G·波利亞曾經(jīng)指出：“良好的組織使得所提供的知識容易用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”而與此相適應(yīng)的，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，依托主題明確、針對性極強的“微專題”進行復(fù)習(xí)，可以促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而有利于學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法，加深對數(shù)學(xué)的理解，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而提升學(xué)生解決各種問題的能力.當然這種“微專題”教學(xué)也符合當前高考試題的一些特點，現(xiàn)在把筆者所得到的若干體會闡述如下.

1高考試題“小切口，深探究”的特點與“微專題”教學(xué)兩者的關(guān)系

“小切口，深探究”是當前高考的一種趨勢，現(xiàn)以2017年浙江省高考試題為例，如第5題以小切口“含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題”展開，從與閉區(qū)間相關(guān)的二次函數(shù)最值問題再到怎么解決含參數(shù)的最值之間的關(guān)系進行鑒別、探究，用很小角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；第8題與第11題分別以隨機變量、數(shù)學(xué)文化為載體，從小切口“兩點分布”、“割圓術(shù)”出發(fā)展開探究；第15題以向量知識為載體，從不等式恒成立問題出發(fā)，在小切口“三角不等式”和“基本不等式”等知識上展開探究；第17題以對勾函數(shù)知識為載體，從參數(shù)問題出發(fā)，在小切口“含參絕對值的最值問題”上展開探究等等.眾所周知，高中數(shù)學(xué)的知識點眾多，而高考數(shù)學(xué)受題量、時間等限制，抽樣考查數(shù)學(xué)知識，決定了只能是小切口、深探究，因為設(shè)問過大或過于常規(guī)的試題很難有較大區(qū)分度，難以起到選拔人才的作用.

而“微專題”復(fù)習(xí)是指針對某一具體的知識點或能力點，從該知識的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識，構(gòu)建結(jié)構(gòu)，進行知識遷移、整合，并能運用基本概念和原理解決實際問題的一種“小切口”的復(fù)習(xí)方法.所以“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)置與以上高考試題的特點不謀而合，值得進行深一步地研究與探討.

2微專題設(shè)置及其課堂教學(xué)

2.1量化“考點”，設(shè)置微專題

“微專題”的設(shè)置應(yīng)該打破教材原有的順序，依據(jù)考點整體謀劃新的復(fù)習(xí)體系.而基于考點量化架構(gòu)“微專題”復(fù)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)了基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)的全面性，又具有可操作性.例如近年來數(shù)列與不等式是逐漸回歸的一個考點，在多地的高考模擬試卷與最近浙江省教育考試院的調(diào)測卷中均有出現(xiàn).而學(xué)生對于其中涉及到的“放縮”技巧往往掌握不好，針對這種情況，筆者專門設(shè)置了《數(shù)列不等式問題中的放縮方法》的微專題復(fù)習(xí)課，具體實施程序如下：

題1已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n×（12）n-1，求證：當n≥3時，a1+a2+…+an≥3n+2n+1.

設(shè)計意圖：本題可以通過二項式定理的展開式，進行簡單的放縮巧妙地證明不等式.當在證明數(shù)列不等式問題時，若涉及到多項式與底數(shù)為常數(shù)的整數(shù)指數(shù)冪比較大小時，則運用二項式定理，再結(jié)合適當?shù)姆趴s是解決問題的常規(guī)思路.

題2已知函數(shù)f（x）=ax-32x2的最大值不大于16，又當x∈[14，12]時，f（x）≥18，

（1）求a的值. （2）設(shè)0

設(shè)計意圖：本題可以在使用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的過程中結(jié)合放縮法，從而順利地解決問題，它考查了學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)方法解題的能力，也展示了在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式時如何運用放縮的方法.

題3當n≥3且n∈N*時，

求證：1n2

設(shè)計意圖：用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式，首先要從函數(shù)和變量的觀點出發(fā)仔細觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，有時也需要對不等式作一些等價變形；其次是引入相應(yīng)的函數(shù)并將所有的式子移到一邊，用導(dǎo)數(shù)的方法研究此函數(shù)的單調(diào)性，從而證得結(jié)論.從而展示了在利用導(dǎo)數(shù)法證明數(shù)列不等式時如何運用放縮的方法.

題4數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*，總有an，Sn，a2n成等差數(shù)列，又記bn=1a2n+1a2n+3. （1）求數(shù)列{an}的通項公式：（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，并求使Tn>m150成立的最大正整數(shù)m的值.

設(shè)計意圖：本題是先拆項求和再放縮.這是常規(guī)思路.要注意放縮的技巧和放縮的適度. 而在證明數(shù)列不等式時放縮的其它常見技巧有：①添加或舍去一些項；②將分子或分母放大（或縮?。虎劾谜娣謹?shù)的性質(zhì)；④利用基本不等式；⑤利用函數(shù)的單調(diào)性；⑥利用函數(shù)的有界性；⑦利用絕對值不等式；等等.

