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(上海理工大學 理學院,上海 200093)

1 問題的提出

近年來,分數(shù)階微分方程在現(xiàn)代科學技術領域的應用日益廣泛,其理論研究也取得了巨大的進展[1-8].作為刻畫突變現(xiàn)象的脈沖微分方程在電子技術及通訊工程等方面發(fā)揮了巨大的作用,瞬時脈沖理論也受到人們的關注[9-13].在生物技術及醫(yī)藥工程領域存在著大量的非瞬時脈沖現(xiàn)象[14-20],對這類現(xiàn)象進行研究具有重要意義.本文研究一類具有非瞬時脈沖的分數(shù)階微分方程積分邊值問題

(1)

定義空間:PC(J,):={u:J→存在,且取范數(shù)‖u‖PC=則PC(J,)為Banach空間.

H0g∈L1(J),且ρ≠0.

2 預備知識與引理

有關分數(shù)階微積分的定義可參見文獻[1-4].

定義1設u∈PC(J,),若u滿足邊值問題(1)中的各等式,則稱u是邊值問題(1)的一個解.

引理1[4]假設y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy問題

(2)

有解,且以下列形式給出:

推論1假設y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy問題

(3)

存在唯一解

引理2對任意的y∈L1[0,1],且H0成立,則邊值問題

(4)

存在唯一解

u(t) =v(t)+G(t)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

根據(jù)邊界條件u(0)=0,可得c0=0,故

(9)

考慮 Cauchy問題

(10)

類似地,當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,

另一方面,

將上式代入式(9),可得式(5)成立,即引理2得證.

經(jīng)過化簡與計算,易得下面的引理3和引理4.

引理3對任意的s∈J,有以下不等式成立:

為了方便起見,記

根據(jù)式(7),容易證明引理4成立.

引理4對任意的t∈J,不等式|G(t)|≤N2成立.

定義算子A:PC(J,)→PC(J,).

(11)

記

Tu(t) =Au(t)+G(t)

(12)

引理5若假設H0成立,則算子T:PC(J,)→PC(J,)全連續(xù).

證明首先,證明T為連續(xù)算子.

設un,u∈PC(J,),n=1,2,…, 且‖un-u‖PC→0(n→), 即對任意的t∈J,有un(t)→u(t)(n→),由于f是連續(xù)函數(shù),則|f(s,un(s))-f(s,u(s))|→0,n→.

故根據(jù)Lebesgue控制收斂定理,可得

因此,當t∈[0,t1]時,結(jié)合引理3的a,可得

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tun(t)-Tu(t)|=0.

類似可得,當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

即有‖Tun-Tu‖PC→0(n→), 因此,T連續(xù).

其次,證明T是緊的.

設B?PC(J,)為有界集,則存在r>0,使得對任意的u∈B,有‖u‖PC≤r,記則當t∈[0,t1]時,結(jié)合引理3的a與引理4,可得

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,T(B)一致有界.

即T(B)等度連續(xù).由Arzela-Ascoli定理可知T是緊的.

綜合以上討論,T是全連續(xù)算子.

3 邊值問題解的存在性與唯一性

假設:

H1 存在非負函數(shù)a0,a1∈C[0,1], 常數(shù)σ>0, 使得對任意的t∈J及任意的x∈,有

H2 存在非負函數(shù)R∈C[0,1],使得對任意的t∈J及任意的x,y∈,有

|f(t,x)-f(t,y)|≤R(t)|x-y|

記‖a0‖‖R‖

定理1假設H0,H1成立,且0<σ<1, 則邊值問題(1)至少存在1個解.

證明取r1≥max{Mh,2(N0‖a0‖

令D={u∈PC:‖u‖PC≤r1},則D為PC(J,)中非空有界閉凸集.

對任意的u∈D,當t∈[0,t1]時,結(jié)合引理3的b、引理4以及1<α<2,可得

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r1.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,‖T‖PC≤r1, 故T(D)?D.由引理5可知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理可知T在D中至少存在1個不動點,即邊值問題(1)在PC(J,)中至少存在1個解.

定理2假設H0,H1成立,如果σ=1,且0

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r2.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

|Tu(t)|≤|Au(t)|+|G(t)|≤

N1‖a0‖+N2+r2N1‖a1‖≤r2

因此,‖T‖PC≤r2, 故T(D)?D.由引理5可知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理可知T在D中至少存在1個不動點,即邊值問題(1)在PC(J,)中至少存在1個解.

定理3假設H0,H2成立,如果0

證明對任意的u1,u2∈PC(J,),當t∈[0,t1]時,

當t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu2(t)-Tu1(t)|=0.

當t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因為,0

4 例 子

考慮邊值問題

(13)

綜上可知定理1的所有條件均滿足,根據(jù)定理1可知邊值問題(13)至少存在1個解.

[1] 白占兵.分數(shù)階微分方程邊值問題理論及應用[M].北京:中國科學技術出版社,2013.

[2] 鄭祖庥.分數(shù)微分方程的發(fā)展和應用[J].徐州師范大學學報(自然科學版),2008,26(2):1-10.

[3] PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York:Academic Press,1999.

[4] KILBAS A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam:Elsevier,2006.

[5] KOU C H,ZHOU H C,YAN Y.Existence of solutions of initial value problems for nonlinear fractional differential equations on the half-axis[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2011,74(17):5975-5986.

[6] 李燕,劉錫平,李曉晨,等.具逐項分數(shù)階導數(shù)的積分邊值問題正解的存在性[J].上海理工大學學報,2016,38(6):511-516.

[7] 劉帥,賈梅,秦小娜,等.帶積分邊值條件的分數(shù)階微分方程解的存在性和唯一性[J].上海理工大學學報,2014,36(5):409-415.

[8] 竇麗霞,劉錫平,金京福,等.分數(shù)階積分微分方程多點邊值問題解的存在性和唯一性[J].上海理工大學學報,2012,34(1):51-55.

[9] 張莎,賈梅,李燕,等.分數(shù)階脈沖微分方程三點邊值問題解的存在性和唯一性[J].山東大學學報(理學版),2017,52(2):66-72.

[10] WANG J R,LI X Z,WEI W.On the natural solution of an impulsive fractional differential equation of orderq(1,2)[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(11):4384-4394.

[11] LIU X P,JIA M.Existence of solutions for the integral boundary value problems of fractional order impulsive differential equations[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2016,39(3):475-487.

[14] HERNANDEZ E,O′REGAN D.On a new class of abstract impulsive differential equations[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2013,141(5):1641-1649.

[15] PIERRI M,O′REGAN D.ROLNIK V.Existence of solutions for semi-linear abstract differential equations with not instantaneous impulses[J].Applied Mathematics and Computation,2013,219(12):6743-6749.

[16] GAUTA G R,DABAS J.Mild solutions for class of neutral fractional functional differential equations with not instantaneous impulses[J].Applied Mathematics and Computation,2015,259(15):480-489.

[17] AGARWAL R,O′REGAN D,HRISTOVA S.Monotone iterative technique for the initial value problem for differential equations with non-instantaneous impulses[J].Applied Mathematics and Computation,2017,298(1):45-56.

[18] WANG J R,ZHOU Y,LIN Z.On a new class of impulsive fractional differential equations[J].Applied Mathematics and Computation,2014,242(1):649-657.

[19] LIN Z,WANG J,WEI W.Multipoint BVPs for generalized impulsive fractional differential equations[J].Computers and Mathematics with Applications, 2015, 258: 608-616.

[20] WANG J R,ZHANG Y.A class of nonlinear differential equations with fractional integrable impulses[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19: 3001-3010.