■河南省南陽(yáng)市第一中學(xué) 王 策

排列組合、二項(xiàng)式定理知識(shí)結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省南陽(yáng)市第一中學(xué) 王 策

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

本章是高中數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容,也是密切聯(lián)系實(shí)際的一部分。正確區(qū)分和使用兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題的關(guān)鍵。利用分類計(jì)數(shù)原理時(shí),所分的每一類都可以獨(dú)立地解決問題。利用分步計(jì)數(shù)原理時(shí),需要依次完成每一步才能解決問題;仔細(xì)審題,分清允許重復(fù)還是不允許重復(fù),才能正確選擇利用排列還是組合。兩個(gè)基本性質(zhì)(組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì))、兩個(gè)基本公式(排列數(shù)公式和組合數(shù)公式)、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)、兩個(gè)基本規(guī)定(0!=1和C0n=1)是進(jìn)行運(yùn)算的利器。有些復(fù)雜的問題,既要“分類”,又要“分步”,應(yīng)明確按什么標(biāo)準(zhǔn)“分類”、“分步”,不同的標(biāo)準(zhǔn),可以有不同的解法,解題時(shí)應(yīng)擇優(yōu)而行。

(a+b)n其實(shí)就是n個(gè)a+b相乘,在每一個(gè)a+b中選擇a還是選擇b是個(gè)問題,通項(xiàng)公式解決了這個(gè)問題。展開式包含了次數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、順序等諸因素,其中最豐富的是二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),熟練掌握這些基本理論和基本方法是解決二項(xiàng)式問題的基礎(chǔ)。

三、實(shí)例分析

例1 3本相同的小說(shuō)和2本相同的詩(shī)集全部分給4名同學(xué),每名同學(xué)至少1本,則不同的分法有( )。

A.2 4種 B.2 8種 C.3 2種 D.3 6種

解析：把5本書分給4名同學(xué),每名同學(xué)至少1本,那么這4名同學(xué)中有且僅有1名同學(xué)分到2本書。

解法1：分類優(yōu)先。設(shè)3本相同的小說(shuō)都是a,2本相同的詩(shī)集都是b,則1名同學(xué)分到2本書有三類情況:第一類a a、a、b、b,這種情況有);第二類b b、a、a、a,這種情況有第三類a b、a、a、b,這種情況有?？偣灿? 8種。

小結(jié)：解法1明顯優(yōu)于解法2,分步時(shí)如果第一步結(jié)束后造成第二步情況復(fù)雜,那么就可以把第一步轉(zhuǎn)化成不同的類,再整體考慮,從而使解題思路更清晰,更有條理。

解 析 ：Tr+1=令6-2r=2,解得r=2,所以x2的系數(shù)為

小結(jié)：求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng),一般是先化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式,再令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí),指數(shù)為零;求有理項(xiàng)時(shí),指數(shù)為整數(shù)等),最后解出項(xiàng)數(shù)r+1,代回通項(xiàng)公式即可。

例3 中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中,對(duì)同余除法有較深的研究。設(shè)a,b,m(m>0)為整數(shù),若a和b被m除得的余數(shù)相同,則a稱b和對(duì)模m同余,記為a=b(m o dm)。若a=b(m o d 1 0),則b的值可以是( )。

A.20 1 1 B.20 1 5 C.20 1 7 D.20 1 9

解析：因?yàn)閍=(1+2)20=320=910=(1 0-1)10=所以被1 0除得的余數(shù)為1,而20 1 1被1 0除得的余數(shù)是1,故選A。

四、跟蹤練習(xí)

1.《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多,十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩(shī)詞,在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味。若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng),且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有( )。

A.1 4 4種 B.2 8 8種

C.3 6 0種 D.7 2 0種

解析：《將進(jìn)酒》、《望岳》和另確定的兩首詩(shī)詞排列全排列共有A44種,滿足《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面的排法共有種,再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在4個(gè)空里(最后一個(gè)空不排),有種排法,《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有=1 4 4(種),故選A。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)