謝紅太，黨小剛(西安鐵路局 西安動車段，陜西 西安 710016)

計算機輔助設(shè)計技術(shù)中，準(zhǔn)確快速地描述空間多次曲線顯得極為重要.目前，普遍采用通過XYZ坐標(biāo)點構(gòu)建或通過可視化語言VBA等編程控制構(gòu)建多次復(fù)雜曲線.Autodesk Inventor是一款面向機械設(shè)計的三維設(shè)計軟件，它融合了當(dāng)前CAD所采用的最新技術(shù)，具有強大的參數(shù)實體造型能力，智能的幫助系統(tǒng)，簡單而直觀的設(shè)計環(huán)境，快速裝配顯示，自適應(yīng)裝配系統(tǒng)以及輔助協(xié)作設(shè)計等優(yōu)點，尤其在高次空間曲線和空間曲面的智能化參數(shù)化設(shè)計以及現(xiàn)代機械加工及模擬仿真分析方面[1-3]更為準(zhǔn)確便捷.

以SolidWorks軟件輔助設(shè)計為例，其對復(fù)雜高次特殊曲線的建模只能依靠笛卡爾坐標(biāo)系中參數(shù)繁多的直角坐標(biāo)方程進行搭建，本文以其他三維軟件中實現(xiàn)較困難的雙作用葉片泵定子內(nèi)高次曲線為基礎(chǔ)[4-5]，展開對Inventor表達式曲線的再運用及優(yōu)勢說明.

1 高次曲線在Inventor中的創(chuàng)建方法

1.1 建立高次函數(shù)模型

在工業(yè)制造領(lǐng)域中，對于一些加工表面形位精度要求較為嚴(yán)格的使用場合，多采用高次曲線控制構(gòu)建外表面的形式以滿足其相關(guān)的機械精度要求和運行穩(wěn)定性及平穩(wěn)性要求.例如，雙作用葉片泵葉片與定子內(nèi)六次曲線配合時可使其葉片受力狀況最佳，航天飛行器的渦輪葉片設(shè)計等都大多采用性能較高的多次曲線.

高次方程也稱為整式方程，其一般形式為：y=kxm,(m≥2)，其中x為自變量，y為因變量，k為系數(shù)，m為冪級數(shù).在包含有兩個變量x，y的二維直角坐標(biāo)系中所取點描繪出的圖形即此高次方程所對應(yīng)的高次曲線.本文首先以二次函數(shù)曲線為例對Inventor中二維曲線創(chuàng)建的兩種方法進行探究，令二次函數(shù)：fx=0.1x2+0.1x-2 .

1.2 利用樣條曲線對二次離散點進行擬合

1)在Excel中列舉計算有限二維離散點

在此利用Microsoft Office Excel對如上fx二次函數(shù)曲線進行區(qū)間內(nèi)的離散點確定.在Excel表格中輸入fx對應(yīng)的兩個關(guān)系變量，即自變量x，因變量y，并對自變量x給定一個閉區(qū)間[-10,10]，并分別列出閉區(qū)間中的21個特殊整數(shù)值，在Excel表格相應(yīng)單元格中編寫fx函數(shù)關(guān)系fx=0.1x2+0.1x-2,并將其應(yīng)用到因變量y所在列中，系統(tǒng)對其進行自動處理列出相應(yīng)的計算離散數(shù)組，結(jié)果見表1.

表1 fx在Excel中x，y所對應(yīng)的二維坐標(biāo)點
Tab.1 fxin Excel x, y 2d coordinates of the point

序號123456789101112131415161718192021x-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910fx(y)75．23．62．210-0．8-1．4-1．8-2-2-1．8-1．4-0．8012．23．65．279

2)將二維離散點導(dǎo)入Inventor草圖環(huán)境中

Inventor草圖設(shè)計集目標(biāo)參數(shù)化與變量化設(shè)計于一體，整個草圖環(huán)境中功能齊全，能實現(xiàn)智能化約束與驅(qū)動.在功能區(qū)中將Excel點插入模塊，設(shè)定并調(diào)整相應(yīng)的單位及接口后即可實現(xiàn)Excel表格中所設(shè)定的fx函數(shù)所對應(yīng)的21組二維離散數(shù)組[x,y]的導(dǎo)入，如圖1所示.并對圖中的21個離散點進行鎖定約束，確定其在外界參數(shù)調(diào)整下處于草圖xoy坐標(biāo)系的位置不變.

