【摘要】微積分是全國(guó)高等院校尤其是財(cái)經(jīng)類院校本科生教學(xué)中的一門(mén)重要的通識(shí)課程。本文主要探討了在微積分教學(xué)中微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及微分在積分理論中的作用。

【關(guān)鍵詞】 微積分 ?微分 ?導(dǎo)數(shù) ?積分

【中圖分類號(hào)】O172 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）40-0120-01

微積分的學(xué)習(xí)對(duì)于高等院校學(xué)生來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的。這門(mén)課主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。該門(mén)課程也是后續(xù)其它高校數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，例如微積分與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系密切，連續(xù)型變量以及隨機(jī)向量屬于某一區(qū)間的概率的計(jì)算等都需要用到微積分中積分的內(nèi)容。因此很多學(xué)生由于微積分的部分內(nèi)容掌握得不夠扎實(shí)導(dǎo)致在學(xué)習(xí)大學(xué)的一些其他數(shù)學(xué)類的課程中比較吃力。

微積分主要包括微分學(xué)和積分學(xué)兩個(gè)部分。微積分基本定理即牛頓-萊布尼茲公式揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系。在一般的微積分的教材中，原函數(shù)的定義最初是出現(xiàn)在微分這一節(jié)中。原函數(shù)是指對(duì)于定義在某區(qū)間的已知函數(shù)f（x），如果存在可導(dǎo)函數(shù)F（x），使得在該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)都存在dF（x）=f（x）dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F（x）為函數(shù)f（x）的原函數(shù)。在這一定義中dF（x）是F（x）的微分。

我們首先簡(jiǎn)單的介紹微分的定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間I上有定義，x0是該區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)x0變動(dòng)到附近的x0+Δx（也在此區(qū)間內(nèi)）時(shí)，如果函數(shù)對(duì)應(yīng)的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示為Δy=AΔx+ο（Δx）（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），那么f（x）稱為在x0是可微的，AΔx稱作函數(shù)f（x）成為在x0處的微分，記作dy。從微分的定義可以看出dy是Δy的線性主部。因此，微分可視為對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。它可用于近似的計(jì)算當(dāng)函數(shù)自變量取值作足夠小的改變時(shí)，函數(shù)值的改變。

從上述定義可看出，當(dāng)函數(shù)給定時(shí)，很難通過(guò)微分的定義計(jì)算微分。當(dāng)把微分的定義與導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合起來(lái)進(jìn)行對(duì)比時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)可微和可導(dǎo)是等價(jià)的。導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f（x）在x0處的瞬時(shí)變化率是■■=■■，我們稱它為函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)。記作f '（x0）或y'|■。若f（x）在x0處可微，將可微定義中的定義式帶入至導(dǎo)數(shù)定義式中時(shí)可求得 ? f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)為f '（x0）=A。從而dy=df=f '（x0）dx。通過(guò)這一等式，我們可以非常容易的計(jì)算出微分，從而也比較容易的給出函數(shù)的近似計(jì)算。類似的在可導(dǎo)的前提下，利用計(jì)算導(dǎo)數(shù)的極限式，我們可以推導(dǎo)出微分的定義式，并且得出A=f '（x0）。因此，若函數(shù)f（x）在x0處可微，可推導(dǎo)出f（x）在x0處可導(dǎo);若 ?f（x）在x0處可導(dǎo)，可得出f（x）在x0處可微。從這一意義上來(lái)說(shuō)可微和可導(dǎo)是等價(jià)的。

也正是由于微分和導(dǎo)數(shù)密切的關(guān)系尤其是利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算微分這種較為簡(jiǎn)單的計(jì)算方式導(dǎo)致學(xué)生對(duì)微分的認(rèn)知非常模糊。在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生比較容易犯的錯(cuò)誤：一是在計(jì)算函數(shù)的微分時(shí)漏寫(xiě)dx;二是在寫(xiě)出微分的定義時(shí)給出了Δy=y'Δx+ο（Δx）這樣錯(cuò)誤的寫(xiě)法。通過(guò)這兩種錯(cuò)誤可以看出在學(xué)完微分一段時(shí)間之后，部分同學(xué)容易將微分的概念和倒數(shù)的概念混淆在一起。

