李 松 楊詩怡 張峰峰 孫立寧

1.蘇州大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘇州，2150002.蘇州大學(xué)蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心,蘇州,215123

0 引言

全世界每年因腫瘤死亡的人數(shù)持續(xù)上升，而我國因惡性腫瘤而導(dǎo)致死亡的概率在世界上處于較高水平，目前已經(jīng)成為城市居民的第一死因[1]。目前，治療腫瘤的三種主要方法為手術(shù)、放射和藥物治療[2]。隨著放療技術(shù)和設(shè)備的發(fā)展以及人們對腫瘤認(rèn)識的不斷深入，放射治療已成為治療惡性腫瘤的主要手段之一[3]。目前國外的治療床大多數(shù)為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，只能實(shí)現(xiàn)3個方向的移動，各個關(guān)節(jié)誤差的積累導(dǎo)致定位精度較低，且無法達(dá)到精確放療的治療效果[4-7]，因此，提高放療床的定位精度具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。

本文研究的6-HTRT構(gòu)型放射治療床為多支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于各個支鏈都存在加工和裝配誤差，直接導(dǎo)致該機(jī)構(gòu)末端的定位精度不高。為了提高放療床的絕對定位精度，就需要對機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)辨識以實(shí)現(xiàn)標(biāo)定。DAZRODRGUEZ等[8]運(yùn)用加權(quán)最小二乘法，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行了參數(shù)辨識；THANH等[9]提出了一種基于直接搜索技術(shù)的動力學(xué)參數(shù)辨識方法；CHEN等[10]提出了一種基于準(zhǔn)牛頓法與粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)辨識方法。這些參數(shù)辨識方法往往需要知道系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，具有很大的局限性，而傳統(tǒng)的遺傳算法雖然不依賴于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，但具有收斂速度慢和早熟的缺點(diǎn)。

針對以上問題，本文提出了一種遺傳算法與最小最大算法相結(jié)合的參數(shù)辨識方法。通過測量機(jī)構(gòu)的位姿信息，建立機(jī)構(gòu)的標(biāo)定模型，再利用激光跟蹤儀測得的并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際位姿來對模型進(jìn)行辨識，并用辨識出的參數(shù)對各運(yùn)動控制器中的理論運(yùn)動距離進(jìn)行修改，最后通過絕對定位精度實(shí)驗(yàn)和重復(fù)定位精度實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文參數(shù)辨識方法的可行性。

1 標(biāo)定模型的建立

1.1 放療床結(jié)構(gòu)

圖1為放療床實(shí)物圖。放療床通過虎克鉸、十字軸、連桿來實(shí)現(xiàn)定平臺與動平臺的連接，并通過絲杠和滑塊實(shí)現(xiàn)動平臺6個自由度的運(yùn)動。圖2所示為放療床坐標(biāo)系。Bi、Pi(i=1，2…，6)分別為定平臺和動平臺的虎克鉸中心點(diǎn)。在B點(diǎn)建立基座坐標(biāo)系Bxyz，簡計為{B}，在P點(diǎn)建立與動平臺固連的坐標(biāo)系PxPyPzP，簡計為{P}，兩坐標(biāo)系z軸均與初始狀態(tài)下的動定平臺垂直，x軸與動定平臺平行，y軸與導(dǎo)軌平行。

圖1 6-HTRT放射治療床Fig.1 Radiotherapy bed of 6-HTRT

圖2 放療床坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of radiotherapy bed

1.2 測量方法和待標(biāo)定參數(shù)的選取

由于在加工和安裝過程中存在誤差，故放療床在運(yùn)動時無法達(dá)到理想位置，因此，需要對其進(jìn)行標(biāo)定，以實(shí)現(xiàn)精確放療。

本文中對放療床的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定使用了外部標(biāo)定法，即利用激光跟蹤儀來獲取動平臺上點(diǎn)的坐標(biāo)，以計算出位置和姿態(tài)。在建立放療床標(biāo)定模型時，通過對放療床進(jìn)行誤差分析，將影響放療床末端位姿的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)考慮進(jìn)來。對于每條支鏈考慮如下影響因素：基座坐標(biāo)系中定平臺虎克鉸中心點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)值x、y、z；動平臺坐標(biāo)系中動平臺虎克鉸中心點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)值x、y、z；連桿兩端的虎克鉸中心點(diǎn)之間的距離即連桿長度l；基座坐標(biāo)系中對應(yīng)滑塊的單位方向矢量的坐標(biāo)值x、y、z。由于各支鏈均有10個待辨識參數(shù)，故放療床6條支鏈共計有60個待辨識參數(shù)。

