【摘要】本文探討了微積分課程中常數(shù)項級數(shù)斂散性的判斷方法，對學(xué)生在解題過程中常見的錯誤進(jìn)行了剖析，并給出了級數(shù)斂散性的有效判定流程。

【關(guān)鍵詞】常數(shù)項級數(shù) ?斂散性 ?教學(xué)

【基金項目】本文系江蘇省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項目資助（項目編號：17KJB110004）。

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0138-03

無窮級數(shù)是微積分課程中很重要的一個組成部分，它在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及數(shù)值計算中起著非常重要的作用。無窮級數(shù)理論是數(shù)列極限理論的拓展，其又以常數(shù)項級數(shù)為基礎(chǔ)。學(xué)生在高中階段及以前的學(xué)習(xí)中，對有限個常數(shù)求和已經(jīng)非常熟悉。而在學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容的過程中，由于對有限和與無限和的本質(zhì)區(qū)別缺乏充分理解，學(xué)生經(jīng)常會犯一些常識性的錯誤。另一方面，判斷常數(shù)項級數(shù)斂散性的方法比較繁雜，學(xué)生在遇到具體問題時很容易無從下手。本文將結(jié)合學(xué)生在解題過程中常見的錯誤，對微積分中常數(shù)項級數(shù)斂散性的判斷方法進(jìn)行小結(jié)，并給出有效判定流程。

1.常數(shù)項級數(shù)的定義

對于給定的數(shù)列u1，u2…，un，…，稱u1+u2+…+un+…為常數(shù)項無窮級數(shù)，記作■un;其中第n項un稱為級數(shù)的通項。級數(shù)的前n項和Sn=■uk稱為級數(shù)的部分和，其構(gòu)成的數(shù)列{Sn}稱為原級數(shù)的部分和數(shù)列。若■Sn=S存在，則稱無窮級數(shù)收斂，并且有和數(shù)S。若■Sn不存在，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。

2.判斷級數(shù)斂散性的一般方法

利用無窮級數(shù)的性質(zhì)，以下我們給出判斷級數(shù)斂散性的一般方法，主要有：

（1）設(shè)c為任意非零常數(shù)，則級數(shù)■cun與級數(shù)■un具有相同的斂散性;

（2）若級數(shù)■un與■vn都收斂，則級數(shù)■（un+vn）也收斂;

（3）增加，去掉，或者改變級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的斂散性;

（4）在收斂級數(shù)的項中任意加括號，不改變級數(shù)的收斂性;

（5）如果級數(shù)■un收斂，則其通項趨于零，即有■un=0。

這五條性質(zhì)對于任意常數(shù)項級數(shù)都是成立的。但由它們引起的一些結(jié)論，學(xué)生可能會產(chǎn)生混淆。例如（1）的推廣：若級數(shù)■cun收斂，則■un也收斂;此結(jié)論是錯誤的，因為■cun收斂不能得到c≠0這個結(jié)論，如■0·■收斂，但■■卻是發(fā)散的。另一方面，若級數(shù)■cun發(fā)散，其保證了c≠0，此時■un發(fā)散這個結(jié)論是正確的。作為（2）的推廣，我們可以利用反證法得到：若■un收斂，■vn發(fā)散，則級數(shù)■（un+vn）必發(fā)散。（4）的應(yīng)用也非常廣泛，例如由（1-1）+（1-1）+…=0以及1+（-1+1）+（-1+1）+…=1可得級數(shù)1-1+1-1+…發(fā)散。

3.正項級數(shù)斂散性的判斷方法

本部分將對正項級數(shù)斂散性的判斷方法進(jìn)行總結(jié)。通項非負(fù)的級數(shù)稱為正項級數(shù)。首先，我們有正項級數(shù)的一般性收斂原理：正項級數(shù)■un收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和數(shù)列{Sn}有上界。值得注意的是，此結(jié)論在理論上是非常完美的，但一般較難用于判斷具體的正項級數(shù)是否收斂。除此之外，我們還有以下關(guān)于正項級數(shù)的收斂判別法：

（1）比較判別法之初等形式：設(shè)■un和■vn是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)N，對一切n>N都有un

