王新剛 張 恒 王寶艷 皇甫一樊

東北大學(xué)機(jī)械動力學(xué)與可靠性研究中心，秦皇島,066004

0 引言

端齒盤是數(shù)控機(jī)床刀架系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件，其分度精度決定刀架的轉(zhuǎn)位精度，進(jìn)而影響機(jī)床的加工精度。國內(nèi)外眾多學(xué)者雖然對數(shù)控機(jī)床的可靠性進(jìn)行了大量的研究，并證明了數(shù)控機(jī)床失效時間的數(shù)據(jù)分布類型滿足威布爾分布或指數(shù)分布[1-5]，但目前對動力伺服刀架端齒盤分度精度可靠性靈敏度技術(shù)的研究還比較少。文獻(xiàn)[6]通過對端齒盤齒根輪廓曲線的優(yōu)化，提出了一種提高端齒盤可靠性的設(shè)計方法。文獻(xiàn)[7]對端齒盤齒廓形狀的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，對端齒盤齒面輪廓方程進(jìn)行推導(dǎo)，并對端齒盤的加工過程進(jìn)行了計算機(jī)仿真分析。文獻(xiàn)[8]對多齒分度臺的互研過程進(jìn)行建模和仿真，給出了齒盤分度誤差的形成機(jī)理及多種換位方法對于齒盤分度誤差的影響。目前國內(nèi)外學(xué)者對提高端齒盤可靠性的研究主要通過分析其工作機(jī)理、齒面接觸強(qiáng)度以及設(shè)計更加合理的幾何參數(shù)來實(shí)現(xiàn)。本文對端齒盤中的加工誤差和齒厚的磨損誤差進(jìn)行分析，建立端齒盤分度精度可靠性的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用攝動法和可靠性設(shè)計理論，結(jié)合靈敏度技術(shù)給出端齒盤的可靠度及可靠性靈敏度的計算方法。

1 齒盤誤差分析

加工誤差和齒厚的磨損誤差對端齒盤的分度精度影響很大。本文結(jié)合幾類常見的齒盤加工誤差和端齒盤齒厚磨損誤差進(jìn)行端齒盤的分度精度誤差分析。

1.1 齒厚磨損誤差

齒厚誤差是實(shí)際齒厚和標(biāo)準(zhǔn)齒厚的差值。齒厚誤差會隨著端齒盤在加載和卸載過程的累積作用時間的增加而逐漸增大。端齒盤的齒厚磨損是由端齒盤兩齒面接觸部分的相對滑動引起的，如圖1所示。根據(jù)磨損理論，這種磨損屬于黏著磨損。本文采用改進(jìn)后的Archard方程來計算齒厚這一隨機(jī)參量的磨損量。用A表示端齒盤在鎖緊并加載或剛要卸載的過程中兩嚙合齒的表面接觸區(qū)域面積，則端齒盤一個齒的磨損深度

(1)

式中，K為線性磨損量；F為摩擦副元素之間的法向載荷；L為零件間的相對滑動距離；H為較軟材料的屈服極限值。

圖1 齒厚誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of tooth thickness error

在動力伺服刀架的鎖緊并加載或松開的過程中，兩接觸齒面會產(chǎn)生彈性變形和相對滑動。兩接觸齒面的壓力

F=AEε

(2)

式中，ε為應(yīng)變；E為彈性模量。

在動力伺服刀架加工工件的加載過程結(jié)束或剛要卸載時，由于端齒盤除受鎖緊力外還會受到切向力的作用，所以對接觸齒進(jìn)行受力分析可得壓力

(3)

式中，F(xiàn)y為端齒盤鎖緊力；Fτ為切向力；z為端齒盤齒數(shù)；γ為壓力角。

在端齒盤受載過程中，定齒盤齒厚的正常變形

(4)

鎖緊齒盤齒厚的正常變形

(5)

式中，s1為定齒盤齒厚；s2為鎖緊齒盤齒厚。

在端齒盤受載過程中，兩個端齒盤總的相對滑動距離

(6)

參照文獻(xiàn)[9]的方法可以得到端齒盤一個加載或松開的工作過程中總的齒厚磨損量

(7)

(8)

所以由端齒盤齒厚磨損所產(chǎn)生的分度誤差

(9)

式中，d為端齒盤外徑。

1.2 齒向誤差

理論齒向線和實(shí)際齒向線間的轉(zhuǎn)角為齒向誤差。圖2所示(從節(jié)平面將齒盤剖開)為端齒盤節(jié)平面上的齒向誤差情況。

圖2 齒向誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of tooth direction error

由文獻(xiàn)[10-11]可得由齒向誤差引起的分度誤差

(10)

