周愛華，姜雪菲(.哈爾濱理工大學 電氣與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 50000；.青島大學 自動化與電氣工程學院， 山東 青島 6607)

在電力系統(tǒng)中，由于大量非線性負荷的廣泛應用，電網(wǎng)中產(chǎn)生了大量的各次諧波，從而使電能質(zhì)量下降，不利于電力系統(tǒng)的安全和經(jīng)濟運行.為了能夠更加有效地降低電網(wǎng)諧波對電網(wǎng)的影響[1]，提高電能質(zhì)量，準確檢測電網(wǎng)中的諧波成分是至關重要的.

在實際工程應用中，加余弦窗插值FFT算法[1-5]是用于電網(wǎng)諧波檢測的較為廣泛的方法之一.由于電網(wǎng)信號頻率存在波動，往往很難實現(xiàn)對電網(wǎng)信號的同步采樣.傳統(tǒng)的FFT諧波檢測算法對于諧波信號的檢測精度低，存在著較大的誤差.在這種情況下，應用傳統(tǒng)的FFT算法檢測諧波往往會導致頻譜的泄露，從而使檢測到的信號參數(shù)(頻率、幅值、相位)存在較大誤差，無法滿足精確地檢測諧波要求.由于采用硬件電路很難實現(xiàn)同步采樣的局限性，加余弦窗FFT插值諧波檢測算法采用旁瓣性能優(yōu)良的窗函數(shù)有效地避免了傳統(tǒng)的FFT諧波檢測算法因頻譜泄露帶來的測量誤差，極大的提高了諧波的檢測精度，有助于電網(wǎng)中諧波的治理.采用具有不同旁瓣特性的余弦窗函數(shù)對頻譜泄露有不同的抑制效果，比較常見的窗函數(shù)有Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗[6-9]等.一般常用的插值方法有雙譜線插值法、三譜線插值法，它們在一定程度上有效地提高了諧波檢測精度.本文充分考慮諧波頻點附近的四根譜線包含大量的幅值信息的特點并對其進行加權(quán)處理， 能夠進一步提高了諧波檢測精度.

一般而言，改善窗函數(shù)的特性有助于進一步提高加窗插值算法的計算精度,同時又要考慮到算法的實時性.采用的項數(shù)少的窗函數(shù)雖然計算量小算法的實時性高，但不能夠有效地抑制頻譜泄露，提高諧波的檢測精度；采用的項數(shù)較高的窗函數(shù)雖然可以有效提高檢測精度，但是會導致諧波檢測算法的實時性差.因此，本文在分析了不同余弦窗函數(shù)的特性后，利用MATLAB軟件對加余弦窗插值FFT算法進行仿真，通過仿真數(shù)據(jù)的對比分析提出了一種性能優(yōu)良的加8項余弦窗窗的諧波檢測方法.本文在分析8項余弦窗函數(shù)特性的基礎上，推導了基于8項余弦窗插值公式，并且利用MATLAB軟件對該算法進行仿真.仿真結(jié)果表明，該算法能夠有效地減小測量誤差，提高信號參數(shù)(頻率、幅值、相位)的檢測精度，有利于電網(wǎng)諧波信號分析.

1 余弦窗函數(shù)及其特性

余弦窗的表達式為

(1)

式中n=0,1,...,N-1

圖1 窗函數(shù)及其歸一化對數(shù)頻譜Fig.1 Windows and normalized logarithm spectrum

一般而言，窗函數(shù)的旁瓣峰值電平和漸進衰減速率對提高諧波信號的檢測精度起著至關重要的作用[10-11]為了抑制頻譜的泄漏往往需要旁瓣電平低的窗函數(shù).由圖1可知，8項余弦窗的主瓣寬度比其他余弦窗寬(12π/N),但是其旁瓣峰值電平最低且旁瓣衰減速率最快.因此本文選用8項余弦窗對信號進行加權(quán)處理.