比較判別法之極限形式：設(shè)■un和■vn是兩個正項級數(shù)，且■■=A。（i）若0

在使用比較判別法時，需要有明確的參照物。常用的級數(shù)有：（i）“等比級數(shù)”■aqn-1，其中a≠0，q≠0，在q<1時是收斂的，其余情況發(fā)散。（ii）“p級數(shù)”■■在p>1時收斂;p≤1時發(fā)散。除此之外，還有以下幾個無需尋找參照物的正項級數(shù)判斂法：

（2）比值判別法：設(shè)■un為正項級數(shù)，且有■■=r，則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂;當(dāng)r>1時級數(shù)發(fā)散;當(dāng)r=1時級數(shù)斂散性需進(jìn)一步確定。

（3）根值判別法：設(shè)■un為正項級數(shù)，且有■■=r，則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂;當(dāng)r>1時級數(shù)發(fā)散;當(dāng)r=1時級數(shù)斂散性需進(jìn)一步確定。

（4）積分判別法：設(shè)f（x）是[1，+∞）上非負(fù)單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則■f（n）與■f（x）dx同時斂散。

值得說明的是，在比值和根值判別法中，在r>1的情況下，不但級數(shù)發(fā)散，我們還可以得到■un=+∞這個結(jié)論。以上幾種判別法各有優(yōu)劣，如何進(jìn)行恰當(dāng)選擇成為了解題的關(guān)鍵。給定正項級數(shù)■un，我們一般按照以下幾個步驟進(jìn)行判斷：（1）首先觀察級數(shù)的通項極限■un是否為零。若是，則進(jìn)行下一步討論;若否，則直接判定級數(shù)發(fā)散。（2）觀察級數(shù)的通項un是否混合含有n的冪與指數(shù)形式，或者含有冪指函數(shù)，階乘;若是，則優(yōu)先選擇比值或者根值判別法。（3）通項僅含單一的n的冪或者指數(shù)形式，則優(yōu)先選用兩種形式的比較判別法，并優(yōu)先考慮其極限形式。（4）將級數(shù)的通項un表達(dá)式中的變量n換為x后，如果容易判斷其對應(yīng)函數(shù)的無窮限積分的斂散性，考慮用積分判別法。（5）若上述方法全部失效，則可嘗試用級數(shù)收斂的原始定義去判斷。下面我們給出一個例子：

例1 判斷級數(shù)■■（■）n的斂散性。

解題思路：首先，無法直接判斷級數(shù)通項極限是否為零，所以跳過以上步驟中的（1）。由于級數(shù)的通項含有n的冪，以及階乘，可考慮比值或者根值判別法。

以下是學(xué)生的常見錯誤解法。由于微積分課程對前面學(xué)過的數(shù)列極限內(nèi)容要求并不高，有部分同學(xué)不知道■■=

+∞這個結(jié)論，他們將此結(jié)論與■■=1產(chǎn)生混淆，誤以為■■=1，因此利用此錯誤結(jié)論得到■■=■■=0這個錯誤的等式，再利用根值判別法斷定此級數(shù)收斂。

事實上，根值判別法不是最優(yōu)選擇，我們考慮用比值判別法。由于un+1=■（■）n+1，un=■（■）n，則■■=■=■■=■<1，由比值判別法可知級數(shù)收斂。

除了以上給出的幾種判別法外，還有拉貝判別法、對數(shù)判別法、雙比值判別法、高斯判別法等其它類型的方法，由于它們超出了微積分課程的學(xué)習(xí)范圍，故本文不做討論。值得一提的是，雖然本部分討論的是正項級數(shù)，但對于負(fù)項級數(shù)（通項非正的級數(shù)）而言，在差一個正負(fù)號的前提下，和正項級數(shù)的討論方法完全一致。

4.任意項級數(shù)

各項符號不完全相同的數(shù)列{un}所構(gòu)成的級數(shù)■un稱為任意項級數(shù)。任意項級數(shù)是常數(shù)項級數(shù)最重要的組成部分，但是能夠利用的工具和方法極其有限。本部分首先討論判斷某類特殊的級數(shù)是否收斂的一種方法——萊布尼茨判別法。

