吳忠誠，朱家明，鄧卓航

(安徽財經(jīng)大學(xué))

基于PDE模型對我國人口總量的研究與預(yù)測*

吳忠誠，朱家明**，鄧卓航

(安徽財經(jīng)大學(xué))

針對我國人口數(shù)量的增長趨勢，對比并選擇較適宜進行人口預(yù)測的FDE模型.查閱最新統(tǒng)計年鑒數(shù)據(jù)，依據(jù)已有的往年參數(shù)數(shù)據(jù)，使用MATLAB、EXCEL等軟件對模型中的關(guān)鍵參數(shù)值進行預(yù)測，將預(yù)測的未來我國總?cè)丝诘某錾?、死亡率等參?shù)值帶入原假設(shè)的數(shù)學(xué)形式模型中得到最終的可計量PDE模型；根據(jù)官方公示的年末人口總量統(tǒng)計數(shù)據(jù)，使用上述的模型進行迭代求解，達到對我國2017～2030年年末總?cè)丝谶M行預(yù)測的目的.最后對預(yù)測的結(jié)果作出淺要分析.

人口預(yù)測； PDE模型；灰色預(yù)測；Lee-Cater模型；MATLAB

0 引言

中國是目前人口總量最多的國家，人口問題始終是制約我國進一步發(fā)展的關(guān)鍵因素之一.隨著我國逐漸步入老齡化的社會，人口問題成為熱點話題.我國人口數(shù)量與結(jié)構(gòu)的不斷變化，不但顯著的影響了我國未來的經(jīng)濟發(fā)展水平，而且還會帶來一系列機遇和挑戰(zhàn).人口預(yù)測就是根據(jù)現(xiàn)有的人口狀況并考慮影響人口發(fā)展的各種因素，按照科學(xué)的方法，測算在未來某個時間的人口規(guī)模、水平和趨勢.按照預(yù)測所依據(jù)的本質(zhì)不同劃分為兩大類[1]：一、趨勢法：根據(jù)過去人口數(shù)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并假設(shè)今后人口的變化趨勢仍按同樣的函數(shù)曲線發(fā)展，即可估算未來人口的數(shù)量.常用的人口發(fā)展函數(shù)有幾何發(fā)展函數(shù)、指數(shù)發(fā)展函數(shù)、修正指數(shù)發(fā)展函數(shù).這類方法的特點是利用某一確定的數(shù)學(xué)函數(shù)為基礎(chǔ)，因此又稱數(shù)學(xué)方法.其弊端是不考慮數(shù)量變化的本質(zhì)，而僅僅研究過去的數(shù)量變現(xiàn)出來的外在特征進而進行趨勢上的延伸預(yù)測，一旦某些指標值發(fā)生了變化，趨勢發(fā)生改變，這種預(yù)測就會產(chǎn)生較大的誤差.二、因子分析法：這是現(xiàn)代廣泛應(yīng)用的一種預(yù)測法.它要求所研究的人口具有較詳細的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如按年齡和性別的人口數(shù)、出生率、死亡率等方面的資料.根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可對未來出生率、死亡率的變化作出估計，進一步預(yù)測人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)的變化.人口的預(yù)測工作為社會經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃提供重要的信息，也可據(jù)以出臺適應(yīng)時代的生育政策等.因此，人口預(yù)測有著十分重要的意義.該文即采取因子分析法中的一種，利用人口、發(fā)展和環(huán)境三方面的因子構(gòu)建人口-發(fā)展-環(huán)境分析模型[2](PDE)(如圖1所示).按照種群數(shù)量增長理論，選取影響我國人口的出生率、死亡率、遷入率和遷出率作為因子構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)表達式，通過采用幾種已成熟的預(yù)測方法對出生率、死亡率、遷入率與遷出率分別進行預(yù)測估計，將得到的參數(shù)序列值作為相應(yīng)參數(shù)值帶入模型構(gòu)建可計量的PDE模型，最終對我國2017～2030年的人口總量進行合理的預(yù)測.