表1 窗函數(shù)系數(shù)表
Tab.1 Parameters of window coefficients

時域系數(shù)b0b1b2b3b4b5b6b7Hanning0．50．5——————Hamming0．540．46——————布萊克曼0．420．50．08—————Blackman?Harris0．358750．488290．141280．01168————5項余弦窗11．60．88/351/35———6項余弦窗0．246093750．410156250．2343750．0878906250．019531250．001953125——7項余弦窗0．22558593750．386718750．241699218740．107421874990．032226562490．0058593750．00048828125—8項余弦窗0．209472656250．366577148430．244384765620．122192382810．044433593740．011108398430．001708984370．00012207031

2 四譜線插值算法的原理

以fs為采樣頻率對含有多次諧波的信號進行N點采樣，得到離散信號的表達式為

(2)

式中：h表示諧波次數(shù)，Ah、fh、φh表示h次諧波的幅值、頻率、相位.對離散信號加窗處理，即xw(n)=x(n)w(n)，并進行傅里葉變換，得

(3)

忽略負頻點峰值的旁瓣影響得

(k=0,1,...,N-1)

(4)

式中，W(k)為相應窗函數(shù)離散傅里葉變換，可以表示為

(5)

當N>>1時，可以表示為

(6)

對第h次的諧波參數(shù)進行分析，而忽略其次諧波對第h次諧波的影響，得到相應的譜線表達式為

(7)

在信號檢測過程中，由于非同步采樣的影響，檢測第h次諧波的頻率khΔf很難落到離散譜線的整數(shù)頻點上.設第h次諧波的準確頻點kh附近的四條譜線分別為kh1、kh2、kh3、kh4、kh2、kh3兩條譜線蘊含了第h次諧波的幅值信息量最大，其次是kh1、kh4兩兩條譜線也蘊含著第h次諧波有用信息，且有kh1=kh2-1，kh2=kh3-1,kh3=kh4-1,δ=kh-kh2-0.5，-0.5≤δ≤0.5.充分利用頻點左右四條譜線[12-14]的對稱性，獲得實際信號參數(shù).令這四條譜線的幅值分別為y1=│X(kh1)│、y2=│X(kh2)│、y3=│X(kh3)│、y4=│X(kh4)│.

(8)

將式(7)帶入式(8)，化簡可得：

(9)

則可以得到α與δ之間的函數(shù)關系α=h(δ)，在[-0.5,0.5]內(nèi)取一組數(shù)δ，求得與之對應的α，且δ由逼近多項式的奇數(shù)項構(gòu)成，可知α與β呈奇函數(shù)關系.利用MATLAB中的polyfit(α，δ，7)函數(shù)進行多項式擬合δ=h-1(α).由此可得，第h次的信號頻率修正公式為

fh=khΔf=(kh2+δ+0.5)

(10)

由于kh2、kh3兩條譜線包含大量的幅值信息，所以在諧波幅值計算時應該給這兩條譜線更大的加權(quán)值，四條譜線的加權(quán)值分別為1、2.5、2.5、1.則幅值的估計公式為

(11)

令

g(δ)= 2/[|W(-β+0.5)|+|W(-β+1.5)|+

|W(-β-1.5)|+|W(-β-0.5)|

(12)

同理，將式(6)帶入式(12)中，在[-0.5,0.5]內(nèi)取一組數(shù)δ，求出與之對應的g(δ)，把獲得的數(shù)據(jù)利用polyfit(δ，g(δ)，6)函數(shù)進行曲線擬合[15-17].由此得到幅值修正公式為

Ah=2N-1(y1+2.5y2+

2.5y3+y4)g(δ)

(13)

由式(7)可知，相位的修正公式為

arg[(W(-δ-0.5)]

(14)

當N>>1時，arg[W(-K)]=πK.那么相位的修正公式為

(15)

各種窗函數(shù)的修正公式

本文對δ進行多項式擬合時擬合次數(shù)取7次,幅值的數(shù)據(jù)擬合時采用修正項冪次選為6次.利用MATLAB軟件中的polyfit函數(shù)擬合得到對應的窗函數(shù)修正公式.窗函數(shù)修正公式為：