首先回顧一下交錯級數(shù)的定義。設(shè)un>0，n=1，2，…，形如■（-1）n-1un或■（-1）nun的數(shù)項級數(shù)，稱為交錯級數(shù)。我們常用的方法如下：

萊布尼茨判別法：設(shè)交錯級數(shù)■（-1）n-1un滿足條件：（1）un≥un+1（n=1，2，…）;（2）■un=0，則交錯級數(shù)■（-1）n-1un收斂。

在利用萊布尼茨判別法解題時，核心是判斷un≥un+1（n=1，2，…）成立，大致有以下幾種方法：（1）初等方法，如初等變形，求差，求比值等;（2）根據(jù)un的特點，構(gòu)造相應(yīng)的連續(xù)函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)法證明其在適當(dāng)?shù)膮^(qū)間上單減。另一方面，萊布尼茲判別法只是判斷交錯級數(shù)收斂的一個充分條件，并非充要條件。因此，當(dāng)交錯級數(shù)不滿足萊布尼茲判別法的條件時，不能輕易下結(jié)論，得到級數(shù)一定發(fā)散，而是需要考慮用其他方法進(jìn)行處理。

除此之外，我們還可以利用絕對收斂性判斷任意項級數(shù)的斂散性。給定任意項級數(shù)■un，如果級數(shù)■un收斂，則稱■un絕對收斂;如果級數(shù)■un收斂，而級數(shù)■un發(fā)散，則稱級數(shù)■un條件收斂。實際上，我們有以下性質(zhì)：

絕對收斂性：設(shè)■un為任意項級數(shù)。若■un收斂，則■un也收斂。

例2判斷級數(shù)■■（■）nsin■的斂散性。

解題思路：由于級數(shù)的通項中sin■的出現(xiàn)，我們可以判斷出此級數(shù)為任意項級數(shù)。有很多學(xué)生在解答此題時，沒有仔細(xì)辨別，而是直接利用正項級數(shù)的方法去處理，導(dǎo)致錯誤的出現(xiàn)。實際上，由例1可知正項級數(shù)■■（■）n收斂，而由0≤■（■）nsin■≤■（■）n以及正項級數(shù)的比較判別法可知，級數(shù)■■（■）nsin■收斂，因此■■（■）nsin■絕對收斂，即任意項級數(shù)■■（■）nsin■收斂。

除此之外，任意項級數(shù)的斂散性還有柯西定理、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法等，均超出了微積分課程的學(xué)習(xí)范圍，在此不再贅述。

5.總結(jié)

以上我們討論了微積分課程中判斷級數(shù)斂散性的常用方法，但遇到實際題目時，方法選擇是否恰當(dāng)，決定了學(xué)生能否正確解答此題。我們可以通過一個流程圖來進(jìn)行歸納總結(jié)：

我們采用上述流程圖，研究一個具體的題目。

例3 判斷級數(shù)■（-1）n-1■的斂散性。

解題思路：首先觀察級數(shù)通項的極限。由于■（-1）n-1■=0，則級數(shù)的斂散性需要進(jìn)一步討論。對于新的正項級數(shù)■（-1）n-1■=■■，由于■■=■■=1，而“p級數(shù)”■■發(fā)散，則由正項級數(shù)比較判別法的極限形式可知級數(shù)■■發(fā)散，由此判斷出原級數(shù)■（-1）n-1■不是絕對收斂。另一方面，對于交錯級數(shù)■（-1）n-1■，顯然有■≥■，且■■=0，則由萊布尼茲判別法可知原級數(shù)■（-1）n-1■條件收斂。

以上是對微積分課程中遇到的判斷級數(shù)斂散性題目的解答方法的歸納與總結(jié)。在學(xué)習(xí)和解題的過程中，學(xué)生很難做到一蹴而就，立刻就找到正確而簡練的方法，而是需要通過大量的練習(xí)和及時的回顧與總結(jié)，才能熟練掌握此部分內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

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[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）下冊[M].高等教育出版社，1-27頁.

[3]李春江.級數(shù)收斂的判別方法[J].中小企業(yè)管理與科技（上旬刊），2010（4）：255-256.

作者簡介：

曾陽（1984.2-），男，漢族，河南洛陽人，博士，南京審計大學(xué)，講師，研究方向：李代數(shù)與表示理論。