式中，b為齒寬；Δβ為齒盤接觸齒面齒向誤差。

1.3 齒形半角誤差

端齒盤實(shí)際齒形半角和標(biāo)準(zhǔn)齒形半角的偏差為齒形半角誤差，用Δα/2表示。如圖3所示，設(shè)端齒盤嚙合時左右齒盤的齒中線彼此對準(zhǔn)，左齒盤的齒為標(biāo)準(zhǔn)齒形半角，右齒盤的齒有齒形半角誤差Δα/2，標(biāo)準(zhǔn)齒形角為θ。由文獻(xiàn)[10-11]可得由齒形半角誤差引起的分度誤差

(11)

式中，h為齒的工作高度。

圖3 齒形半角誤差示意圖Fig.3 Schematic diagram of half angle error of tooth

1.4 齒盤總的分度誤差

由齒盤的齒厚磨損誤差、齒向誤差、齒形半角誤差可以得到齒盤總的分度誤差

(12)

2 齒盤分度精度可靠性設(shè)計

齒盤的分度誤差需在允許范圍內(nèi)，即

|Δφ|≤τ

(13)

式中，τ為端齒盤允許分度誤差。

為了使端齒盤分度時滿足上述要求，端齒盤分度誤差所對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)分別為

gu(X,t)=τ-Δφ(X,t)

(14)

gm(X,t)=τ+Δφ(X,t)

(15)

將齒盤分度時的分度精度可靠性可分為兩種狀態(tài)進(jìn)行研究，即當(dāng)齒盤的分度誤差滿足Δφ≥-τ時的可靠度Rm和齒盤的分度誤差滿足Δφ≤τ時的可靠度Ru，然后可以求出齒盤總的分度精度可靠度

R=Rm+Ru-1

(16)

由于篇幅所限，本文只討論齒盤的分度誤差滿足Δφ≤τ時的可靠度。由式(12)及上述分析可得動力伺服刀架端齒盤分度誤差極限狀態(tài)方程：

(17)

基本隨機(jī)變量的向量X=(Fy,Fτ,γ,A,s1,s2,b,Δβ,d,h,Δα/2)T。運(yùn)用二階矩和攝動方法[12-13]，對刀架齒盤進(jìn)行可靠性設(shè)計。對應(yīng)于輸出分量Δφ的可靠度可以定義為

(18)

(19)

式中，fX(X,t)為基本隨機(jī)參數(shù)向量X的聯(lián)合概率度函數(shù)；gu(X,t)為狀態(tài)函數(shù)，可表示動力伺服刀架端齒盤分度精度的兩種狀態(tài)。

動力伺服刀架端齒盤分度誤差極限狀態(tài)函數(shù)的均值方差可以做如下定義。將隨機(jī)參量向量X和狀態(tài)函數(shù)gu(X)表示為

X=Xd+εXr

(20)

gu(X,t)=gud(X,t)+εgur(X,t)

(21)

式中，ε為一個小參數(shù)；下標(biāo)r表示隨機(jī)參量中的隨機(jī)部分，且其具有零均值；下標(biāo)d表示隨機(jī)參量中的確定部分。

對式(20)、式(21)求數(shù)學(xué)期望可得

(22)

(23)

同理，可對隨機(jī)參量向量X和狀態(tài)函數(shù)gu(X)取方差，并根據(jù)隨機(jī)分析理論[14]可得

(24)

var(gu(X,t))=E((gu(X,t)-E(gu(X,t)))[2])=
ε2E((gur(X,t))[2])

(25)

其中，var(X)為隨機(jī)參量的方差矩陣，((X-E(X))[2]=(X-E(X))?(X-E(X))，為Kronecker冪，符號?為Kronecker積。根據(jù)矩陣值函數(shù)和隨機(jī)向量值的Taylor展開式，可以把gur(X)在E(X)=Xd處展開到一階為止，有

(26)

把式(26)代入式(25)中可得

(27)

基本隨機(jī)變量的均值E(X)和方差var(X)是已知的，可以得到可靠性指標(biāo)

(28)

利用可靠性指標(biāo)βu可以得到動力伺服刀架端齒盤的分度精度可靠度

Ru=Φ(βu)

(29)

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

3 端齒盤的可靠性靈敏度設(shè)計

動力伺服刀架端齒盤分度精度可靠度對其基本參數(shù)向量的均值和方差的靈敏度[15]為

(30)

(31)

式中，ψ(βu(t))為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；In為n×n維的單位矩陣；Un×n為n2×n2維的矩陣。

