，,*

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072 2. 陜西省空天飛行設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)自主完整性檢測(cè)(Receiver Autonomous Integrity Monitoring,RAIM)技術(shù)已成為航空航天導(dǎo)航系統(tǒng)中的研究熱點(diǎn)，其目的是在導(dǎo)航過程中檢測(cè)出發(fā)生故障的衛(wèi)星，并保障導(dǎo)航定位精度。實(shí)現(xiàn)RAIM主要有基于快照(Snapshot)和基于時(shí)間冗余兩種方法。 Snapshot法利用冗余觀測(cè)量進(jìn)行集合一致性檢驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)故障的檢測(cè)和隔離，主要有奇偶空間法(Parity)和最小二乘殘差法(SSE)[1]。這兩種方法都要求可見星數(shù)量大于4顆才能進(jìn)行衛(wèi)星故障檢測(cè)，已有文獻(xiàn)證明這兩種方法在故障檢測(cè)方面等價(jià)[2]。基于卡爾曼濾波的故障檢測(cè)法已得到廣泛研究[3]，該方法利用時(shí)間冗余去除對(duì)瞬時(shí)可見星數(shù)目要求較多的限制，卻存在依賴準(zhǔn)確系統(tǒng)模型、對(duì)微小故障漏檢誤檢、檢驗(yàn)延遲等問題。

小波分析(Wavelet Analysis)是近20年來發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支。在航空航天領(lǐng)域里，對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)、衛(wèi)星姿控、組合導(dǎo)航等系統(tǒng)的信息處理與分析中也都少量應(yīng)用到了小波分析。值得注意的是小波分析非常適合于分析非平穩(wěn)信號(hào)，是故障診斷中處理信號(hào)較為理想的工具，通過小波分析可以構(gòu)造故障診斷所需的特征或直接提取對(duì)診斷有用的信息[4]。

本文重點(diǎn)針對(duì)基于卡爾曼濾波的故障檢測(cè)法所存在的問題，將小波分析理論應(yīng)用到GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)中，對(duì)GPS接收機(jī)的偽距觀測(cè)信息和位置定位信息進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，通過在不同尺度下的奇異性變化找到信號(hào)突變點(diǎn)來進(jìn)行故障檢測(cè)。與基于卡爾曼濾波的故障檢測(cè)法相比，本文提出的故障檢測(cè)法不僅可以實(shí)現(xiàn)接收機(jī)自主快速、及時(shí)、準(zhǔn)確檢測(cè)出多種模式的衛(wèi)星故障，沒有可見星數(shù)量限制，而且該檢測(cè)方法簡(jiǎn)潔直觀，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

1 基于卡爾曼濾波的衛(wèi)星故障檢 測(cè)法

1.1 GPS系統(tǒng)模型

tk觀測(cè)歷元時(shí)，GPS系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

式中：Xk=[x,y,z,Δt]是k時(shí)刻的狀態(tài)矢量，包括接收機(jī)位置矢量和時(shí)鐘誤差；Φk,k-1為狀態(tài)方程的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Wk-1為系統(tǒng)噪聲矢量。

偽距觀測(cè)方程為：

式中:ρi為觀測(cè)偽距，下標(biāo)i表示第i顆衛(wèi)星；Ri=[(x-xsi)2+(y-ysi)2+(z-zsi)2]1/2為用戶到衛(wèi)星的位置；x,y,z和xsi,ysi,zsi分別為用戶和第i顆衛(wèi)星在地球坐標(biāo)系中的位置；lu為用戶時(shí)鐘誤差對(duì)應(yīng)的距離。將式(2)線性化可得測(cè)量方程為：

式中:Zk為m維觀測(cè)矢量即偽距觀測(cè)量；Vk為觀測(cè)噪聲矢量。Vk和Wk-1為互不相關(guān)的高斯白噪聲序列。

1.2 殘差χ2故障檢測(cè)方法

系統(tǒng)無故障時(shí)，殘差rk是零均值高斯白噪聲；反之存在故障時(shí)，殘差rk均值發(fā)生偏移不再為零。對(duì)殘差rk作二元假設(shè)，即：

式中:μ為殘差rk的均值；Ak為殘差rk的方差。檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造為：

根據(jù)統(tǒng)計(jì)分布理論，當(dāng)無故障時(shí)，λm服從自由度為m的χ2分布，m為觀測(cè)量維數(shù)。設(shè)允許的虛預(yù)警率α，根據(jù)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則，可由χ2分布求出閾值TD。當(dāng)λm

2 基于小波分析的衛(wèi)星故障檢測(cè)法

2.1 小波分析基本理論

“小波”指的均值為零且在頻域內(nèi)能量局部化的函數(shù)，其波形表現(xiàn)為兩端衰減為零的小波形。小波分析的基本思想是用一族小波函數(shù)系表示(逼近)函數(shù)，小波函數(shù)系是通過基本小波Ψ(t)進(jìn)過平移和伸縮得到的，用其變換系數(shù)即可描述原來的函數(shù)[4]?；拘〔é?t)∈L1(R)∩L2(R) 的小波變換定義為：