當然，數(shù)列不等式的證明問題是千變?nèi)f化的，證明方法是多種多樣的，并且每種方法都是基于對問題的深入觀察、理解的基礎(chǔ)上.而通過上面的微專題教學(xué)，學(xué)生知曉了解決此類問題的常用方法，從而有了基本的知識貯備，也為今后此類考點的解決提供了條件.

2.2抓住“重點”，設(shè)置微專題

數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容，歷次高考都會重點考查，抓住這些重點精設(shè)專題，可以大大提高復(fù)習(xí)的針對性.例如絕對值函數(shù)經(jīng)常在高考中“拋頭露面”，是高考考查的重點內(nèi)容.為此筆者參考了有關(guān)資料，設(shè)計了“含有x-a的一類函數(shù)問題”的微專題，具體設(shè)計如下：

題5（1）已知函數(shù)f（x）=xx-2-a有三個零點，求a的取值范圍.

（2）函數(shù)f（x）=xx-a在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

設(shè)計意圖：問題是思維的開端，是學(xué)習(xí)的起點，也是學(xué)生深入探索心理的原動力.所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)著力創(chuàng)設(shè)問題情境，去激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新欲望，為課堂教學(xué)創(chuàng)造出良好的學(xué)習(xí)情境，達到課始趣生的效果.

題6已知函數(shù)f（x）=x（x-a）.（1）當a≤0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-1，12]上的最大值.

設(shè)計意圖：在提出問題之后，在意向心理主導(dǎo)控制下，帶著問題自主探究.學(xué)生通過接受知識信息，評價信息，獲得新知，從而構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu).可輔以學(xué)習(xí)小組切磋，全堂共議，使學(xué)生在討論中辨析，在自學(xué)中獲知，在探求中提高.

題7設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）x-a，求函數(shù)f（x）的最小值.

設(shè)計意圖：在自主探究的基礎(chǔ)上，通過知識信息的集中反饋，檢查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解程度和對問題探究的深度與廣度，再通過提問、投影及時矯正錯誤信息，讓學(xué)生進行辨析、比較，矯正確認.

題8已知方程x-ax=a有三個不同的根，求a的取值范圍.

設(shè)計意圖：在反饋、矯正、確認新知的基礎(chǔ)上，通過聯(lián)想、拓展、延伸，作必要的橫向聯(lián)系與縱向推廣，重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)文化.

題9已知函數(shù)f（x）=xx-a-2，當x∈[0，1]時，f（x）<0恒成立，求a的取值范圍.

設(shè)計意圖：在聯(lián)想、拓展基礎(chǔ)上，精心選配一些新授知識的練習(xí)，使學(xué)生的智力活動完成“再現(xiàn)式應(yīng)用——變式應(yīng)用——創(chuàng)造性應(yīng)用”的過程，達到激活思維、鞏固新知的目的.

在完成上面五個步驟的基礎(chǔ)上抓住知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法，再作歸納總結(jié)、點撥提高，幫助學(xué)生從感性認識上升到理性認識，再用理性認識指導(dǎo)感性認識，產(chǎn)生新舊知識有意義的同化作用.通過上面的微專題教學(xué)，從而使學(xué)生對于高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容——絕對值函數(shù)有了較為深入的了解.

2.3洞察“疑點”，設(shè)置微專題

復(fù)習(xí)課除了要幫助學(xué)生建構(gòu)良好的認知結(jié)構(gòu)，更要關(guān)注認知障礙，這就是我們常提到的“疑點”.教師在平時的教學(xué)和測試中要做有心人，善于發(fā)現(xiàn)并積累這些“困惑”，從學(xué)情出發(fā)，以洞察弱點，突破疑點為目標設(shè)置微專題，必然能起到事半功倍的復(fù)習(xí)效果.例如數(shù)量積問題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空的壓軸題中，而學(xué)生在處理這一部分內(nèi)容時，經(jīng)常感到迷茫，不知道從何處入手.為此，筆者專門設(shè)置了“投影在數(shù)量積問題中的運用”的微專題，具體設(shè)計如下：

題10（1）設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的投影為 .

（2）已知點A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），則向量AB在CD方向上的投影為 .

設(shè)計意圖：上面的兩個問題事實上是數(shù)量積投影公式的直接運用，其解決過程可以說是“直接運用，言簡意賅”，從而使學(xué)生進一步熟悉了這個公式.

題11請用數(shù)量積的幾何意義的角度思考以下的三個問題.

（1）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則BD·CD=；

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，點M滿足BM=2MA，則CM·CB=；

圖1（3）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP=3，則AP·AC=.

設(shè)計意圖：上面的三個問題事實上是數(shù)量積幾何意義的直接運用， 其解決過程可以說是“抓住關(guān)鍵，一擊即中”，使學(xué)生對于利用幾何意義解決數(shù)量積問題有了初步的嘗試.

題12請用數(shù)量積的幾何意義的角度思考以下三個問題.

（1） 在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=1-x2上的一個動點，則BP·BA的取值范圍是 .

（2）如圖2，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，AD=1，則AC·AD= .

圖2圖3（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，點M，N分別是AB，BC的中點，P點是△ABC（包括邊界）內(nèi)任意一點，則AN·MP的取值范圍是 .