1.3 基于運(yùn)動學(xué)逆解的標(biāo)定模型建立

將對放療床動平臺位姿誤差影響最大的60個待辨識參數(shù)運(yùn)用于待建立的運(yùn)動學(xué)逆解標(biāo)定模型中，并需要在放療床的工作空間內(nèi)選取一些待標(biāo)定的位姿點(diǎn)，將激光跟蹤儀測得的位姿代入標(biāo)定模型中，就可以得到60個待辨識的參數(shù)。

當(dāng)動平臺處于任意位姿時，基座坐標(biāo)系中動平臺虎克鉸中心點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為

BPi=BQPPPi+P

(1)

即具體表達(dá)式為

(2)

當(dāng)放療床處于一個給定的空間位姿時，考慮單個支鏈的坐標(biāo)，可以得到表達(dá)式如下：

(BPix-hiai-BB0ix)2+(BPiy-hibi-BB0iy)2+
(BPiz-hici-BB0iz)2-|li|2=0

(3)

i=1,2,…,6

式中,BPi=(BPix、BPiy、BPiz)為基座坐標(biāo)系{B}下動平臺鉸鏈中心點(diǎn)Pi的坐標(biāo)值；BQP為繞基座坐標(biāo)系x、y、z軸順次轉(zhuǎn)動θx、θy、θz得到的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；PPi為動平臺虎克鉸中心點(diǎn)Pi的矢量描述；P為動平臺坐標(biāo)系{P}下動平臺鉸鏈點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)；BB0ix、BB0iy、BB0iz分別為初始狀態(tài)在基座坐標(biāo)系{B}中第i條支鏈定平臺虎克鉸中心點(diǎn)的坐標(biāo)值；hi為沿導(dǎo)軌移動的距離，可從電機(jī)編碼器讀??；li為第i根連桿的方向向量，li=BPi-BBi；(ai,bi,ci)為基座坐標(biāo)系中導(dǎo)軌的單位方向矢量。

想要求出60個待辨識參數(shù)，理論上只需給定10個放療床工作空間內(nèi)的位姿點(diǎn)即可。但實(shí)際上，由于標(biāo)定模型中的方程組是多元且非線性的，且該并聯(lián)機(jī)構(gòu)為多輸入、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，想要準(zhǔn)確辨識出放療床真實(shí)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，只給出10個工作空間內(nèi)的位姿點(diǎn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此在實(shí)驗(yàn)中需要給定更多的位姿，通過求解非線性超定方程組來尋求待辨識參數(shù)的最優(yōu)解。

2 參數(shù)辨識方法

要實(shí)現(xiàn)放療床的標(biāo)定，以及提高放療床的定位精度，就要對上述標(biāo)定模型中的60個參數(shù)進(jìn)行辨識，將辨識出的新參數(shù)代入控制器中，以得到與理論位姿差值更小的實(shí)際位姿。本文中的放療床為多輸入、多輸出、強(qiáng)耦合、非線性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。上述建立的誤差模型為多變量的非線性方程組[11]，因此，本文中放療床的結(jié)構(gòu)參數(shù)的辨識問題可以等效為非線性方程組最優(yōu)解的求解問題。遺傳算法可以保證各方程殘差總和達(dá)到較小的范圍，可從整體上控制殘差，但不可避免地會有極個別方程產(chǎn)生較大殘差。由此,本文提出一種參數(shù)辨識方法，將遺傳算法與最小最大優(yōu)化方法相結(jié)合，可在控制單個方程殘差較小的情況下減小整體殘差，使所辨識出的參數(shù)更接近于真實(shí)值，從而有效提高放療床的精度。