圖1 PDE模型建立思維導(dǎo)圖

1 數(shù)據(jù)的選取及假設(shè)

該文的數(shù)據(jù)均來源于中國國家統(tǒng)計局，保證了數(shù)據(jù)的真實有效性.為了使得模型在預(yù)測的過程中更加準確和便于研究的進行，就此文章提出以下四條假設(shè)：(1)假設(shè)所查閱和引用的統(tǒng)計數(shù)據(jù)均準確、有效；(2)人口數(shù)量的變化主要影響參數(shù)只有出生、死亡和凈遷入，不考慮其他次要因素；(3)在預(yù)測年限內(nèi)，國內(nèi)不會發(fā)生重大的人口變遷；(4)不考慮大型自然與人為災(zāi)害.

表1 2001～2016年我國人口統(tǒng)計指標值

表1中因官方統(tǒng)計年鑒數(shù)據(jù)僅覆蓋2015年，故2016年的統(tǒng)計指標數(shù)據(jù)無法直接獲取.為了保證數(shù)據(jù)來源的真實可靠，又便于模型的建立，文章借鑒國內(nèi)知名論壇2017年01月對2016年人口的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

2 PED模型數(shù)學(xué)形式的構(gòu)建

2.1 研究思路

人口-發(fā)展-環(huán)境分析模型(PDE)的主要思路認為人口數(shù)量與結(jié)構(gòu)是過去的人口數(shù)量與結(jié)構(gòu)演變的結(jié)果，模型的每個層次的結(jié)果存在遞推的關(guān)系，即第t年末的人口等于t-1年末的人口數(shù)量減去t年當(dāng)年死亡人口數(shù)量，加上該年新出生人口和凈遷入人口數(shù)量(第t年凈遷入人口數(shù)量=第t年遷入人口數(shù)量-第t年遷出人口數(shù)量).首先對模型中參數(shù)進行預(yù)測，隨后依據(jù)往年人口總數(shù)進行迭代推算以達到預(yù)測的目的.

2.2 模型建立

根據(jù)上述的思路可以建立生命周期模型的數(shù)學(xué)式[3]

Pt=Pt-1-Pdt+Pbt+Pit=Pt-1(1-dt+bt)+

Pit=Pt-1(1+n1)+Pit

(1)

模型中符號Pt為第t年總?cè)丝跀?shù)量、Pt-1為第t-1年總?cè)丝跀?shù)量、Pdt為第t年的死亡人口的數(shù)量、Pbt為第t年的出生人口的數(shù)量、Pit為第t年的凈遷入人口的數(shù)量、dt為第t年的人口死亡率、bt為第t年的人口出生率、nt為第t年的人口自然增長率.

3 PED模型參數(shù)的預(yù)測及計量模型建立

3.1 研究思路

根據(jù)上述建立的PDE模型中所涉及到的參數(shù)可知，在進行可計量的模型的建立必須涉及到的參數(shù)有人口基數(shù)Pt-1(第t-1年總?cè)丝跀?shù)量)、第t年我國的凈遷入人口率、該年人口的出生率bt及該年人口的死亡率dt.因此為了得到模型參數(shù)，必須對未來我國人口的出生率、死亡率和經(jīng)遷入人口數(shù)進行合理的估計，并在此基礎(chǔ)之上建立未來人口的預(yù)測模型.

3.2 研究方法

(1)對我國出生率的研究

由表1中的數(shù)據(jù)可知我國的出生率的變化并沒有較為貢獻的外在特征，但是其與時間表現(xiàn)出一定序列相關(guān)性.基于出生率隨著時間的波動關(guān)系，在此對未來的出生率采用灰色系統(tǒng)GM(1,1)[4-5]進行預(yù)測.根據(jù)已給定的原始序列，通過累加生成并求解相應(yīng)的灰色微分方程將序列延續(xù)進行，以達到預(yù)測的目的.運用MATLAB軟件編寫灰色系統(tǒng)程序，以2001～2016年的出生率數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，將預(yù)測長度延續(xù)到2030年，軟件輸出的部分結(jié)果見表2.

