馮晨

【摘要】在學(xué)習(xí)高中物理選修3-5時(shí)，我想對于散射的問題（盧瑟福α粒子實(shí)驗(yàn)）有更深入的了解，于是參考網(wǎng)上資料和大學(xué)物理課本開始研究有心力問題。本文在開始時(shí)研究了極坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程，得到了速度與加速度的表達(dá)式，同時(shí)得到了有心力在極坐標(biāo)系下的表示形式，由有心力F切向方程和徑向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

當(dāng)有心力為萬有引力時(shí)，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓錐曲線，不同情況下可分為橢圓，雙曲線，拋物線。

當(dāng)有心力為兩個(gè)正電荷電荷間斥力時(shí)，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線。

【關(guān)鍵詞】極坐標(biāo)系 ?有心力 ?比耐公式

【中圖分類號】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0160-02

1.背景介紹

在學(xué)習(xí)高中物理選修3-5時(shí)，我學(xué)習(xí)了碰撞、反沖等知識，但是課本上有的只是簡單的兩小球相撞后的軌跡的問題和散射問題（盧瑟福α粒子實(shí)驗(yàn)），我想對于散射的問題有更深入的了解，于是參考網(wǎng)上資料和大學(xué)物理課本開始研究有心力問題。

2.極坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程

研究有心力問題需要用到極坐標(biāo)系的一些知識，可是高中數(shù)學(xué)中的極坐標(biāo)系的知識還不足夠解決這一問題，在《大學(xué)物理學(xué)》這本書里有這部分的知識。

極坐標(biāo)系是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)，極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平面上取定一點(diǎn)O，稱為極點(diǎn)。從極點(diǎn)O出發(fā)引一條射線，稱為極軸。φ表示極軸轉(zhuǎn)過的角度，ρ表示點(diǎn)到極點(diǎn)距離。極坐標(biāo)下的位矢A可以表示為：

A=Aρeρ+Aφeφ

對于有心力問題，如果把有心力的原點(diǎn)就當(dāng)作極坐標(biāo)的極點(diǎn)，那么質(zhì)點(diǎn)的位置矢量就從極點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)位置，位矢就退化為：

ρ=ρeρ

下面我們研究一下極坐標(biāo)下基矢的求導(dǎo)，利用直角坐標(biāo)系的基矢來表示極坐標(biāo)下基矢：

eρ=cosφi+sinφj

eφ=-sinφi+cosφj

對這兩個(gè)基矢對時(shí)間求導(dǎo)：

■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ

■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ

■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ

由此得到速度：

ρ=ρeρ+ρφeφ

進(jìn)一步對上式速度求導(dǎo)，可以得到加速度：

ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ

3.有心力問題的研究

3.1 有心力問題

質(zhì)點(diǎn)在有心力場中的運(yùn)動(dòng)是自然界的運(yùn)動(dòng)之一。對于有心力問題，本文通過牛頓運(yùn)動(dòng)定律來解決。

有了2中的知識，我們就可以求解有心力問題，平面內(nèi)有質(zhì)點(diǎn)m，受到來自極點(diǎn)O的有心力作用，有心力形式為：

F（r）=F（r）■

由上文2中推導(dǎo)可知，質(zhì)點(diǎn)m在運(yùn)動(dòng)中的牛頓微分方程是F=mρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ

把這個(gè)方程分為徑向和切向：

徑向：m（ρ-ρφ2）=Fρ

切向：m（ρφ+2φρ）=Fφ

因?yàn)槭怯行牧?，F(xiàn)只有徑向分量，切向方程可以變?yōu)椋?/p>

m（ρφ+2φρ）=m■■（ρ2φ）=0

因此，ρ2φ≡h，h為與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。

定義u≡■φ=■=hu2

則可求出ρ=-h■ ?ρ=-h2u2■

從而徑向方程變?yōu)閙（-h2u2■-■h2u4）=Fρ，即比耐公式。

3.1.1如果這里的有心力為高中所學(xué)的萬有引力，即Fρ=-G■≡-k2■=-k2u2m代入比耐公式得：■+u=■

令ξ=u-■，得■+ξ=0

所以ξ=Acos（φ-φ0） ?u=Acos（φ-φ0）+■得：

ρ=■=■

這就是質(zhì)點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)的軌跡。

3.1.2如果這里的有心力為兩個(gè)正電荷電荷間斥力，即Fρ=-■■≡k2■=k2u2m代入比耐公式得：■+u=-■

令ξ=u+■，得■+ξ=0

所以ξ=Acos（φ-φ0） ?u=Acos（φ-φ0）-■

ρ=■=■

3.2軌跡分析

對于3.1.1中求得的質(zhì)點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)的軌跡，如果轉(zhuǎn)動(dòng)極坐標(biāo)軸使得φ0=0，并令p=■ ?e=A■，則軌跡方程變?yōu)棣?■

這就是極坐標(biāo)系下的圓錐曲線方程。

所以質(zhì)點(diǎn)m在萬有引力有心力的作用下形成的軌跡為圓錐曲線，當(dāng)e小于1時(shí)，是橢圓，當(dāng)e等于1時(shí)，是拋物線，當(dāng)e大于1時(shí)，是雙曲線。

對于3.1.2中求得的質(zhì)點(diǎn)m運(yùn)動(dòng)軌跡，如果轉(zhuǎn)動(dòng)極坐標(biāo)軸使得φ0=0，并令p=■ e=-A■，則同樣的軌跡方程變?yōu)棣?■

這個(gè)軌跡為雙曲線的一支。

4.總結(jié)

本文在開始時(shí)研究了極坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程，得到了速度與加速度的表達(dá)式，同時(shí)得到了有心力在極坐標(biāo)系下的表示形式，由有心力F切向方程和徑向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

當(dāng)有心力為萬有引力時(shí)，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓錐曲線，不同情況下可分為橢圓，雙曲線，拋物線。

當(dāng)有心力為兩個(gè)正電荷電荷間斥力時(shí)，代入比耐公式可得到ρ=■，判斷出運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線。

參考文獻(xiàn)：

[1]盧德馨.大學(xué)物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.