式中:a為尺度變換參數(shù)，決定小波變換的頻率信息；b為平移變換參數(shù)，決定小波變換的時(shí)域信息?？梢钥闯鲂〔ǚ治黾婢邥r(shí)頻域的特征。對(duì)于信號(hào)f(t)∈L2(R)，其連續(xù)小波變換是將Ψ(t)做平移后，在不同尺度(頻率)下和信號(hào)f(t)作內(nèi)積：

相應(yīng)的重構(gòu)公式為：

2.2 故障判定準(zhǔn)則

GPS衛(wèi)星發(fā)生故障時(shí)往往會(huì)表現(xiàn)為接收機(jī)可測(cè)數(shù)據(jù)即偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)和位置定位數(shù)據(jù)出現(xiàn)局部突變，因此可以將這兩個(gè)數(shù)據(jù)作為被處理信號(hào)，利用小波變換理論處理量測(cè)序列，識(shí)別異常點(diǎn)進(jìn)而判斷是否發(fā)生故障。只需對(duì)一個(gè)方向的定位數(shù)據(jù)進(jìn)行一次小波分析便可實(shí)現(xiàn)對(duì)故障的檢測(cè)；故障隔離則需要對(duì)多顆衛(wèi)星的偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

按照Mallat算法所述，待處理信號(hào)被分解之后，實(shí)質(zhì)上是被分解為一個(gè)低頻分量CM和多尺度下的高頻分量D，這些高頻分量中就包含有信號(hào)局部突變的信息特征即代表故障的發(fā)生，表達(dá)公式如下：

通過小波多尺度分解所得的高頻信號(hào)，實(shí)質(zhì)上可以看成一個(gè)矩陣，其模值為：

這里定義：設(shè)對(duì)任意x∈[x0-h,x0+h]有

|Wf(s,x)|≤|Wf(s,x0)|，s=1,2,…,M， 則稱x0為小波變換在尺度s下的局部極值點(diǎn)。

GPS衛(wèi)星故障發(fā)生時(shí)，表現(xiàn)為被處理信號(hào)的小波變換的模在奇異點(diǎn)出現(xiàn)局部極值。通過正常無故障情況下的局部極值變化范圍可以確定一個(gè)閾值TD，則故障判定準(zhǔn)則為：

式中：k=1,2,…,M;j=0,1,2,…,N-1。

根據(jù)理論分析，可以在高頻分量中確定出現(xiàn)故障時(shí)間段，并利用小波信號(hào)奇異性確定準(zhǔn)確的時(shí)間點(diǎn)[7]。對(duì)于多尺度小波分析，當(dāng)分解尺度增加時(shí)，由于噪聲而引起的小波變換的模極值點(diǎn)迅速減小，信號(hào)自身奇異點(diǎn)的變換模的極大值點(diǎn)得以顯露，因此能夠更加明顯地檢測(cè)出故障的發(fā)生。

3 仿真分析

為了更加真實(shí)仿真GPS導(dǎo)航定位全過程，本文建立了GPS衛(wèi)星星座的全部24顆衛(wèi)星模型，各顆衛(wèi)星軌道參數(shù)已有文獻(xiàn)給出[8]。無論是基于EKF的故障檢測(cè)方法還是基于小波分析的故障檢測(cè)方法都沒有可見星數(shù)目的限制，故本文為保證定位精度采用最佳幾何精度衰減因子(GDOP)方法在多顆可見星中找到4顆最佳星座進(jìn)行導(dǎo)航解算，并在其中一顆星上設(shè)置故障。

設(shè)仿真時(shí)長(zhǎng)為1 000 s，單位步長(zhǎng)為1 s，用戶接收機(jī)安裝于一個(gè)向東作勻速直線運(yùn)動(dòng)的飛行器上，起始經(jīng)度為34.24°，緯度為108.9°，高度為10 000 m，飛行速度為300 m/s。在不同觀測(cè)點(diǎn)上設(shè)置3種故障模式：1)慢變模式，故障發(fā)生時(shí)間為100 s，大小為200×(t-100)m；2)階躍模式，故障發(fā)生時(shí)間為40 s，大小為200 m；3)突變模式，故障發(fā)生時(shí)間為700 s，大小為200 m。圖2給出了故障設(shè)置前后x位置定位誤差的對(duì)比。從圖中可以看出，在未加入故障的情況下，x位置定位誤差穩(wěn)定在20 m范圍內(nèi),沒有波動(dòng)；加入3種故障模式之后，從故障設(shè)置開始點(diǎn)起，定位誤差開始增大，由此可見GPS衛(wèi)星發(fā)生故障時(shí)會(huì)導(dǎo)致接收機(jī)位置定位數(shù)據(jù)出現(xiàn)局部突變。