(1) Hanning窗函數(shù)

δ=0.083506670343413α7+

0.099217837866653α5+

0.219943541561816α3+

0.937496738556471α

U=0.003153822600128δ6+

0.022229168004020δ4+

0.121623658436418δ2+

0.368155385160077

(2) Hamming窗函數(shù)

δ=0.100496085398161α7+

0.101897443601928α5+

0.217846619862153α3+

0.851218993653637α

U=0.003486364666952δ6+

0.023749847515743δ4+

0.124900735560296δ2+

0.360936651511512

(3) Blackman窗函數(shù)

δ=0.129901255735445α7+

0.161476128964892α5+

0.317503828311633α3+

1.208943283350772α

U=0.001943321525962δ6+

0.017233120172110δ4+

0.113890627291849δ2+

0.405202470388241

(4) Blackman-Harris窗函數(shù)

δ=0.191153143824769α7+

0.240737867783245α5

+0.435285503533033α3+

1.547158446062135α

U=0.001181004084057δ6+

0.013134789931189δ4+

0.105236495920637δ2+

0.443778779151877

(5) 5項余弦窗

δ=0.197279974426130α7+

0.302988042173697α5+

0.612564490124994α3+

2.474999995459783α

U=1.335654659178952×10-4δ6+

0.002119650787261δ4+

0.024167588490127δ2+

0.145338687467616

(6) 6項余弦窗

δ=0.236006162444184α7+

0.367108650653804α5+

0.739620297143259α3+

2.979166665411265α

U=3.254090617978365×10-4δ6+

0.006132203426704δ4+

0.082120830995647δ2+

0.575818038105339

(7) 7項余弦窗

δ=0.274831341030455α7+

0.430754070955065α5+

0.866094571629454α3+

3.482142856531179α

U=2.293750007995112e×10-4δ6+

0.005006315270912δ4+

0.077018630321852δ2+

0.616947898039491

(8) 8項余弦窗

δ=0.313717189979371α7+

0.494107524257485α5+

0.992202948039989α3+

3.984374999634126α

U=1.687424914138081×10-4δ6+

0.004186748276859δ4+

0.072759525148811δ2+

0.655507141710313

3 信號的仿真實驗分析

表2 基波及諧波信號的幅值及相位
Tab.2 The amplitude and phase of the fundamental wave and harmonic signal

諧波次數(shù)123456789幅值/V3802060153020171610相位/(°)1501209060304020105

為了驗證提出的算法的有效性，本文仿真所用的基波及諧波的幅值及相位，見表2.采用的基波頻率為50.1Hz，采樣頻率為5120Hz，采樣點數(shù)為1024點.本文利用MATLAB軟件對含有不同頻率的電網(wǎng)諧波信號進行加不同窗函數(shù)的算法仿真.加不同余弦窗插值FFT算法的幅值、相位的仿真測量結(jié)果分別見表3和表4，不同加窗插值算法的幅值及相位相對誤差的仿真結(jié)果分別見表5和表6.

表3 不同加窗插值FFT算法的幅值的測量結(jié)果
Tab.3 Amplitude of measured results corresponding to different window interpolation FFT algorithms

諧波次數(shù)Hanning窗Hamming窗Blackman窗函數(shù)Blackman?Harris窗5項余弦窗6項余弦窗7項余弦窗8項余弦窗1380．0000115898492380．0000056201695380．0000028040452380．0000020033422380．0000001608279380．0000000822706380．0000000464534380．0000000281906220．00000061092642020．00000405922071820．00000014785404520．00000014708249020．00000000846463520．00000000433003020．00000000244490620．000000001483720360．00000182707470560．00003993134880060．00000044189733560．00000034608651060．00000002539387460．00000001299008560．00000000733474060．000000004451140415．00000045463923615．00000573479894915．00000010985329315．00000000499593415．00000000634846715．00000000324751815．00000000183367815．000000001112781530．00000090787381030．00000538823901430．00000021929713529．99999994576583330．00000001269693330．00000000649504030．00000000366735630．000000002225555620．00000060522925720．00000354017558420．00000014619227419．99999996304008220．00000000846462020．00000000433002320．00000000244490620．000000001483706717．00000051477016817．00000387983922717．00000012435824016．99999998176381817．00000000719492717．00000000368051517．00000000207817017．000000001261150816．00000048501888016．00000439194948016．00000011719736016．00000000214090416．00000000677169616．00000000346401716．00000000195593016．000000001186965910．00000030334633310．00000282177882310．00000007330943710．00000000829580510．00000000423231010．00000000216501310．00000000122245310．000000000741853

