確找出原函數(shù)，在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在運(yùn)用牛頓-萊布尼茨公式求積分依然存在很多問(wèn)題。

一、牛頓-萊布尼茨公式介紹

定理：若F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，公式■ f（x）dx=F（b）-F（a） 稱為牛頓-萊布尼茨公式。

證：取Ф（x）=■f（t）dt，則F（x）-Ф（x）=C（a≤x≤b），令x=a時(shí)，得F（a）-Ф（a）=C，而Ф（a）=■f（t）dt=0，從而得C=F（a），故F（x）-Ф（a）=F（a），則F（x）-F（a）=Ф（x）=■f（t）dt，再取x=b得：F（b）-F（a）=■f（t）dt，從而：■f（x）dx=F（b）-F（a）。

二、運(yùn)用

例1.設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，且滿足f（x）=x·■f（t）dt-1，求■f（x）dt及f（x）。

解：令A(yù)=■f（t）dt，則f（x）=Ax-1，兩邊同時(shí)從0到1作定積分，可得：

■f（x）dx=A·■xdx-■dx

即：A=■A-1，從而A=■f（x）dx=-2，從而f（x）=-2x-1。

以上的求解，主要利用定積分的含義是一個(gè)常數(shù)，故將■f（x）dx令成常數(shù)，然后兩邊再積分，借助牛頓-萊布尼茲公式很容易求得f（x）。

例2.汽車以每小時(shí)36km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度a=-5m/s2剎車。問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車，汽車駛過(guò)了多少距離？

解：首先要算出從開(kāi)始剎車到停車經(jīng)過(guò)的時(shí)間，設(shè)開(kāi)始剎車的時(shí)刻為t=0，此時(shí)汽車速度為：v0=36km/h=■m/s=10m/s，剎車后汽車減速行駛，其速度為：v（t）=v0+at=10-5t，當(dāng)汽車停住時(shí)，速度v（t）=0，故由v（t）=10-5t=0，得t=2（s）。于是這段時(shí)間內(nèi)，汽車所駛過(guò)的距離為：S=■v（t）dt=■（10-5t）dt=10t-5×■■■■=10（m）

即在剎車后，汽車需駛過(guò)10m才能停住。

利用牛頓-萊布尼茨公式可以在實(shí)際問(wèn)題中來(lái)求解汽車制動(dòng)后的剎車距離。

例3.證明定積分公式：

In=■sinnxdx=■·■…■·■·■·■，n為正偶數(shù)■·■…■·■·■，n為正奇數(shù)

證：易見(jiàn)I0=■dx=■，I1=■sinxdx=-cosx■■=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，In=■sinnxdx=-■sinn-1xdcosx

=（-sinn-1x·cosx）■■+（n-1）■sinn-2xcos2xdx

=（n-1）■sinn-2x（1-sin2x）dx

=（n-1）·■sinn-2xdx-（n-1）·■sinnxdx

=（n-1）·In-2-（n-1）·In

故In=■·In-2。

反復(fù)使用遞推公式，可得：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

In=■·■…■·■·I0=■·■…■;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

In=■·■…■·■·I1=■·■…■·■·1。

注：對(duì)■cosnxdx有同樣的結(jié)論。

例：利用上題結(jié)論計(jì)算■cos5■dx。

解：令■=t，則dx=2dt，于是：

■cos5■dx=2■cos5tdt=2×■×■=■。

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