，,2,*，

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094

近年來(lái)，面對(duì)航空航天等現(xiàn)代工業(yè)高可靠、長(zhǎng)壽命的迫切需求，國(guó)內(nèi)外關(guān)于故障診斷與重構(gòu)技術(shù)的研究已經(jīng)有了巨大發(fā)展[1-4]。憑借實(shí)時(shí)性高、對(duì)輸入信號(hào)要求較低等優(yōu)點(diǎn)，基于觀測(cè)器的故障診斷算法得到了廣泛應(yīng)用。從觀測(cè)器的設(shè)計(jì)原理來(lái)看，目前該類(lèi)故障診斷算法主要有：未知輸入觀測(cè)器法(UIO)[5-6]、自適應(yīng)觀測(cè)器法[7-8]以及H2/H∞魯棒觀測(cè)器法[9]等。而從觀測(cè)器的規(guī)模來(lái)看，該類(lèi)故障診斷算法又可以分為：全維觀測(cè)器法和降維觀測(cè)器法。由于前者計(jì)算量大,響應(yīng)速度慢，在系統(tǒng)較為復(fù)雜且實(shí)時(shí)性要求較高時(shí)，其實(shí)用性遠(yuǎn)不如后者。然而，后者通常需要進(jìn)行矩陣分塊運(yùn)算，當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模較大時(shí)，該項(xiàng)工作十分繁瑣，會(huì)影響診斷算法的響應(yīng)速度[10]。因此，有必要研究無(wú)需進(jìn)行矩陣分塊運(yùn)算的降維觀測(cè)器故障診斷算法。

另一方面，在診斷器設(shè)計(jì)過(guò)程當(dāng)中，非常關(guān)鍵的一步就是觀測(cè)器增益的選取問(wèn)題，現(xiàn)有文獻(xiàn)多采用各類(lèi)不等式進(jìn)行求解[7-8]，由此來(lái)保證診斷結(jié)果的收斂性。然而，收斂并不代表診斷結(jié)果最優(yōu)。文獻(xiàn)[11-12]基于對(duì)偶原理，證明了某系統(tǒng)的(最優(yōu))觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為對(duì)偶系統(tǒng)的(最優(yōu))控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。在上述結(jié)論的指導(dǎo)下，可以進(jìn)一步確定診斷算法的最優(yōu)增益。

此外，實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，常常會(huì)遇到這樣一種情況：雖然不知道真實(shí)的故障何時(shí)發(fā)生、發(fā)生時(shí)幅值為多大，但知道故障的類(lèi)型，對(duì)其變化特性具有一定的認(rèn)知。換言之，這類(lèi)故障的動(dòng)態(tài)特性是已知的，而具體發(fā)生時(shí)刻與初始狀態(tài)未知，需進(jìn)行診斷辨識(shí)得到。

因此，本文針對(duì)一類(lèi)動(dòng)態(tài)特性已知的快變偏差故障，利用正交原理和對(duì)偶原理，設(shè)計(jì)了一種無(wú)需進(jìn)行矩陣分塊運(yùn)算且增益最優(yōu)的基于降維觀測(cè)器的故障診斷算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)故障的最小方差估計(jì)。在此基礎(chǔ)之上，利用診斷結(jié)果對(duì)故障系統(tǒng)進(jìn)行了控制重構(gòu)。最后，通過(guò)數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

假設(shè)m個(gè)執(zhí)行器中有mk個(gè)受故障影響，考慮如下故障系統(tǒng)模型：

式中：x∈Rn、u∈Rm、y∈Rq分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入向量及輸出向量；A、B、C為相應(yīng)維度的常量矩陣；fa∈Rmk為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的故障信號(hào)，不可直接測(cè)量，fai是fa的第i個(gè)分量；bi代表B的第i列，F(xiàn)a是故障執(zhí)行機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的編號(hào)集，F(xiàn)∈Rn×mk由故障執(zhí)行機(jī)構(gòu)編號(hào)對(duì)應(yīng)的bi順序組合而成，即F=[bi],i∈Fa。

這里借鑒文獻(xiàn)[13-14]中的故障模型描述方法，利用一個(gè)“外系統(tǒng)”來(lái)描述動(dòng)態(tài)特性已知的故障fa，具體表示如下：

式中：xfa∈Rr是執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的狀態(tài)向量。Afa和Cfa是適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣。故障的發(fā)生時(shí)刻tf和初始狀態(tài)xfa0是未知的。

上述故障描述方法可用于正弦曲線(xiàn)型故障、斜坡型故障、階躍型故障、發(fā)散型故障、收斂型故障以及其他更一般的持續(xù)型故障，具有廣泛的適用性。

2 故障診斷與重構(gòu)

2.1 故障診斷

下面設(shè)計(jì)一種基于降維擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的故障診斷算法。

(3)

令W11∈Rn×q,W21∈Rr×q,W12∈Rn×(n+r-q)，W22∈Rr×(n+r-q)，構(gòu)造如下降階觀測(cè)器，即故障診斷器：

設(shè)觀測(cè)誤差為：

代入式(4)和式(5)，可得觀測(cè)誤差方程為：

文獻(xiàn)[11-12]基于對(duì)偶原理，論證了(最優(yōu))觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為對(duì)偶系統(tǒng)的(最優(yōu))控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。