把已知條件和可靠度計算結(jié)果代入式(30)和式(31)，可以獲得可靠度Ru對基本隨機(jī)變量X的均值和方差的靈敏度矩陣。

4 數(shù)值算例

某型號的刀架齒盤各參量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下：允許精度誤差τ=2.7142×10-3rad，齒數(shù)z=24，線性磨損量K=4.5×10-4,較軟材料的屈服極限值H=685 MPa,彈性模量E=206 GPa, 嚙合齒表面接觸區(qū)域面積A=(148.46，0.74)mm2(括號里為該量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以下類同),端齒盤鎖緊力Fy=(56520，282.6)N, 切向力Fτ=(2215.4，21.1)N,壓力角γ=(0.52，0.0028)rad，定齒盤齒厚s1=(6.98，0.035)mm,鎖緊齒盤齒厚s2=(17.22，0.086)mm,端齒盤的標(biāo)準(zhǔn)齒形角θ=0.52 rad,齒寬b=(0.07，3.5×10-5)m，齒盤外徑d=(0.140，1.1×10-4)m，接觸齒面齒向角誤差Δβ=(0，0.0013)rad，齒形半角誤差Δα/2=(0，0.0026)rad，齒的工作高度h=(7.5，0.0375)mm。

將齒盤各結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)據(jù)代入式(28)、式(29)可得圖4所示的動力伺服刀架端齒盤的分度精度的動態(tài)可靠性曲線。從圖4中可以看出，端齒盤的分度精度可靠度隨加載和卸載過程的累積作用時間的增加而逐漸降低。

圖4 動力伺服刀架端齒盤分度精度可靠度曲線Fig.4 Indexing accuracy reliability curve of the end-toothed disc of power servo tool rest

由于可靠度是隨著時間不斷變化的，所以可靠度對各參數(shù)的靈敏度也應(yīng)該是一個隨著時間變化的動態(tài)量。由式(30)、式(31)可以得到圖5、圖6所示的各設(shè)計參數(shù)向量的均值和方差的靈敏度動態(tài)曲線。

由圖5可以看出，一些基本參數(shù)向量的均值靈敏度始終是小于零的，這些參數(shù)包括鎖緊力Fy、切向力Fτ、定齒盤齒厚s1、鎖緊齒盤齒厚s2、接觸齒面齒向誤差Δβ、齒形半角誤差Δα/2。隨著動力伺服刀架加載和卸載過程作用時間的累積，這幾個基本參數(shù)向量的靈敏度具有先減小后增大的趨勢。基本隨機(jī)參數(shù)向量齒寬b和齒的工作高度h的均值靈敏度為零，這與其均值有關(guān)。其他基本參數(shù)向量的均值靈敏度都是先減小到負(fù)的最大，后逐漸增加到正的最大，最后減小到零。由圖6可以看出，基本隨機(jī)參數(shù)齒寬b和齒的工作高度h的方差靈敏度一直為零，而其他基本參數(shù)的方差靈敏度都是先減小到負(fù)的最大，后逐漸增加到正的最大，最后減小到零。

通過上述分析可將一些基本參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以提高齒盤的分度精度可靠性。受實(shí)際的加工條件、刀架及刀具結(jié)構(gòu)的限制，經(jīng)可靠性優(yōu)化設(shè)計后，嚙合齒表面接觸區(qū)域面積A=(158.23，0.74)mm2，齒向誤差Δβ=(0，0.00085)rad，定齒盤齒厚s1=(6.56，0.035)mm, 鎖緊齒盤齒厚s2=(16.32，0.086)mm。得到圖7所示優(yōu)化后的可靠度變化規(guī)律。從圖7中可以看到，優(yōu)化后的齒盤的分度精度在有效使用壽命內(nèi)的可靠度較原來有所提高。

5 結(jié)論

(1)受端齒盤加工誤差和齒厚磨損誤差的影響，動力伺服刀架分度精度可靠度隨加載和卸載過程的累積作用時間的增加有逐漸減小的趨勢。

(a)Fy (b)Fτ (c)γ (d)A

(e)s1 (f)s2 (g)b (h)Δβ

(i)d (j)h (k)Δα/2 圖5 端齒盤各隨機(jī)變量期望的分度精度可靠性靈敏度曲線Fig.5 Indexing accuracy reliability sensitivity curve of the random variables’ mean of the end-toothed disc

(a)Fy (b)Fτ (c)γ (d)A

(e)s1 (f)s2 (g)b (h)Δβ

(i)d (j)h (k)Δα/2 圖6 端齒盤各隨機(jī)變量方差的分度精度可靠性靈敏度曲線Fig.6 Indexing accuracy reliability sensitivity curve ofthe random variables’ variance of the end-toothed disc

圖7 動力伺服刀架端齒盤分度精度可靠度曲線Fig.7 Indexing accuracy reliability curve of the end-toothed disc of power servo tool rest

(2)通過對各基本參量的期望和方差的動態(tài)可靠性靈敏度變化曲線進(jìn)行分析可知：在動力伺服刀架端齒盤的設(shè)計或使用過程中可以適當(dāng)減小切向力、鎖緊力、接觸齒面齒向誤差、齒形半角誤差、定齒盤齒厚和鎖緊齒盤齒厚的值來提高分度精度可靠度。通過優(yōu)化嚙合齒表面接觸區(qū)域面積、定齒盤齒厚、鎖緊齒盤齒厚和齒向誤差參數(shù)，可以提高動力伺服刀架分度精度的可靠度。

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