在微積分的課程教學(xué)當(dāng)中，經(jīng)常有同學(xué)提出疑問(wèn)，微分和導(dǎo)數(shù)有何區(qū)別？

首先，雖然導(dǎo)數(shù)和微分都是在自變量微小變化時(shí)，研究函數(shù)值的變化，但是導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)值的變化率而微分考察的是函數(shù)值變化的近似計(jì)算。例如，導(dǎo)數(shù)可用于求解瞬時(shí)速度，微分可用作近似計(jì)算比如1.0025的估計(jì)。

其次，當(dāng)我們考慮一段區(qū)間上的微分時(shí)，作為函數(shù)值變化的線性主部，微分函數(shù)df是關(guān)于x和Δx這兩個(gè)相互獨(dú)立的變量的函數(shù)。一般地，我們認(rèn)為微分函數(shù)是關(guān)于x的函數(shù)。需要注意的是dx并不僅僅只是在算完導(dǎo)數(shù)后加上的一個(gè)符號(hào)而已。設(shè)f（x）=x，容易算出df=dx=1·Δx。通過(guò)這一簡(jiǎn)單例子的計(jì)算，同學(xué)們就可以理解在微分這一節(jié)內(nèi)容中Δx到dx的轉(zhuǎn)變。同時(shí)，在教學(xué)中，我們也可以指出dy，dx不僅僅是符號(hào)。本質(zhì)上他們是函數(shù)可以參與運(yùn)算。比較經(jīng)典的是通過(guò)dy=f 'dx可得出 ?f '=dy/dx。這也解釋了導(dǎo)數(shù)的符號(hào)除了f '以外還有一個(gè)符號(hào)dy/dx。這一符號(hào)是兩個(gè)微分函數(shù)的商，從而這一符號(hào)又稱為微商。

此外，微分可以幫助學(xué)生更好的理解不定積分和定積分的計(jì)算過(guò)程。微分有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：一階微分的形式不變性。一階微分的形式不變性是指不論u是自變量還是中間變量，均有dy=f '（u）du。不定積分和定積分的計(jì)算比較常見(jiàn)有三種方法：湊微分、分部積分、換元法。有時(shí)我們也稱湊微分法為第一換元法。湊微分也可以看做是一階微分形式不變性的逆運(yùn)算。以不定積分為例，湊微分的過(guò)程：假設(shè)被積函數(shù)可以寫(xiě)成 ? ?f（φ（x））φ'（x）的形式，此時(shí)不定積分的形式可表達(dá)為■f（φ（x））φ'（x）dx。不定積分表示的是f（φ（x））φ'（x）dx這一微分式的所有的原函數(shù)，從而根據(jù)微分是函數(shù)以及一階微分的形式不變性，可得

■f（φ（x））φ'（x）dx=■f（φ（x））dφ（x）=■f（u）du=F（u）+C=F（φ（x））+C

這里u=φ（x），F(xiàn)是f的原函數(shù)。

通過(guò)上述的內(nèi)容我們主要分析了微分和導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，微分在積分計(jì)算中的作用，并闡述了作者在教學(xué)過(guò)程中總結(jié)的少許經(jīng)驗(yàn)。作為研究函數(shù)的重要工具，微分應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中深刻的理解其定義、性質(zhì)，這樣才能在今后的微積分學(xué)習(xí)中做到學(xué)以致用。

參考文獻(xiàn)：

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[2]趙洪.研究性教學(xué)與大學(xué)教學(xué)方法改革[J].高等教育研究，2013（30）.

作者簡(jiǎn)介：

單遠(yuǎn)（1988.12-），男，漢族，江蘇鹽城人，博士，講師，研究方向：動(dòng)力系統(tǒng)。