福建省福安市第二中學 阮云慶

數(shù)學歸納法是數(shù)學證明中的一種重要方法，其證明過程的兩個步驟缺一不可。通過反復練習與強調(diào)也難以把握這一方法的實質(zhì)，體會其辯證的思想策略和內(nèi)涵。為什么證題時一定要分兩步進行？為什么證了這兩步之后能對無窮多個自然數(shù)結(jié)論成立？學生感到困惑、茫然。除了學生的思維和認識上的局限外，另一個重要原因是教師對教材處理不當引起的。以下談?wù)勛约旱慕虒W實踐與思考。

一、理解數(shù)學歸納法原理的內(nèi)涵

1.數(shù)學歸納法兩個步驟的辯證關(guān)系

數(shù)學歸納法是通過“有限”來解決“無限”的一種遞推證明方法。它的證明有兩個步驟，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者之間的抽象關(guān)系是學生認知的障礙。如何將學生原有的經(jīng)驗轉(zhuǎn)換成適合于新情況所需要的認知結(jié)構(gòu)，一個簡捷的途徑是：將現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)融合新知識，把新知識同化于現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)。因此，我將原理想象成一個游戲模型或多米諾骨牌，將一排錄音磁帶按適當距離豎直排列，以磁帶倒下表示命題正確，推倒第一塊（表示n取第一個值n0時，命題正確），要保證所有的磁帶都倒下（n∈N時命題正確）必須滿足什么條件？每一塊倒下（n=k，k∈N,k≥n0時命題正確），都能保證其后面的一塊倒下（n=k+1時命題正確），從而使數(shù)學歸納法的本質(zhì)直觀化。

2.驗證n取第一個值時命題正確的必要性

由于教師強調(diào)，學生自然認同數(shù)學歸納法的兩個步驟，但對驗證值取第一個值時命題正確的必要性的認識可能還不夠深刻，需要設(shè)計如下式子的證明，幫助學生體會初始值驗證的重要性。

證明：2+4+6+…+2n=n2+n+1(n∈N)。

學生：假設(shè)當n=k時，等式成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1，則當n=k+1時，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1，∴n=k+1時，等式成立。所以對所有的正整數(shù)n，都有等式成立。

學生并沒有認識到遞推基礎(chǔ)的重要性，只知數(shù)學歸納法的步驟，而沒有領(lǐng)悟到原理和實質(zhì)。所以在數(shù)學歸納法的教學實踐中遇到學生種種的錯誤或困難是很正常的。

二、遞推過程中的證題技巧與方法

數(shù)學歸納法應用于五類問題的證明，即恒等式、整除性問題、條件等式、不等式和某些幾何問題的證明，從證題模式看似乎簡單、呆板，其實在遞推過程中體現(xiàn)出的證題技巧、方法和數(shù)學思想，對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和解題能力卻不容置疑。其基本思路是：從歸納假設(shè)出發(fā)，分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系，利用折項、添項、放縮、作差、分析等手段，或從P(k+1)中分離出P(k)再進行局部調(diào)整，也可以考慮尋求二者的“接口”，以便過渡。其中體現(xiàn)了高超的數(shù)學技巧和豐富的數(shù)學思想方法以及對學生的能力要求和教師的教學技能的挑戰(zhàn)。

例1 當n∈N,n≥2時，求證：

證明：（1）當n=2時，不等式成立。

（2）設(shè)n=k時，不等式成立,即則n=k+1時，（學生往往以為“n=k”到“n=k+1”增加一項），∴n=k+1時，不等式成立。

由（1）（2）可知對于任意n∈N(n≥2)，不等式都成立。

三、錯誤辨析的教學環(huán)節(jié)

數(shù)學歸納法的證題步驟學生較易接受，但對原理的理解要靠方法來揭示和解決，巧妙地設(shè)計一些典型的證題錯誤進行辨析，可提高教材實質(zhì)性內(nèi)容的深度，引發(fā)學生在認識上產(chǎn)生適當?shù)摹懊堋焙汀皼_突”，使他們發(fā)覺在理解數(shù)學歸納法時還存在下列不當之處。

證明：（1）當n=1時，結(jié)論正確。

（2）設(shè)n=k時，結(jié)論正確，即成立，則n=k+1時，

當n=k+1時，結(jié)論成立。

所以由（1）（2）可知，對于任意n∈N，都有

上面的解法貌似是數(shù)學歸納法，但第二步驟推理沒有運用n=k時的歸納假設(shè)，這種推理實質(zhì)上是沒有根據(jù)的，缺失傳遞性。

例3 對任意的自然數(shù)n，求證：

證明：（1）當n=1時，不等式顯然成立。

（2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即則n=k+1時,

∴n=k+1時，不等式成立。

由（1）（2）可知，對任意的自然數(shù)n,都有

在第一步驗證n=n0后，數(shù)學歸納法要求第二步所考慮的k必須滿足k≥n0,本題第二步成立要求k≥2,因此必須依次驗證n=1和n=2時不等式成立。

證明:（1）當n=1時，a1=1，所以不等式成立。

（2）假設(shè)n=k時命題正確，即有成立，則n=k+1時，

∴n=k+1命題正確。

所以由（1）（2）知對于任意n∈N，都有命題正確。

分析：上述證明犯了偷換歸納假設(shè)錯誤，假設(shè)當n=k時，與 當n=k+1時中的 不同取值，于是不能將作為歸納假設(shè)進行遞推。由則應用此不等式結(jié)合分析法實施轉(zhuǎn)化才是正理。

4.猜想與證明

數(shù)學命題的論證通常始于不完全歸納，再加以邏輯推理的證明。數(shù)學歸納法從論證的方法上綜合了歸納和演繹，這種通過“觀察—歸納—猜想—證明”發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的方法，是培養(yǎng)學生探索新問題、歸納新方法、培養(yǎng)數(shù)學能力和創(chuàng)新思維的金鑰匙。

猜想：an=2n-1,Sn=n2?？捎脭?shù)學歸納法證明此猜想的正確（證明略）。從特殊到一般也符合人類的認知規(guī)律，合情推理和演繹推理在這兒相得益彰、各領(lǐng)風騷。

數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，學習數(shù)學歸納法的正確途徑是向?qū)W生提出一些必須用數(shù)學歸納法才能解決的問題，迫使他們直觀地去使用這個方法。在學生發(fā)現(xiàn)和懂得了這個方法后，再去幫助他們用抽象形式把它敘述出來。數(shù)學歸納法的教學不簡單，需要師生的默契配合，需要師生數(shù)學素養(yǎng)的提高，需要學生思維能力的有效訓練，數(shù)學教學也需要時間，靜待花開。