伍 星，馬玉龍，劉海林

(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 昆明 650091)

自同構群的階等于其階兩倍的有限p-群

伍 星，馬玉龍，劉海林

(云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 昆明 650091)

假設G是一個有限非循環(huán)p-群,并且G的階大于p2,如果 |G| 整除 |Aut(G)|,則稱群G為LA-群?？紤]了滿足 2|G|=|Aut(G)| 的有限p-群G,其中p≠2， 分類了滿足這一條件的某些有限p-群類。

有限p-群；LA-群；中心商；中心自同構

1 背景

假設G是一個有限非循環(huán)p-群,并且G的階大于p2,如果 |G| 整除 |Aut(G)|,則稱群G為LA-群。 對LA-群的研究已有很久的歷史。 現(xiàn)在列出關于LA-群的一些結果。 假設G是一個階為pn的有限非循環(huán)p-群,且n>2。如果G滿足下列條件之一，則G是LA-群。

1)G是一個PN-群B和一個交換群P的直積,并且 |B| 整除 |Aut(G)|(見文獻[2]);

2)G的冪零類cl(G)=2(見文獻[4]);

3)G是p-交換p-群(見文獻[5]);

4)p>2,并且G是亞循環(huán)的(見文獻[6]);

5)p>2,并且G/Z(G) 是亞循環(huán)的(見文獻[7]);

6)n≤7(見文獻[89]);

7) |G|≤29(見文獻[10]);

8)p>2,并且G是有限的模p-群(見文獻[11]);

9) Frattini子群Φ(G) 循環(huán)(見文獻[3]);

10)G是一個指數(shù)為p2的循環(huán)子群(見文獻[12]);

11)G是一個極大類p-群(見文獻[2]);

12) 對任意的α∈G/Z(G),αZ(G)?αG(見文獻[13]);

13) |G/Z(G)|≤p4(見文獻[1]);

14)G是余類為2的p-群(見文獻[14])。

此外,在文獻[15] 中,提出了滿足 |Aut(G)|p=|G|的極大類p-群G,其中 |Aut(G)|p表示Aut(G)的Sylow-p子群的階。 再者，滿足|Aut(G)|=|G| 的p-群G在文獻[16] 中被分類。

本文考慮了滿足以下兩個條件的p-群G，其中p≠2：

1) 2|G|=|Aut(G)|;

2)G是極大類的，或者G具有循環(huán)的Frattini子群。

2 預備引理

本節(jié)給出一些必要的預備結果。

對于有限循環(huán)p-群G，已經(jīng)熟知有 |Aut(G)|p=|G|/p。 對于其他的有限交換p-群,有下面的結果。

引理1([15，Theorem 2.3])假設G是一個階為pn的非循環(huán)的交換群，其中n≥4， 則下列事實成立：

1)G滿足 |Aut(G)|p=|G|，當且僅當G是 (n-1,1) 型的；

2)G滿足 |Aut(G)|p=p|G|，當且僅當n=4 并且G是 (2,2) 型的；

3) 其他情形均有 |Aut(G)|p≥p2|G|。

引理2([15，Theorem 3.3])假設G是一個有限的極大類p-群,其階 |G|=pn,其中n>4，則 |Aut(G)|p>|G|。

引理3([15，Theorem 3.4])假設G是一個有限的極大類p-群，則G滿足|Aut(G)|p=|G|，當且僅當G是一個階為p3的非交換群，或者G同構于下列p4階群之一:

1)S81=〈x,y,z|x9=y3=z3=1,[x,y]=x3,[x,z]=y,[y,z]=1〉;

4)S16=〈x,y|x8=y2=1,[x,y]=x2〉。

引理4([16，Proposition 2.5])設G是一個有限的極大類p-群， 則|Aut(G)|=|G|，當且僅當G?D8或者G?S16=〈x,y|x8=y2=1,[x,y]=x2〉。

3 定理證明

Malinowska在文獻[15]中完整地描述了滿足 |Aut(G)|p=|G| 的交換或者極大類的有限p-群G。 下面將分類非循環(huán)p-群G,其滿足下列條件：G是交換的、極大類的,超特殊的或者具有循環(huán)的Frattini子群Φ(G)，并且 2|G|=|Aut(G)|。