式(7)誤差方程的對(duì)偶系統(tǒng)為：

設(shè)：

它可以視為對(duì)偶系統(tǒng)的等效控制輸入，其中LT為等效狀態(tài)反饋增益，則式(8)閉環(huán)系統(tǒng)等價(jià)于：

文獻(xiàn)[12]證明了待觀測(cè)狀態(tài)的線(xiàn)性加權(quán)Txc(t)的估計(jì)方差可轉(zhuǎn)化成如下形式的積分二次型函數(shù)：

J=ψT(t0)S0ψ(t0)+

式中：S0,S∈R(n+r-q)×(n+r-q)和R∈Rq×q分別是正定和半正定矩陣。

(12)

由最優(yōu)控制理論，可以求得式(10)系統(tǒng)在式(12)二次性能指標(biāo)下的最優(yōu)控制律為：

式中：H是下列Riccati矩陣方程的唯一正定解：

對(duì)比式(13)和式(9)，可得最優(yōu)故障診斷器的狀態(tài)反饋增益矩陣L為：

2.2 控制重構(gòu)

基于上述故障診斷結(jié)果，可以設(shè)計(jì)重構(gòu)控制器，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)與故障的隔離。

假設(shè)標(biāo)稱(chēng)模型的控制目標(biāo)是：在規(guī)定任務(wù)時(shí)間tmis內(nèi)，使系統(tǒng)跟蹤到期望模型：

在已經(jīng)診斷出故障的前提下，設(shè)計(jì)相應(yīng)的容錯(cuò)控制律ur(t)以隔離故障?？刹捎霉收涎a(bǔ)償?shù)乃枷?，在?biāo)稱(chēng)控制律un(t)的基礎(chǔ)之上附加故障補(bǔ)償項(xiàng)uξ(t)，即：

這里不妨采用狀態(tài)反饋控制器作為標(biāo)稱(chēng)控制器，即un(t)=-Kx(t)。其中，反饋增益K滿(mǎn)足：

以一般的偽逆法為例，反饋增益K可取為：

由于F=[bi],i∈Fa，所以存在一個(gè)矩陣Ma，使得F=BMa，因此uξ(t)可以設(shè)計(jì)為：

通過(guò)上述故障診斷器和重構(gòu)控制器的構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)了故障系統(tǒng)的主動(dòng)容錯(cuò)控制。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述診斷算法的有效性，這里采用文獻(xiàn)[15]的算例，進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

考慮式(1)描述的含加性時(shí)變故障的線(xiàn)性定常系統(tǒng)，其中的矩陣參數(shù)及初始狀態(tài)如下：

式(2)描述的故障模型參數(shù)矩陣如下：

式(16)所示期望模型的系統(tǒng)矩陣為：

取故障發(fā)生時(shí)刻為：tf=25 s。

預(yù)定任務(wù)完成時(shí)間為：tmis=100 s。

根據(jù)(15)求得故障診斷器的增益矩陣L為：

在以上的參數(shù)條件下，仿真結(jié)果如圖1～圖7所示。

由圖1、圖2可知，系統(tǒng)在25 s時(shí)發(fā)生周期性時(shí)變故障，故障后系統(tǒng)輸出周期性振蕩，不再收斂為零。

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出的測(cè)量，最優(yōu)故障診斷器得到的故障診斷值和真實(shí)值如圖3所示，診斷誤差如圖4所示，可見(jiàn)該故障診斷器可在7 s內(nèi)快速收斂到真實(shí)值，由此驗(yàn)證了診斷器的有效性。

假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生故障后立即進(jìn)行控制重構(gòu)，即tr=tf=25 s，得到重構(gòu)后的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)如圖5所示，可見(jiàn)系統(tǒng)輸出在重構(gòu)控制器的作用下能夠重新收斂于期望值，由此驗(yàn)證了重構(gòu)控制器的有效性。

圖6、圖7為分別在tr1=25 s、tr2=31 s進(jìn)行控制器重構(gòu)的系統(tǒng)輸入輸出響應(yīng)曲線(xiàn)。結(jié)果顯示：雖然盡早地采取重構(gòu)措施，會(huì)降低系統(tǒng)偏差，但需要以更大的控制輸入為代價(jià)，因此重構(gòu)時(shí)刻并非越快越好，需要折衷考慮狀態(tài)偏差與重構(gòu)代價(jià)等多重因素。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用正交原理和對(duì)偶原理，設(shè)計(jì)了一種基于降維觀測(cè)器的最優(yōu)故障診斷算法，在此基礎(chǔ)之上實(shí)現(xiàn)了對(duì)故障系統(tǒng)的控制重構(gòu)。該算法具有如下優(yōu)點(diǎn)：

1)無(wú)需進(jìn)行矩陣分塊運(yùn)算即可對(duì)診斷器進(jìn)行降維，降低了計(jì)算的復(fù)雜性；

2)通過(guò)求解對(duì)偶系統(tǒng)的最優(yōu)控制律，即可確定診斷算法的最優(yōu)增益，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)故障的最小方差估計(jì)。

最后，通過(guò)數(shù)值仿真，得到以下結(jié)論：

1)本文所提最優(yōu)降維故障診斷算法能夠快速有效地估計(jì)出系統(tǒng)故障，給出故障初值與發(fā)生時(shí)刻；

2)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制重構(gòu)并非越早越好，因?yàn)楸M早重構(gòu)雖然會(huì)降低系統(tǒng)偏差，但需要以更大的控制輸入為代價(jià)。

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