傅昱皓

【摘要】本文介紹了使用極值理論來求函數(shù)極值的兩種方法，并與傳統(tǒng)的求極值的方法進行對比，發(fā)現(xiàn)極值理論在求解函數(shù)極值中的優(yōu)越性和可靠性。最后結(jié)合極值理論，求解計量經(jīng)濟學(xué)中的回歸方程的參數(shù)。

【關(guān)鍵詞】極值定理 ?回歸模型

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0122-02

在數(shù)學(xué)分析中，在給定范圍的函數(shù)的最大值和最小值，統(tǒng)稱為極值。而皮誒爾·費馬特（Pierre de Fermat）是第一位發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值和最小值的數(shù)學(xué)家之一。那什么是極大值和極小值呢？

如果一個函數(shù)在一個點的一個相鄰定義域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大或最小，那么這個函數(shù)在該點處的值就是一個極大值或極小值。如果它比鄰域內(nèi)其他各點處的函數(shù)值都大或小，它就是一個嚴格的極大值或極小值。那么該點就相應(yīng)地稱為一個極值點或嚴格極值點。那么這樣的極值點到底要怎么求呢？

一、一元函數(shù)求極值

我們首先考慮下簡單一元函數(shù)，來觀察其極值的求法?？梢灾酪辉瘮?shù)極值的必要條件：設(shè)函數(shù)f（x）在x0點處可導(dǎo)，并且f（x0）為極值，即x0為極值點，那么有f '（x0）=0。

對于一元函數(shù)而言，使用反證法，如果假設(shè)極值點的導(dǎo)數(shù)不為0，那么不妨f '（x0）>0。由于導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一個極限，也就是說對于一個小量ε滿足ε∈（0，f '（x0）），存在一個小量δ>0，使得對于x∈（x0-δ，x0+δ）有：

f '（x0）-■<ε

而由于ε∈（0，f '（x0））的條件可以知道■>0。而在這種情況下，可以知道f（x0）不可能是函數(shù)在x0附近的極值點，矛盾！

所以我們可以知道，如果x0為函數(shù)的極值點，那么一定有f '（x0）=0。

回到正常一元函數(shù)求極值的問題，事實上導(dǎo)數(shù)代表了函數(shù)的單調(diào)情況，所以我們再分析函數(shù)在極值點邊上的單調(diào)情況就能清楚函數(shù)的極值點到底是什么了。

考慮函數(shù)f（x）=x3-3x的極值情況。

由于函數(shù)在定義域R上可導(dǎo)，所以先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)及f '（x）=3x2-3。然后對求得的導(dǎo)函數(shù)因式分解為f '（x）=3（x+1）×（x-1）。可以得到f '（x0）=0有兩個根及x=1或x=-1。

而求得的兩個根將整個定義域分為三個部分：當x<-1時，f '（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;當-11時，f '（x）>0，f（x）單調(diào)遞增。

所以可以知道f（-1）是極大值，f（1）是極小值。

用求導(dǎo)的方法來解一元函數(shù)極值問題是極值問題中最簡單和最基礎(chǔ)的一部分。因為我們可以通過求導(dǎo)在一元函數(shù)中的定義來推出導(dǎo)數(shù)在多元函數(shù)中的定義，從而解決多元函數(shù)求解極值的問題。

二、二元函數(shù)求極值

對于我們二元函數(shù)求極值，我們知道如果函數(shù)是簡單的二次函數(shù)，比如f（x）=a1x2+a2y2+a3xy+a4x+a5y+a6，這樣的形式的多項式，我們可以采用傳統(tǒng)方法來求解。然后將所有包含x的組合一個平方數(shù)a1（x+■+■y）2.剩下的只剩下y的二元多項式，然后我們可以計算出相應(yīng)的極值情況。但是如果是包含多次的函數(shù)的話，就難以通過傳統(tǒng)的方式來進行求解。這里可以采用極值理論來進行求解：

考慮二元函數(shù)求極值的充分條件：f（x，y）是關(guān)于x和y在f（x）上的函數(shù)。我們設(shè)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某個領(lǐng)域有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（即求其中一個變量的導(dǎo)數(shù)而保持其他變量恒定）fx'（x0，y0）=fy'（x0，y0）=0，A=fxx'（x0，y0），B=fxy'（x0，y0），C=fyy'（x0，y0），則