設(shè)計意圖：通過以上的三個問題的分析，不難發(fā)現(xiàn)這些問題事實上是數(shù)量積幾何意義的更深入的運用，其解決過程可以說是“知識綜合，拔丁抽楔”.從而使學(xué)生拓展了對這類問題的解決思路.

探究（1） （2016年浙江高考文科試題） 已知平面向量a，b，a=1，b=2，a·b=1，若e為平面單位向量，則a·e+b·e的最大值是.

（2） （2016年浙江高考理科試題）已知向量a、ba=1，b=2，若對任意單位向量e，均有a·e+b·e≤6，則a·b的最大值是.

設(shè)計意圖：通過上面問題的解決不難發(fā)現(xiàn)，許多與數(shù)量積有關(guān)的高考試題，如果合理運用向量投影去研究和分析，就極有可能回避較為繁瑣的代數(shù)運算，也即向量投影進行適當?shù)膱D形表征有助于問題的形象直觀思考，也有助于簡約問題解決的思維長度，從而順利地解決面臨的問題.

通過上面的問題鏈設(shè)計，我們以一句唐伯虎的詩句來總結(jié)此微專題，即：一上一上又一上，一上上到高山上；舉頭紅日白云低，四海五湖皆一望.而通過學(xué)生的交流發(fā)言，可以知道今天所遇到的問題的解法往往不止一種，并且我們用向量投影知識的解法也未必是最簡單、最適宜的解法，但是這種分析和解決數(shù)量積等相關(guān)問題的思路進一步豐富了我們的知識貯備，為這類問題的解決提供了多種選擇空間.

2.4感知“熱點”，設(shè)置微專題

當然，微專題的設(shè)置也應(yīng)盡量關(guān)注近年高考中出現(xiàn)的各種熱點問題.例如多元最值問題是近年高考考查的熱點之一，多元最值問題中以二元問題最為常見，也相對簡單；對于超過二元的問題，要善于將其轉(zhuǎn)化成二元問題或一元問題.筆者參考了有關(guān)資料，設(shè)計了“多元最值問題的研究”微專題的教學(xué)，設(shè)計如下：

題13（1）若實數(shù)x，y滿足約束條件x≤1，y≤2，

x+y≥2，求目標函數(shù)z=3x+y的取值范圍.

（2）已知x，y滿足x-4y+3≤0，

3x+5y-25≤0，

x≥1，求z=x2+y2+6x-4y+13的取值范圍.

（3）設(shè)實數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，求x3y4的最大值.

設(shè)計意圖：通過由最基本的線性規(guī)劃問題出發(fā)，即在二元線性約束條件下求二元線性目標函數(shù)的最值，可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固基本的求解方法，即幾何意義轉(zhuǎn)化.然后再加以延伸擴展.

題14（1）在正項等比數(shù)列{an}中，存在兩項am、an，使得aman=4a1，且a7=a6+2a5，求1m+5n的最小值.

（2）已知a，b為正實數(shù)，且a+b=2，求a2+2a+b2b+1的最小值.

（3）設(shè)x、y、z為正實數(shù)，且x-2y+3z=0，求y2xz的最小值.

設(shè)計意圖：學(xué)生在新授學(xué)習(xí)或一輪復(fù)習(xí)中，對于由基本不等式關(guān)系得到的x2+y2、x+y、1x+1y的關(guān)系比較熟悉，能夠直接運用其處理一些簡單的不等式和最值問題；但是對于一些式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜尤其是系數(shù)不為1且有分式的問題，缺乏處理的技巧，需要分析強化.

題15（1）已知函數(shù)f（x）=lg x，若存在互不相等的實數(shù)a，b，使f（a）=f（b），求ab的值.

（2）已知函數(shù)f（x）=x-1-1，若關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四個互不相等的實數(shù)根x1、x2、x3、x4，則x1x2x3x4的取值范圍是.

（3）對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，

b2-ab，a>b.設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），

且關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1、x2、x3，則x1x2x3的取值范圍是.

設(shè)計意圖：與函數(shù)有關(guān)的多元最值問題豐富多樣，而“已知函數(shù)在不同的單調(diào)區(qū)間上取相同的函數(shù)值，求相應(yīng)的自變量構(gòu)成的式子的范圍”一類問題，是學(xué)習(xí)的難點及高考的熱點之一，需要進一步例析與類化.

綜而言之，如上這樣的微專題具有主干性、系統(tǒng)性和應(yīng)用性，從必修到拓展、從教材到課外，跨章節(jié)、跨模塊對知識進行整合，突破了教材的禁錮，也不斷重組著學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，對于他們分析問題以及解決問題的綜合能力的提升大有脾益.

顯然，筆者對“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)的研究還存在著研究范圍不廣、涉及程度不深等諸多不足，有待于進一步的學(xué)習(xí)與研討.

作者簡介黃加衛(wèi)（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高級，碩士學(xué)位，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).近年來在省級及以上雜志上發(fā)表論文180余篇.endprint