2.1 遺傳算法與最小最大優(yōu)化法相結(jié)合的參數(shù)辨識方法

應(yīng)用傳統(tǒng)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化的一個關(guān)鍵問題在于適應(yīng)度函數(shù)的選取。當(dāng)給定一空間位姿時，設(shè)定機(jī)構(gòu)的約束方程為[12-13]

(4)

為了構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，現(xiàn)將式(3)進(jìn)行變形：

(5)

在式(5)中代入動坐標(biāo)系中動平臺虎克鉸中心點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到

(6)

通過使用激光跟蹤儀測量動平臺上靶球的位姿數(shù)據(jù)，可得到動平臺運(yùn)動到不同空間位姿時，式(6)中相應(yīng)點(diǎn)的θx、θy、θz和(Px,Py,Pz)T的值。

對放療床的各個分支構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

(7)

式中,ρi為目標(biāo)函數(shù)中各方程所占權(quán)值，這里設(shè)置為1；n為選取標(biāo)定點(diǎn)的數(shù)量。

雖然上述方法辨識出來的參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)殘差最小的優(yōu)化目標(biāo)，但仍存在極個別方程殘差較大的情況。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性質(zhì)導(dǎo)致其每一個參數(shù)都可能對放療床的整體精度產(chǎn)生很大的影響。為了改進(jìn)遺傳算法存在的不足，需要將每個方程的單獨(dú)殘差控制在一定范圍內(nèi)，故采用了最小最大優(yōu)化方法,即控制所有方程的殘差中絕對值最大的單獨(dú)殘差fij，使其最小化，可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)如下：

Q=min max(|fij|)

(8)

i=1,2,…,6j=1,2,…,n

最后，用MATLAB對上述問題進(jìn)行優(yōu)化，將上一步遺傳算法中所得辨識值作為Fminimax函數(shù)的初值，對單個殘差方程限制了其殘差的最大值。將遺傳算法與最小最大優(yōu)化方法的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，可以將標(biāo)定后的誤差控制在較小范圍內(nèi)，提高放療床的整體精度。

2.2 誤差補(bǔ)償模型建立

在得到放療床的實(shí)際模型參數(shù)之后，可以對放療床標(biāo)定模型的參數(shù)進(jìn)行修正。基座坐標(biāo)系中各滑塊對應(yīng)導(dǎo)軌的單位矢量滿足如下關(guān)系：

(9)

原方程組通過變形可以得到6個關(guān)于hi的二元一次方程：

(10)

令

將辨識出的60個模型的實(shí)際參數(shù)代入式(10)，由于絲杠行程受到限制，因此只有其中一組解能夠滿足要求，即

(11)

式(11)為放療床實(shí)際逆解模型。通過代入放療床在工作空間內(nèi)的理論位姿后，經(jīng)計算可使放療床按照修正后的電機(jī)實(shí)際輸入值進(jìn)行運(yùn)動，最后，通過激光跟蹤儀可計算出放療床實(shí)際位姿與理論位姿的差值，并進(jìn)行精度驗(yàn)證[14]。

2.3 標(biāo)定參數(shù)求解

標(biāo)定算法是基于運(yùn)動學(xué)逆解建立的，因此，求解待辨識參數(shù)時，需要測量放療床的實(shí)際位姿，同時可以通過伺服電機(jī)的編碼器得到機(jī)構(gòu)6個滑塊沿導(dǎo)軌方向的實(shí)際移動量。

本文將待辨識量的理論值作為初值，用上述基于遺傳算法與最小最大優(yōu)化法相結(jié)合的參數(shù)辨識方法對實(shí)際的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了辨識，如表1所示。經(jīng)辨識后的參數(shù)如表2所示，表中各參數(shù)的單位均為mm。

表1 待辨識參數(shù)理論值Tab.1 Theoretical value of parameters to be identified mm

表2 辨識后參數(shù)值Tab.2 Parameters after identified mm

3 標(biāo)定結(jié)果驗(yàn)證

3.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺

圖3所示為標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺，由放療床、激光跟蹤儀、控制柜組成，通過測量靶座坐標(biāo)可以得到動平臺的位姿數(shù)據(jù)。

圖3 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺Fig.3 Calibration experiment platform