用Inventor中的樣條曲線擬合fx二次曲線.樣條的概念來源于制圖技術(shù)，即讓富有彈性的線條(稱為樣條)通過一組點，得到光滑的曲線.目前使用的樣條曲線主要有二次樣條曲線和三次樣條曲線，其中大多Inventor高版本軟件中的樣條曲線為三次樣條曲線.三次樣條曲線克服了二次樣條曲線的缺點，即最前面的兩個點所對應(yīng)的線段為直線連接，最后一個曲線區(qū)間的擺動過大；也克服了不常用的高次樣條曲線有時可能會造成的龍格現(xiàn)象.采用樣條曲線進行插值擬合完成的平面fx二次曲線如圖1所示，對其進行長度檢測為l1=29.624mm.

圖1 樣條曲線擬合的fx二次曲線Fig.1 Spline curve fitting fx quadratic curve

1.3 利用表達式創(chuàng)建二次曲線

1)fx表達式的參數(shù)化方程設(shè)定

按照如上所述的二次曲線模型fx=0.1x2+0.1x-2，建立Inventor草圖參數(shù)化設(shè)計中所特有的t參數(shù)模型，即

(1)

Inventor中特別規(guī)定，曲線的創(chuàng)建必須在某一限定的有限閉區(qū)間之內(nèi)，即

(2)

2)在Inventor草圖中創(chuàng)建fx二次曲線模型

選擇笛卡爾坐標(biāo)系，以t作為參變量，x(t)、y(t)為因變量，分別對照設(shè)定參函數(shù)的上下閉區(qū)間tmin、tmax，即可完成整個二次曲線的創(chuàng)建，結(jié)果如圖2所示.

圖2 Inventor中的表達式曲線fxFig.2 fx expression curve of Inventor

同樣，將該二維曲線轉(zhuǎn)換到三維xyz空間中，利用長度檢測工具測得曲線長度l2=29.624mm.由上述可知，通過導(dǎo)入Excel參數(shù)表和三次樣條曲線擬合的方式創(chuàng)建的fx二維曲線和直接采用表達式曲線創(chuàng)建的fx二維曲線在閉區(qū)間內(nèi)的弧長l1=l2=29.624mm，則說明在Inventor表達式曲線的建模機制中正是采用了三次樣條曲線和有限坐標(biāo)點擬合的方式.

2 模型fx的積分學(xué)研究

利用對弧長曲線積分的計算法，設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為

(3)

存在，且

由此對上述fx函數(shù)進行在區(qū)間[-10,10]上的曲線積分，從而求出其準(zhǔn)確的弧長值l0.在此把x看做y的參變量，利用弧長的曲線積分計算定理，求其弧長l0，即

(4)

有關(guān)曲線積分的計算在此不再贅述，分別帶入計算得理論弧長l0≈29.618mm.通過數(shù)學(xué)積分對fx二維曲線在閉區(qū)間上的弧長計算得l0≈29.618mm，與通過Inventor創(chuàng)建的fx二維曲線弧長l1=l2=29.624mm的誤差僅為Δ=0.02%，故由Autodesk Inventor 中所提供的創(chuàng)建曲線的這兩種方法，在數(shù)模仿真分析計算中有著一定的現(xiàn)實意義，也為實際設(shè)計生產(chǎn)運用提供了一個較為可靠的技術(shù)方案.

3 基于Inventor的葉片泵定子內(nèi)曲線的創(chuàng)建

目前，葉片泵是大功率機械化系統(tǒng)中使用較廣的動力原件之一，定子和葉片作為葉片泵核心受力構(gòu)件，其內(nèi)曲線的研究設(shè)計有著不言而喻的意義.市場上常見的雙作用葉片泵的定子內(nèi)曲線形式多為余弦曲線、正弦曲線、 等加速等減速曲線等.近幾年的研究發(fā)現(xiàn)，相比其他形式的曲線，高次內(nèi)曲線無論在速度、加速度及加速度變化率等液壓系統(tǒng)性能方面更具優(yōu)勢，但其中一個難點就是定子內(nèi)部特殊高次曲線的數(shù)模創(chuàng)建[6].