表2 灰色預(yù)測各年出生率

采用殘差檢驗[6]、后驗差檢驗和關(guān)聯(lián)度檢驗這三種方法共同對上述灰色系統(tǒng)模擬的精度進行檢驗，檢驗結(jié)果顯示上述的預(yù)測效果較好.

(2)對我國人口死亡率的研究

從表1中可以清晰的看出我國總?cè)丝诘乃劳雎孰S著時間的推移而有逐漸上升的趨勢，由于從改革開放的“鼓勵生育政策”到1971年全面實行計劃生育政策之間的一大批人口正逐漸步入高齡，雖然我國的醫(yī)療水平有著較大幅度的提高，但是也無法改變由于老齡人口巨大的基數(shù)帶來的死亡率.為了較為準確的了解未來我國總?cè)丝诘乃劳雎蕯?shù)據(jù)，此處選用改進后的Lee-Carter模型[7]對死亡率進行預(yù)測.

Lee-Carter模型思路為將死亡率的變化分為時間因子t和年齡因子x兩部分.若用符號mx,t表示年齡為x的人群在時間t的中心死亡率，則有mx,t滿足函數(shù)表達式(2).

ln(mx,t)=αx+βxkt+εx,t

(2)

為了能夠得到唯一的參數(shù)估計值，上述模型于下列必要限制條件(3).

(3)

(4)

對于上述Lee-Carter模型的核心步驟在于使用往年統(tǒng)計的死亡率對模型中的參數(shù)αx,βx,kt進行合理的預(yù)測，參數(shù)的估計方法為極大似然估計法[8](MLE)，隨后將預(yù)測的參數(shù)值帶入公式中繼而進行死亡率的預(yù)測.

通過MATLAB軟件編程對參數(shù)進行預(yù)測，得到相應(yīng)Lee-Carter模型，結(jié)合表1中的2001～2016年的人口死亡率對2017～2030年的我國人口死亡率預(yù)測的結(jié)果見表3.

表3 2017～2030年人口死亡率預(yù)測值

(3)對我國凈遷入率的考慮

查閱官方統(tǒng)計資料顯示，我國每年的凈遷入(出)人口只有幾萬人，而每年新生人口數(shù)量上千萬，所以每年遷入遷出的人口數(shù)量對我國人口的影響作用微乎其微.若將其考慮入模型中進行計算，雖然增加了模型的少量精度，但是會增加較大的數(shù)據(jù)收集、處理、計算的工作量.考慮到模型的相對精簡，在此將模型中凈遷入人口數(shù)Pit剔除，不給予相應(yīng)的考慮.

3.3 研究結(jié)果

通過上述的準備工作，將所得到的數(shù)據(jù)在Excel中依據(jù)公式⑴進行迭代求出最終的預(yù)測結(jié)果見表4.

表4 我國2017-2030年人口總數(shù)預(yù)測值

繪制實測2001～2016年和預(yù)測2017～2030年我國的總?cè)丝跀?shù)量如圖2所示.

圖2 我國人口總數(shù)隨時間變化圖

根據(jù)上述人口數(shù)量的時間序列圖可明顯的看出我國人口隨著時間推移而逐漸增長的特征，人口總數(shù)將在2018年末突破14億大關(guān).隨著2016年我國全面放開生育政策之后，人口總數(shù)相對于原來的增長趨勢向上提升了一個層次.