為了對理論分析進(jìn)行驗(yàn)證，在標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺的工作空間內(nèi)任意選取若干組位姿點(diǎn)，分別測量參數(shù)修正前后放療床的位姿數(shù)據(jù)，將參數(shù)修正前后測得的數(shù)據(jù)與理論值進(jìn)行對比，用來對標(biāo)定理論進(jìn)行驗(yàn)證。另外，進(jìn)行了重復(fù)定位位置精度實(shí)驗(yàn)，對放療床標(biāo)定前后位姿重復(fù)性位置精度進(jìn)行了測量，以進(jìn)一步驗(yàn)證參數(shù)辨識方法的正確性。

3.2 空間位姿點(diǎn)絕對定位精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證定位精度，在放療床的工作空間內(nèi)任意選取16組空間位姿點(diǎn)，針對放療床x、y、z三個方向的移動和θx、θy、θz三個方向的轉(zhuǎn)動進(jìn)行了標(biāo)定前后誤差的測量和比較。使放療床運(yùn)動到16組位姿點(diǎn)，將測得的各位姿與理論值對比，得到標(biāo)定前后放療床沿各個自由度的誤差,如圖4所示。由圖4可以看出，經(jīng)過標(biāo)定后16組任意位姿下放療床的絕對定位精度有了很大的提高，沿著x、y、z三個方向的誤差小于0.3 mm，繞x、y、z各軸的轉(zhuǎn)角誤差小于0.1°。由此，使用遺傳算法與最小最大優(yōu)化算法相結(jié)合的參數(shù)辨識方法對參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，可有效提高放療床的整體定位精度。

(a)x方向位置誤差標(biāo)定前后對比 (b)y方向位置誤差標(biāo)定前后對比 (c)z方向位置誤差標(biāo)定前后對比

(d)θx姿態(tài)誤差標(biāo)定前后對比 (e)θy姿態(tài)誤差標(biāo)定前后對比 (f)θz姿態(tài)誤差標(biāo)定前后對比圖4 16組任意位姿標(biāo)定前后各自由度誤差對比Fig.4 Error comparison of the degree of freedom before and after calibration for 16 free-position

3.3 放療床重復(fù)定位位置精度測量

衡量放療床性能的另一項(xiàng)重要指標(biāo)是重復(fù)定位位置精度。選取上述16組任意位姿中的第1組，在同樣的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中使放療床重復(fù)運(yùn)動到指定位姿點(diǎn)15次，使用激光跟蹤儀測得每次放療床的實(shí)際位姿，以第一次的位姿點(diǎn)為基準(zhǔn)，可得到位置誤差分布如圖5所示。

由圖5可以看出，重復(fù)定位位置精度沿x軸方向小于0.002 5 mm，沿y軸方向小于0.002 mm，沿z軸方向小于0.003 mm，該精度可滿足實(shí)際使用中對放療床的精度要求，上述參數(shù)辨識方法得到了進(jìn)一步驗(yàn)證。

由于載荷不同而導(dǎo)致零件具有不同的變形量，對放療床的定位精度也會有一定的影響，因此還需要對治療床進(jìn)行剛度分析。當(dāng)施加不同載荷時，可以將其等效為作用在動平臺中心的力和力矩，根據(jù)力的大小和范圍進(jìn)行分組，按組分別建立補(bǔ)償模型。以上工作將在以后的研究中進(jìn)行，以提高放療床在不同載荷下的定位精度。

4 結(jié)論

為了使六自由度放療床達(dá)到精確放療的治療效果，本文基于運(yùn)動學(xué)逆解建立了放療床的標(biāo)定模型，并提出了遺傳算法與最小最大優(yōu)化方法相結(jié)合的參數(shù)辨識方法，然后建立了誤差補(bǔ)償模型，實(shí)現(xiàn)了對控制器中參數(shù)的補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過標(biāo)定后放療床的絕對定位精度位置誤差小于0.3 mm，姿態(tài)誤差小于0.1°,而重復(fù)定位位置誤差小于0.01 mm，滿足指標(biāo)要求。

(a)x軸方向重復(fù)定位位置精度

(b)y軸方向重復(fù)定位位置精度

(c)z軸方向重復(fù)定位位置精度圖5 放療床重復(fù)定位位置精度Fig.5 Repetitive location accuracy of radiotherapy bed

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