定理1 假設G是交換p-群,|G|=pn(n>2,并且p≠2)，則不存在G滿足2|G|=|Aut(G)|。

證明假設G是一個階為pn的交換p-群，并且滿足 2|G|=|Aut(G)|。 但是由引理1有p=2,故與題設矛盾。

下面的命題是文獻[17]的一個結果的推廣。

定理2 假設G是一個階為pn的超特殊p-群， 則不存在G滿足 2|G|=|Aut(G)|。

證明假設G是一個超特殊p-群,并且滿足 2|G|=|Aut(G)|。 假設p是奇素數(shù)，則p-1 整除 |G| 顯然不可能。 從而p=2,與題設矛盾。

定理4 假設G是一個非交換p-群,|G|=pn,并且其Frattini子群Φ(G) 循環(huán)。 如果G滿足 2|G|=|Aut(G)|,則Z(G) 是循環(huán)的,并且有 |G/Z(G)|=p2。

證明由題設可得 |Aut(G)|p=|G|,因此由文獻[3,Theorem 1.1]可知：G?S16,或者Z(G) 循環(huán),并且 |G/Z(G)|=p2。但是由引理4，有 |Aut(S16)|=S16,與題設矛盾，從而定理得證。

[1] DAVITT R M.On the automorphism group of a finitep-group with a small central quotient[J].Can.J.Math,1980,32(5):1168-1176.

[2] OTTO A.Central automorphisms of a finitep-group[J].Duke Math,1966,125(2):280-287.

[3] FOULADI S，JAMALI A R,ORFI R.On the automorphism group of a finitep-group with cyclic Frattini subgroup[J].Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy,2008,108A(2):165-175.

[4] FAUDREE R.A note on the automorphism group of a group[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1968,19(6):1379-1382.

[5] DAVITT R M.The automorphism group of finitep-abelianp-groups Ill[J].Journal of Mathematics,1972,16:76-85.

[6] DAVITT RM.The automorphism group of a finite metacyclicp-group[J].Proc.Am.Math.Soc,1970,25:876-879.

[7] DAVITT R M,OTTO A D.On the automorphism group of a finitep-group with the central quotient metacyclic[J].Proc.Am.Math.Soc,1971,30:467- 472.

[8] EXARCHAKOS T.Onp-group of small order[J].Publ.Inst.Math,1989,45:73-76.

[9] GAVIOLI N.The number of automorphisms of groups of order p 7[J].Proc.Roy.Irish Acad.Sect,1993(A2):177-184.

[10] FLYNM J,MACHALE D,O’BRIEN E A O’Brien.Finite groups whose automorphism groups are 2-group[J].Proc.Roy.Irish Acad.Sect,1994(A2):137-145.

[11] DAVITT RM,OTTO A.On the automorphism group of a finite modularp-group[J].Proc Am Math Soc,1972,35:399- 404.

[12] XIAO C C.A conjecture on the automorphism group of a finitep-group[J].Rend Circ Mat Palermo Suppl,1990(23):347-351.

[13] YADAV M K.On automorphisms of finitep-groups[J].J.Group Th,2007,10:859-866.

[14] FOULADI S,JAMALI A R,ORFI R.Automorphism groups of finitep-groups of coclass 2[J].J Group Th,2007(10):437- 440.

[15] MALINOWSKA I.Finite p-groups with fewp-automorphisms[J].J Group Th,2001(4):395- 400.

[16] ATTAR M S.On equality of order of a finitep-group and order of its automorphism group[J].Bull Malays Math Sci Soc,2015,38:461- 466.

[17] WINTER D L.The automorphism group of an extraspecialp-group[J].Rocky Mt J Math,1972,2(2):159-168.

AFinitep-GroupWhoseOrderofItsAutomorphismGroupisEqualtoTwiceItsOrder

WU Xing, MA Yulong, LIU Hailin

(School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming 650091, China)

LetGis a finite noncyclicp-group of order greater thanp2. If |G| divides |Aut(G)|, thenGis called a LA-group. The purpose of this paper was to considerp-groupsGfor which 2|G|=|Aut(G)|, wherep≠2. We classify groups satisfying this condition among those in certain classes of finitep-groups.

finitep-group; LA-group; central quotient; central automorphism

2017-05-20

國家自然科學基金資助項目(11301468,11231008); 云南省自然科學基金資助項目(2013FB001)；云南大學第八屆研究生科研創(chuàng)新項目

伍星，碩士研究生，主要從事有限群、代數(shù)圖論研究；通訊作者 劉海林，男，碩士，主要從事有限群、代數(shù)圖論研究，E-mail：hailinliuqp@163.com。

伍星，馬玉龍，劉海林.自同構群的階等于其階兩倍的有限p-群[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(12):189-191.

formatWU Xing, MA Yulong, LIU Hailin.A Finitep-Group Whose Order of Its Automorphism Group is Equal to Twice Its Order[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(12):189-191.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.12.032

O152.1

A

1674-8425(2017)12-0189-03

(責任編輯楊黎麗)