4 結(jié)束語

文章從影響人口因子的方面對我國2017～2030年的人口總數(shù)進行了預(yù)測.文章雖對出生率的預(yù)測進行了優(yōu)度檢驗、對死亡率的預(yù)測使用了Lee-Cater的改進模型，但是由于模型本身存在缺陷會使得預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生一定誤差，故在最終的PDE模型迭代求解過程會對結(jié)果產(chǎn)生相應(yīng)的影響.文章最大的特點在于將我國人口的增長類比于種群的增長，將人口增長歸因于出生率、死亡率的變化，后分別通過不同的模型對因子進行預(yù)測和分析，最終建立起可以計量的模型并通過迭代進行預(yù)測.根據(jù)預(yù)測的結(jié)果可以看出2016年存在一個增長節(jié)點，即國家全面實行二胎政策，雖然相比2015年出生率有所增加，但是通過預(yù)測曲線的趨勢擬合后，會削弱這種增長跨度，從而會對預(yù)測產(chǎn)生影響，后期也會逐步進行優(yōu)化.從預(yù)測結(jié)果的整體情況來看，雖然生育政策全面實施，但是人口增長的趨勢整體沒有發(fā)生太大的變化，究其原因筆者認為有以下兩方面[9]：一、雖然政策已經(jīng)放開，但是對于持續(xù)上升的物價和逐漸改變的傳統(tǒng)觀念，越來越多的人從經(jīng)濟和思想水平上已經(jīng)不愿意甚至無能力再生二胎.二、由于我國從改革開放的“鼓勵生育”到“計劃生育”之間的巨大比重的人口正步入并停留在高齡狀態(tài)，盡管近年來我國醫(yī)療水平得到提高，但是人口死亡率仍在緩慢增加.我國即將會迎來一個老齡化浪潮.通過以上對人口的預(yù)測可以得到中國有關(guān)人口參數(shù)的變化趨勢，這對我國進一步制定相關(guān)的人口政策、研究人口經(jīng)濟具有重要的借鑒意義.

[1] 孟令國,李超令,胡廣.基于PDE模型的中國人口結(jié)構(gòu)預(yù)測研究[J].中國人口.資源與環(huán)境,2014(2):132-141.

[2] 宋佩鋒.人口預(yù)測方法比較研究[D].安徽大學(xué),2013.

[3] 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,2014.

[4] 朱登遠,常曉鳳.灰色預(yù)測GM(1,1)模型的Matlab實現(xiàn)[J].河南城建學(xué)院學(xué)報,2013(3):40-46.

[5] 劉樹,王燕,胡鳳閣. 對灰色預(yù)測模型殘差問題的探討[J].統(tǒng)計與決策,2008(1):9-11.

[6] 李志生,劉恒甲.Lee-Carter死亡率模型的估計與應(yīng)用—基于中國人口數(shù)據(jù)的分析[J].中國人口科學(xué),2010(3):46-56，111.

[7] 趙軍圣,莊光明,王增桂. 極大似然估計方法介紹[J].長春理工大學(xué)學(xué)報,2010(6):53-54.

[8] 朱家明,王犁,童金萍,等.我國就業(yè)人數(shù)的主要影響因素及前景預(yù)測[J].數(shù)學(xué)的實踐與識,2010,40(15):12-24.

ThePredictionofPopulationinChinaUsingPDEModel

Wu Zhongcheng, Zhu Jiaming，Deng Zhuohang

(Anhui University of Finance and Economics)

In view of the trend of population growth in China, the FDE model of population prediction is compared and selected. Refer to the latest statistical year book data, according to the existing parameter data of previous years, the use of MATLAB and EXCEL software value to estimate the key parameters, the model will predict the future of China's total population birth rate, mortality and other parameter values into the original hypothesis in the form of mathematical model to get the final can measure the PDE model. According to the official year-end population statistics data, the above models are used for iterative solution to achieve the forecast of China's total population by the end of 2017-2030. Finally, the prediction results are analyzed.

Population prediction; The PDE model; Gray prediction; Lee - Cater model; MATLAB

李家云)

TP391

A

1000-5617(2017)04-0001-05

2017-07-03

*國家自然科學(xué)基金(11601001)；國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計劃(201607581236)

**通訊作者:zhujm1973@163.com