首先，基于EKF的GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)進(jìn)行了仿真。設(shè)虛預(yù)警率α=0.01，根據(jù)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則得故障檢測(cè)閾值TD=14.9。設(shè)觀測(cè)噪聲均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為30 m。圖3為引入故障后的偽距殘差卡方檢測(cè)量示意。從圖中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)衛(wèi)星發(fā)生故障時(shí)，偽距殘差卡方檢測(cè)量有大幅度的增加，可以檢測(cè)出故障的發(fā)生；但是，當(dāng)慢變故障發(fā)生時(shí)(100 s),出現(xiàn)了嚴(yán)重的檢測(cè)延遲現(xiàn)象，這是因?yàn)槁児收蠈?duì)于系統(tǒng)的影響需要隨著故障量的累積才能顯現(xiàn)出來；故障結(jié)束時(shí)報(bào)警會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，這是由于較大的故障使得濾波器估計(jì)值偏離真實(shí)值較大，需要一定的時(shí)間去恢復(fù)精度。

然后，利用Daubechies小波系選取不同的分解層數(shù)將待檢測(cè)的采樣信號(hào)f(n)分解為高頻分量和低頻分量，圖4為以故障衛(wèi)星偽距測(cè)量數(shù)據(jù)為被處理信號(hào)的仿真結(jié)果，圖5為3種故障模式發(fā)生時(shí)偽距測(cè)量信號(hào)高頻d1層的局部放大，圖6為以x位置定位信息為被處理信號(hào)的仿真結(jié)果。從圖4中偽距測(cè)量信號(hào)的小波分解細(xì)節(jié)和圖6中x位置定位信息的小波分解細(xì)節(jié)都可以清楚地看出：1)低頻分量包含了信號(hào)的基本趨勢(shì)，而高頻分量則在細(xì)節(jié)上顯示出信號(hào)的具體信息特征，更為有效地顯示了信號(hào)的突變情況。2)高頻分量第一層d1及第二層d2數(shù)據(jù)在100 s，400 s，700 s時(shí)發(fā)生了明顯的突變，因此可以及時(shí)準(zhǔn)確地判定故障發(fā)生。3)檢測(cè)延遲現(xiàn)象得到有效改善。4)當(dāng)階躍故障(400 s)和突變故障(700 s)發(fā)生時(shí)，高頻信號(hào)迅速突變；當(dāng)慢變故障發(fā)生時(shí)(100 s)高頻信號(hào)也在緩慢增加，可見通過基于小波分析的故障檢測(cè)法可以及時(shí)、準(zhǔn)確、直觀地檢測(cè)出突變及慢變故障信息。

最后，為了研究不同基本小波對(duì)衛(wèi)星故障檢測(cè)的效果，以重構(gòu)誤差為衡量標(biāo)準(zhǔn)，通過仿真可以得到以兩種基礎(chǔ)小波(Daubechies小波和Symlets小波)對(duì)偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解重構(gòu)之后得到的重構(gòu)誤差。使用Symlets小波為基本小波進(jìn)行小波分解與重構(gòu)，得到其分解重構(gòu)誤差大小為2.855×10-8，該誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于使用Daubechies小波為基本小波得到的重構(gòu)誤差1.874 5×10-11。因此，單從重構(gòu)誤差角度來說，采用以Daubechies小波為基本小波的小波分解更適合于GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)。

4 結(jié)束語

針對(duì)基于卡爾曼濾波的故障檢測(cè)法所存在的問題，本文提出一種基于小波分析的GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)法，通過仿真結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1)使用該方法可以實(shí)現(xiàn)接收機(jī)自主地進(jìn)行多種GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)，對(duì)可見星數(shù)量沒有限制。檢測(cè)效果明顯，檢測(cè)方法簡(jiǎn)潔直觀，易于工程實(shí)現(xiàn)；

2)與基于EKF的GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)方法相比，該方法不依賴數(shù)學(xué)模型，且具有更高的檢驗(yàn)靈敏度，檢驗(yàn)延遲現(xiàn)象得到有效改善，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)突變以檢測(cè)出故障的發(fā)生；

3)該方法不僅對(duì)突變的硬故障有非常好的檢測(cè)效果，對(duì)慢變的軟故障也具有較好的檢測(cè)效果；

4)驗(yàn)證了小波分析在GPS衛(wèi)星故障檢測(cè)中應(yīng)用的可行性，說明完全可將小波分析應(yīng)用到導(dǎo)航系統(tǒng)的自主完整性檢測(cè)中。為了進(jìn)一步提升導(dǎo)航系統(tǒng)的安全穩(wěn)定性，今后需要繼續(xù)研究如何更為科學(xué)合理地選取基本小波和如何劃定分解層這兩個(gè)問題。

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