孫紅妍, 豐 華，宋福陶

(哈爾濱師范大學(xué))

非倍測(cè)度下局部Ap權(quán)的性質(zhì)

孫紅妍, 豐 華，宋福陶

(哈爾濱師范大學(xué))

文獻(xiàn)[1]介紹了經(jīng)典Ap權(quán)的定義, 隨后文獻(xiàn)[2]介紹了局部Ap權(quán)的定義, 最后在文獻(xiàn)[3]-[5]中了解到非倍測(cè)度的定義和倍測(cè)度下的局部Ap權(quán)的很多性質(zhì)的證明. 給出了可測(cè)度量空間中非倍測(cè)度下局部Ap權(quán)的性質(zhì), 并且特別證明了非倍測(cè)度下局部Ap權(quán)性質(zhì)是和方體邊長(zhǎng)的限制常數(shù)無關(guān)的.

非倍測(cè)度; 局部Ap權(quán); 反H?lder不等式

0 引言

1972年, Muckenhoupt[1]在討論Hardy-Littlewood極大算子有界性時(shí)開創(chuàng)了Ap權(quán)理論.

定義1[1]設(shè)w≥0,w∈Lloc(Rn),10,使得對(duì)所有的方體Q都有:

則稱w∈Ap.若存在常數(shù)C>0,使得對(duì)所有的方體Q都有:

則稱w∈A1.

自從Muckenhoupt給出了Ap權(quán)定義后, 權(quán)理論便得到了廣泛的關(guān)注, 學(xué)者們開始考慮算子在不同空間以及不同測(cè)度下的加權(quán)有界性, 在討論奇異積分有界性時(shí)曾多次用到一個(gè)初等的事實(shí):|2Q|=2n|Q|, 因此為了得到類似的結(jié)論, 常常假設(shè)μ具有倍測(cè)度性質(zhì), 即存在常數(shù)D,使得對(duì)所有的方體Q都有:μ(2Q)≤Dμ(Q).

2010年, Lin和Stempak[2]定義了Rn(n≥1)中的局部Ap權(quán).

定義2[2]設(shè)00, 使得對(duì)所有的方體Q∈Ok都有：

在2002年,Orobitg和Pe′rez[3]給出了非倍測(cè)度的定義以及在此測(cè)度下Ap權(quán)的定義和性質(zhì). 并且定義了一個(gè)d維的Borel測(cè)度μ, 使得它不具有倍測(cè)度的性質(zhì), 即:μ(B(x,r))≤rd,x∈Rn,r>0.

定義3[4]設(shè)w是測(cè)度空間(Rn,μ)上的非負(fù)局部可積函數(shù), 對(duì)于00, 使得對(duì)所有的方體Q∈Ok都有：

其中C僅與p,k和w的非倍測(cè)度下局部k-Ap權(quán)常數(shù)有關(guān).

1 主要結(jié)果

另一方面,

其中C>0.

類似的有

以及

(i)設(shè)D=Q∩{x:|f(x)|=0},μ(D)=0,則有：

證明

(e)存在常數(shù)C1,C2>0, 使得對(duì)?Q∈Ok有：

(f)存在常數(shù)C1,C2>0, 使得對(duì)?Q∈Ok有：

當(dāng)p=1時(shí), 顯然.

因此, 有：

(g)存在常數(shù)C1,C2>0, 使得對(duì)?Q∈Ok有：

當(dāng)p=1時(shí), 由定義可知：

其中M表示非倍測(cè)度下H-L極大算子.

當(dāng)p>1時(shí), 有下列不等式

(h)存在常數(shù)C1，C2>0, 使得對(duì)?Q∈Ok有

則有

α2>1, 則有

取α=min{α1,α2}, 則有

[1] Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function[J]. Trans Amer Math Soc, 1972, 165: 207-226.

[2] Lin C C, Stempak K. Local Hardy-Littlewood maximal operator[J]. Math Ann, 2010,4(348): 797-813.

[3] Orobitg J, Pérez C.Apweights for nondoubling measures inRnand applications[J]. Amer Math Soc, 2002, 5(354): 2013-2033.

[4] 豐華. 非倍測(cè)度下的C-Z奇異積分算子在局部權(quán)下的有界性[D].哈爾濱師范大學(xué), 2017.

[5] 鞠娜, 陳建仁.Rd(d≥1)上局部Ap權(quán)的性質(zhì)與反H?lder不等式[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2011,27(3):27.

ThePropertiesofLocalApWeightsonNondoublingMeasures

Sun Hongyan, Feng Hua， Song Futao

(Harbin Normal University)

In this paper, the definition of classicalAprights was introduced through literature[1], then the definition of localAprights was introduced through literature[2]. In the end, the definition of non-double measure and the many properties of localAprights under the double measure were proved. Therefore, the property of the partial power of the measurable measurement space was given, and the localApproperty of the non-double measure is independent of the limit constant of the side length of the square were proved.

Nondoubling measures; LocalApweights; Reverse H?lder ineguality

于達(dá))

O174.12

A

1000-5617(2017)04-0009-05

2017-05-04