表4 不同加窗插值FFT算法的相位的測量結(jié)果
Tab.4 Phase of measured results corresponding to different window interpolation FFT algorithms

諧波次數(shù)Hanning窗函數(shù)Hamming窗函數(shù)Blackman窗函數(shù)Blackman?Harris窗函數(shù)5項余弦窗函數(shù)6項余弦窗函數(shù)7項余弦窗函數(shù)8項余弦窗函數(shù)1150．0000185893350150．0047781706550150．0000009522580149．9995643713359150．0000000153427150．0000000035204150．0000000010162150．00000000034782120．0000325598955119．9811590830788120．0000068525453120．0017218505611120．0000000153424120．0000000035203120．0000000010227120．0000000003478390．00004349365656089．96905390813967090．00001148461948090．00282322846435090．00000001534254090．00000000352028090．00000000102600090．000000000347700460．00004045690534659．98077391511049060．00001021640926560．00176728777829060．00000001534293060．00000000352068060．00000000102315060．000000000348130530．00002648636847330．00437865851673530．00000431612241429．99960966903164230．00000001534294530．00000000352074330．00000000101649230．000000000347956640．00003158725359039．99667910125114040．00000647238196040．00031695520855040．00000001534231040．00000000352009040．00000000101817040．000000000347484720．00002175175588820．01066295846106020．00000231282711719．99902976134120020．00000001534323220．00000000352097720．00000000101489320．000000000348140810．00001795448168010．01479057152726410．0000007041226029．99864719719642610．00000001534236710．00000000352016910．00000000101298910．00000000034753595．0000165565279755．0158827515515425．0000001109301794．9985454477174325．0000000153422335．0000000035200735．0000000010126645．000000000347527

通過仿真，由表3至表6可知，加8項余弦窗算法得到的頻率、幅值、相位結(jié)果比加其他窗函數(shù)得到的結(jié)果精度高.加8項余弦窗的算法與加7項余弦窗的算法相比，加8項余弦窗的加窗插值算法的幅值精度比加7項余弦窗算法精度提高了1個數(shù)量級；對于相位精度而言，加8項余弦窗插值算法的精度比加7項的算法精度提高了1個數(shù)量級.加8項余弦窗的算法與加6項余弦窗的算法相比，加8項余弦窗的加窗插值算法的幅值精度比加6項余弦窗的算法的精度提高了1個數(shù)量級；對于相位精度而言，加8項余弦窗插值算法的精度比加6項的檢測精度高.加8項余弦窗的算法與加5項余弦窗的算法相比，加8項余弦窗的加窗插值算法的幅值精度比加5項余弦窗的算法提高了2個數(shù)量級；對于相位精度而言，加8項余弦窗插值算法的精度比加5項余弦窗算法的精度提高了2個數(shù)量級.加8項余弦窗的算法與加Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗的算法相比，加8項余弦窗的加窗插值算法的幅值精度比加這些余弦窗的算法精度至少提高了3個數(shù)量級；對于相位精度而言，加8項余弦窗插值算法的精度比加Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗檢測精度至少提高了3個數(shù)量級.這表明加8項余弦窗插值算法能夠有效地減小柵欄效應帶來的電網(wǎng)諧波檢測的誤差，提高信號參數(shù)(頻率 幅值 相位)的檢測精度，適于電網(wǎng)諧波高精度檢測.