（1）當AC-B2>0，A>0時，P0為極小值點

（2）當AC-B2>0，A<0時，P0為極大值點

（3）當AC-B2<0，P0不為極值點

（4）當AC-B2=0，P0可能是極值點，也可能不是

通過極值理論，我們?nèi)绻僭O(shè)函數(shù)f（x）=■■■■■（aix+biy+ci）2，考慮函數(shù)的最值情況。

第一步，我們先對這個函數(shù)的x求導(dǎo)，即fx'（x，y）=■■■■■2ai（aix+biy+ci）和對y求其導(dǎo)，fy'（x，y）=■■■■■2bi（aix+biy+ci）

第二步，我們計算函數(shù)fx'（x，y）對x的偏導(dǎo)即fxx'（x，y）=2ai2以及函數(shù)fy'（x，y）對y的偏導(dǎo)即fyy'（x，y）=■■■■■2bi2和對函數(shù)fx'（x，y）對y的偏導(dǎo)即fxy'（x，y）=■■■■■2aibi。

第三步，我們分別將上述三式fxx'（x0，y0）和fyy'（x0，y0）和fxy'（x0，y0）設(shè)為A，B和C，帶入AC-B2，通過均值不等式，可以知道，AC-B2>0，A>0，那么可以知道fx'（x，y）=■■■■■2ai（aix+biy+ci）=0以及fy'（x，y）=■■■■■2bi（aix+biy+ci）=0所得的解即為所求的極小值。

由此可見，利用偏導(dǎo)的方法來求函數(shù)的極值比傳統(tǒng)方法更簡單，也更方便易懂。不僅如此，在計算經(jīng)濟學(xué)即一元一次回歸方程中，這種方法同樣可以大放光彩。

三、計量經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

回歸分析是研究一個所謂的因變量對另一個或多個所謂的解釋變量的依賴關(guān)系的分析方法，其用意在與通過后者的已知或設(shè)定值去估計前者的均值。而在回歸分析中，比較典型的例子就是貨幣工資變化率與失業(yè)率聯(lián)系起來的菲利普斯曲線。

對于兩列數(shù){xi，i=1，2，…，n}，{yi，i=1，2，…，n}，如果我們想要探究y和x之間的關(guān)系的話，需要對這個的自變量和因變量之間關(guān)系進行建模，而在統(tǒng)計學(xué)和計量經(jīng)濟學(xué)中我們常用回歸分析來進行建模：Yi=b+aXi+ui。

而在回歸模型中，我們知道需要使得誤差ui最小。如果采用■■■最小化準則，那么可能出現(xiàn)■i偏離線性方程，而且散布得很遠，但是■■i的代數(shù)和卻很小。所以在計算的過程中，我們采用最小二乘準則。也就是求滿足一元回歸函數(shù)f（a，b）=■■■■■（yi-axi-b）2最小的參數(shù)a和b。

對于這個回歸式子，我們采用極值理論的方法：

第一步，先對a求導(dǎo)，得到fa'（a，b）=■■■■■-2xi（yi-axi-b），再求其二階偏導(dǎo)得到函數(shù)faa'（a，b）=■■■■■2xi2。再用同樣的方法求得對b的一階偏導(dǎo)fb'（a，b）=■■■■■-2（yi-axi-b）和對b的二階偏導(dǎo)fbb'（a，b）=■■■■■2。以及對a的一階偏導(dǎo)的b求偏導(dǎo)fab'（a，b）=■■■2xi

第三步，我們將A，B，C們的公式有：AC-B2=■■■2xi2·■■■2-（■■■2xi）2≥0，并且A=■■■2xi2>0。

（下轉(zhuǎn)第125頁）

（上接第122頁）

這樣我們知道所求的函數(shù)f（a，b）的最小值在fa'（a，b）=0并且fb'（a，b）=0的時候達到。可以求得：

a=■，b=■，

四、總結(jié)

與其他傳統(tǒng)求最值得方法相比，極值理論的方法顯然優(yōu)越了太多，解決了項數(shù)多、次數(shù)高時傳統(tǒng)方法繁瑣的計算與配方。在計算相應(yīng)的最值問題的時候，運用偏導(dǎo)的方法能夠在運算量允許的范圍內(nèi)完美的求解出答案。同時運用極值理論，能夠在計量經(jīng)濟學(xué)的回歸模型中能夠很輕松地計算出所需要的模型參數(shù)，極大地簡化模型的運算量，在實際應(yīng)用中起到了極大的作用。

參考文獻：

[1]伍勝健.北京大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)系列叢書：數(shù)學(xué)分析（第一冊）[M]. 北京大學(xué)出版社， 2015.

[2]高煒宇，謝識予.高等計量經(jīng)濟學(xué)[M].高等教育出版社， 2002.