■河南省南陽市第一中學(xué) 王喜朝

概率統(tǒng)計知識結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省南陽市第一中學(xué) 王喜朝

編者的話：基本知識和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。本期特約河南省南陽市第一中學(xué)王喜朝等幾位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識。河南省南陽市第一中學(xué)是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學(xué)們通過閱讀,能從中感悟知識的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

在大量的不確定數(shù)據(jù)中隱藏著確定性的規(guī)律,這便是概率統(tǒng)計的核心內(nèi)容,人們發(fā)現(xiàn)并利用這些規(guī)律為生產(chǎn)實踐活動服務(wù)則是概率統(tǒng)計的核心價值,概率統(tǒng)計從誕生之日起便帶有很強的應(yīng)用性。統(tǒng)計數(shù)據(jù)需要進行隨機抽樣,進而計算這些數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,并根據(jù)莖葉圖與頻率分布直方圖用樣本去估計總體。數(shù)據(jù)顯示,有些變量之間存在著相關(guān)關(guān)系,人們用列聯(lián)表計算變量的相關(guān)程度,用最小二乘法找到了具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的回歸直線方程。人們還發(fā)現(xiàn)了一些有用的概率模型,掌握了一些隨機變量的分布列及數(shù)字特征。

三、實例分析

1.計數(shù)背景下的概率。

例1 某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū),設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任意4位申請人中:

(Ⅰ)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率;

(Ⅱ)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)ξ的分布列與期望。

分析：這是等可能性事件的概率計算問題,屬古典概型。

解：(Ⅰ)所有可能的申請方式有34種,恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有種,所以恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為

(Ⅱ)ξ的所有可能值為1,2,3。

表1

小結(jié)：(1)計算古典概型的基本事件數(shù)量時要確保彼此是等可能的;(2)求分布列時應(yīng)先弄清變量的所有可能取值,還要注意到概率之和為1。

2.概率模型的直接考查。

例2 根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險相互獨立。

(Ⅰ)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率;

(Ⅱ)X表示該地的1 0 0位車主中,甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù),求X的期望。

分析：計算較復(fù)雜事件的概率常用方法有:(1)將其分成若干互斥事件的和;(2)正難則反,先計算其對立事件的概率。而認(rèn)準(zhǔn)概率模型則往往一擊中的,簡化計算。

解：記A表示事件“該地的1位車主購買甲種保險”;B表示事件“該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險”;C表示事件“該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”;D表示事件“該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買”。

(Ⅰ)P(A)=0.5,P(B)=0.3。因為C=A+B,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8。

小結(jié)：二項分布與超幾何分布的區(qū)別在于,前者是獨立重復(fù)實驗,強調(diào)事件每次發(fā)生的概率不變,而后者則是對有限產(chǎn)品的次品抽查檢驗,是一種典型的古典概型。

3.線性回歸分析。

例3 一臺機器可以按各種不同的轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn),其生產(chǎn)的物件有一些會有問題,每小時生產(chǎn)有問題物件的多寡,隨機器轉(zhuǎn)速而變化,表2中的數(shù)據(jù)是幾次試驗的結(jié)果。那么,當(dāng)轉(zhuǎn)速為1 0 r/s時,是否可以預(yù)知每小時生產(chǎn)有問題物件數(shù)呢?若實際生產(chǎn)中所允許的每小時最大有問題物件數(shù)為1 0,那么機器的轉(zhuǎn)速不得超過多少?

表2

分析：判斷兩個變量是否線性相關(guān),在高中階段主要靠畫散點圖觀察。

解：用x表示機器轉(zhuǎn)速,y表示每小時生產(chǎn)有問題物件數(shù),那么4個樣本數(shù)據(jù)為(8,5)、(1 2,8)、(1 4,9)、(1 6,1 1),畫出散點圖(圖略)觀察可知這四個點大致分布在一條直線上,可以認(rèn)為這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系,于是回歸直線的斜率0.7 2 86,a==,所以所求的回歸直線方程為y=0.7 2 86x-0.8 5 75。

x=1 0時,y≈6.4,即當(dāng)轉(zhuǎn)速為1 0r/s時,可以預(yù)知每小時生產(chǎn)有問題物件數(shù)大約為6.4件;根據(jù)公式y(tǒng)=0.7 2 86x-0.8 5 75,要使y≤1 0,則需要0.7 2 86x-0.8 5 75≤1 0,解得x≤1 4.9 0 19,即機器的轉(zhuǎn)速不能超過1 4.9 0 19r/s。

4.獨立性檢驗。

例4 在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了1 2 4人,其中女性7 0人,男性5 4人。女性中有4 3人主要的休閑方式是看電視,另外2 7人主要的休閑方式是運動;男性中有2 1人主要的休閑方式是看電視,另外3 3人主要的休閑方式是運動。

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表;

(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系。

參考公式及臨界值表(表3)如下:

表3

分析：獨立性檢驗是用調(diào)查數(shù)據(jù)來確定甲、乙兩個事物是否相關(guān)的一種方法,解題關(guān)鍵是要整理出4個數(shù)據(jù),即“甲且乙”,“甲且非乙”,“非甲且乙”,“非甲且非乙”。

解：(1)如表4所示的2×2列聯(lián)表。

表4

因為k≥5.0 2 4,所以有理由認(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”是不合理的,即有9 7.5%的把握認(rèn)為“休閑方式與性別有關(guān)”。

小結(jié)：獨立性檢驗只能得出甲、乙是否相關(guān),以及有多大把握認(rèn)為其相關(guān),但得不出甲發(fā)生時乙發(fā)生的概率。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)