李青陽

【摘要】本文主要探討了常見整值隨機(jī)變量的母函數(shù)。本文第一部分主要給出了整值隨機(jī)變量的概念，并給出了整值隨機(jī)變量的母函數(shù)和數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系;第二部分主要給出了幾種常見的整值隨機(jī)變量的母函數(shù)，并通過母函數(shù)給出了這幾種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

【關(guān)鍵詞】整值隨機(jī)變量 ?母函數(shù) ?數(shù)學(xué)期望

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0136-02

一、整值隨機(jī)變量母函數(shù)的概念及性質(zhì)

本小節(jié)主要介紹整值隨機(jī)變量和母函數(shù)的概念。

我們稱取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量為整值隨機(jī)變量。對于整值隨機(jī)變量，有一種處理方法很便于利用，這就是母函數(shù)法。

定義1 整值隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，…，對應(yīng)的概率分別為p0，p1，p2…，則稱Pξ（s）=■p■s■為隨機(jī)變量ξ的母函數(shù)。

關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望有一個著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)公式，由定理1給出。

定理1 （佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)公式） 若函數(shù)f（x）是一元連續(xù)函數(shù)，若離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x0，x1，x2，…，對應(yīng)的概率分別為p0，p1，p2…，那么新的隨機(jī)變量Y=f（X）的數(shù)學(xué)期望為：

E（Y）=■f（xi）pi

有佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)公式，隨機(jī)變量母函數(shù)可以改寫為：

Pξ（s）=E（s■）

隨機(jī)變量母函數(shù)的其中一個應(yīng)用是求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。首先可以給出隨機(jī)變量母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：

Pξ′（s）=■kpks■

隨機(jī)變量母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在1處的導(dǎo)數(shù)即為該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：

Pξ′（1）=■kpk=E（ξ）

隨機(jī)變量母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)和隨機(jī)變量的方差存在密切的聯(lián)系，首先隨機(jī)變量母函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為：

Pξ′（s）=■k（k-1）pks■

由佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)公式，隨機(jī)變量函數(shù)的母函數(shù)在1處的二階導(dǎo)數(shù)為：

Pξ′（1）=■k（k-1）pk=E[ξ（ξ-1）]=E（ξ■）-E（ξ）

因此隨機(jī)變量的方差和母函數(shù)的關(guān)系為：

D（ξ）=E（ξ■）-E■（ξ）=Pξ′（1）+Pξ′（1）-[P′（1）]■

二、幾種整值隨機(jī)變量的母函數(shù)推導(dǎo)

（一）二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布是伯努利分布的推廣，在n次伯努利試驗(yàn)中，我們定義隨機(jī)變量X1為某事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量X1服從二項(xiàng)分布，記作X1～B（n，p）。

隨機(jī)變量X1的概率分布為：

P（X1=k）=C■■p■（1-p）■，k=0，1，2，…，n

二項(xiàng)分布的母函數(shù)為：

P■（s）=E（s■）=■C■■p■（1-p）■s■=■C■■（sp）■（1-p）■=（1-p+sp）■

由二項(xiàng)分布的母函數(shù)可以給出二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為：

P′■（s）=np（1-p+sp）■

因此二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為：

E（X1）=P′■（1）=np

（二）超幾何分布

假定在N件產(chǎn)品中有M件次品，其余產(chǎn)品為正品，在N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品，記X2為次品件數(shù)，則稱隨機(jī)變量X2服從超幾何分布，記作X2～H（N，n，M）。

超幾何分布的概率分布為：

P（X2=k）=■

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}

超幾何分布的母函數(shù)為：

P■（s）=E（s■）=■■s■

這是超幾何級數(shù)，是一種特殊函數(shù)，處理起來不太方便，在概率論中也很少用，這不再計(jì)算最終公式。

（三）泊松分布

假設(shè)隨機(jī)變量X3的可能取值為一切非負(fù)整數(shù)值，并且，

P（X3=k）=■e■，k=0，1，2，…

其中，λ>0，為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X3服從泊松分布，記作X3～P（λ■■）。

泊松分布的母函數(shù)為：

P■（s）=E（s■）=■■e■s■=e■■■=e■e■=e■

泊松分布母函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：

P′■（s）=λe■

泊松分布的數(shù)學(xué)期望為：

E（X3）=P′■（1）=λ

（四）幾何分布

進(jìn)行重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，若將試驗(yàn)進(jìn)行到有一次成功為止，以隨機(jī)變量X4表示所需試驗(yàn)次數(shù)，則稱X4服從幾何分布，記作X4～G（p）。

幾何分布的概率分布為：

P（X4=k）=（1-p）■p

其中，k=1，2，3，…

幾何分布的母函數(shù)為：

P■（s）=E（s■）=■（1-p）■ps■=ps■[s（1-p）]■=■

幾何分布母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

P′■（s）=■

所以幾何分布的數(shù)學(xué)期望為：

E（X4）=P′■（1）=■

三、結(jié)束語

隨機(jī)變量的母函數(shù)對于隨機(jī)變量重要數(shù)字特征的計(jì)算是非常重要的。很多隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算是比較復(fù)雜的，引入隨機(jī)變量母函數(shù)的概念以后，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差變得簡單了很多，但是隨機(jī)變量的母函數(shù)的缺點(diǎn)也比較大，因?yàn)橹挥姓惦S機(jī)變量才有母函數(shù)的概念，因此應(yīng)用范圍也是比較有限的。

參考文獻(xiàn)：

[1]王思儉.探公式，窺本質(zhì)——二項(xiàng)分布、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式探究[J]. 新高考：高二數(shù)學(xué)，2014（4）.

[2]曹四清.相映生輝的四種概率分布[J].中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2013（2）.

[3]唐銳光.超幾何分布、二項(xiàng)分布的期望與方差公式的統(tǒng)一證法[J].數(shù)學(xué)通訊，2009（22）：24.