4 結(jié)束語

本文通過分析不同余弦窗函數(shù)的旁瓣特性，結(jié)合四譜線插值算法對電網(wǎng)諧波進行了分析處理，導出了加8項余弦窗的四譜線插值的頻率、相位、幅值的修正公式.本文利用MATLAB軟件進行仿真，并與加其他窗函數(shù)的算法相對比，采用本文算法得到的諧波信號參數(shù)的結(jié)果的精度更高而且計算量小，具有較快的計算速度.

表5 不同加窗插值算法的幅值相對誤差比較
Tab.5 Relative errors comparison of amplitude using different window interpolation algorithms

諧波次數(shù)123456789Hanning窗1．85893350×10-33．25598955×10-34．34936565×10-34．04569053×10-32．64863684×10-33．15872535×10-32．17517558×10-31．79544816×10-31．65565279×10-3Hamming窗4．77817065×10-1-1．88409169-3．09460918-1．92260844．37865851-3．320898741．066295841．479057151．58827515Blackman窗9．52258005×10-56．85254529×10-41．14846194×10-51．02164092×10-34．31612241×10-46．47238196×10-42．31282711×10-47．04122602×10-51．10930178×10-5Blackman-HarrIs-4．35628664×10-21．72185056×10-12．82322846×10-11．76728777×10-1-3．90330968×10-23．16955208×10-2-9．70238658×10-2-1．35280280×10-1-1．45455228×10-15項余弦窗1．53426924×10-61．53423940×10-61．53425361×10-61．53429269×10-61．53429446×10-61．53423087×10-61．53432324×10-61．53423673×10-61．53422332×10-66項余弦窗3．52039819×10-73．52029871×10-73．52028450×10-73．52068241×10-73．52074280×10-73．52009266×10-73．52097728×10-73．52016904×10-73．52007312×10-77項余弦窗1．01618979×10-71．02269837×10-71．02599528×10-71．02315311×10-71．01649177×10-71．01817221×10-71．01489305×10-71．01298880×10-71．01266373×10-78項余弦窗3．47796458×10-83．47796458×10-83．47696982×10-83．48130413×10-83．47956330×10-83．47483819×10-83．48141071×10-83．47535333×10-83．47527340×10-8

表6 不同加窗插值算法的相位相對誤差比較
Tab.6 Relative errors comparison of phase using different window interpolation algorithms

諧波次數(shù)123456789Hanning窗1．2392890×10-32．71332462×10-34．83262850×10-36．74281755×10-38．82878949×10-37．89681339×10-31．08758779×10-41．79544816×10-43．31130559×10-4Hamming窗3．1854471×10-3-1．57007641×10-2-3．43845465×10-2-3．20434748×10-21．45955283×10-2-8．30224687×10-35．33147923×10-21．479057152×10-13．17655031×10-1Blackman窗6．3483867×10-75．71045441×10-61．27606883×10-51．70273487×10-51．43870747×10-51．61809549×10-51．15641355×10-57．04122602×10-62．21860357×10-6Blackman-HarrIs窗-2．904910×10-41．43487546×10-33．13692051×10-32．94547963×10-3-1．30110322×10-37．92388021×10-4-4．85119329×10-3-1．35280280×10-2-2．90910456×10-25項余弦窗1．0228461×10-81．27853283×10-81．70472623×10-82．55715448×10-85．11431489×10-83．83557718×10-87．67161623×10-81．53423673×10-73．06844665×10-76項余弦窗2．34693213×10-92．93358226×10-93．91142723×10-95．86780402×10-91．17358093×10-88．80023165×10-91．76048864×10-83．52016904×10-87．04014624×10-87項余弦窗6．7745986×10-108．5224864×10-101．13999476×10-91．70525519×10-93．38830593×10-92．54543053×10-95．07446529×10-91．01298880×10-82．02532746×10-88項余弦窗2．3186430×10-102．8983038×10-103．8632998×10-105．8021735×10-101．15985443×10-98．68709548×10-91．74070535×10-93．47535333×10-96．95054680×10-9

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