3.1 雙作用葉片泵定子內(nèi)曲線的數(shù)學(xué)模型

為了更為直觀地運用Inventor高次曲線的建模機制，在此選擇YB型雙作用葉片泵為雛形，所不同的是定子內(nèi)曲線不是完整的曲線所直接組成，而是由4段過渡曲線、兩段小圓弧r、兩段大圓弧R連接而成，依據(jù)相關(guān)機械制造標(biāo)準(zhǔn)，定子外形為直徑D=φ65mm的普通圓柱面；定子內(nèi)曲線的小圓弧半徑r=26mm，大圓弧(0°葉片傾角時)半徑R=27.682mm，大圓弧和小圓弧所對應(yīng)的4段圓弧角均相等且為α=36° ，4段特殊高次曲線所對應(yīng)的圓弧角為β=54°.

由六次曲線極坐標(biāo)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式ρ(φ)=a0+a1φ+a2φ2+a3φ3+a4φ4+a5φ5+a6φ6及φ=0 ,φ=β兩邊界條件可求出0°葉片傾角時對應(yīng)六次曲線的極坐標(biāo)方程

(5)

根據(jù)此邊界條件，依次將r=26mm，R=27.682mm，β=54°，代入推導(dǎo)出0°葉片傾角時六次曲線的極坐標(biāo)方程，即

(6)

3.2 雙作用葉片泵定子內(nèi)緣的建模設(shè)計

進入Autodesk Inventor草圖設(shè)計環(huán)境中，其中fx表達式曲線為用戶提供了兩種曲線設(shè)計環(huán)境，即笛卡爾坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，針對式(6)所表示的定子內(nèi)曲線4段特殊六次曲線的極坐標(biāo)參數(shù)方程，切換到極坐標(biāo)系狀態(tài)下進行參數(shù)方程的創(chuàng)建.

(7)

系統(tǒng)根據(jù)式(7)所建定子內(nèi)曲線高次曲線段的極坐標(biāo)方程，擬合出該曲線如圖3(a)所示.依次創(chuàng)建分別連接于六次曲線段兩側(cè)的小圓弧段和大圓弧段，再分別鏡像得到整個定子內(nèi)曲線模型如圖3(b)所示，然后在Inventor環(huán)境中拉伸葉片泵定子草圖區(qū)域即可完成定子三維模型的創(chuàng)建[7-8].

(a)第一段六次曲線

(b)定子內(nèi)外曲線生成圖3 定子內(nèi)曲線模型的創(chuàng)建Fig.3 The creation of stator curve model

上述fx極坐標(biāo)方程式(6)的創(chuàng)建與Inventor中為用戶提供的fx表達式曲線雙坐標(biāo)系建模機制相適應(yīng)，避免了在其他三維軟件中(例如SolidWorks)必須將極坐標(biāo)參數(shù)方程轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)參數(shù)方程的弊端，而且由于兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過程中存在正余弦函數(shù)以及無限不循環(huán)數(shù)π的參入，導(dǎo)致建模結(jié)果出現(xiàn)或大或小的誤差，影響后續(xù)的研究.

4 結(jié)束語

應(yīng)用Inventor軟件對高次復(fù)雜曲線提出兩種不同性質(zhì)的創(chuàng)建方法，其中基于Microsoft Office Excel的曲線建模機制采用二維及多維數(shù)組點的創(chuàng)建提取，并導(dǎo)入到Inventor草圖環(huán)境中利用樣條曲線進行擬合，得到所需的近似曲線.此方法適合于Excel大數(shù)據(jù)的曲線分析建模處理，沒有確切的函數(shù)關(guān)系表達式，較為方便靈活.對于fx表達式曲線的建模機制，采用可視化參數(shù)化的函數(shù)庫作為基礎(chǔ)，能準(zhǔn)確識別常用函數(shù)及復(fù)雜對應(yīng)關(guān)系式，如Inventor為用戶提供了極坐標(biāo)和笛卡爾坐標(biāo)兩種曲線參數(shù)表達形式，其中極坐標(biāo)參數(shù)方程的表示對工業(yè)生產(chǎn)制造領(lǐng)域中特殊曲面、曲線的準(zhǔn)確快速創(chuàng)建有著不可替代的意義.

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