張桂梅 孫曉旭 劉建新 儲(chǔ)珺

基于分?jǐn)?shù)階微分的TV-L1光流模型的圖像配準(zhǔn)方法研究

張桂梅1孫曉旭1劉建新2儲(chǔ)珺1

圖像的非剛性配準(zhǔn)在計(jì)算機(jī)視覺(jué)和醫(yī)學(xué)圖像分析中有著重要的作用.TV-L1(全變分L1范數(shù)、Total variation-L1)光流模型是解決非剛性配準(zhǔn)問(wèn)題的有效方法,但TV-L1光流模型的正則項(xiàng)是一階導(dǎo)數(shù),會(huì)導(dǎo)致紋理特征等具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的信息模糊.針對(duì)該問(wèn)題,將G-L(Grnwald-Letnikov)分?jǐn)?shù)階引入TV-L1光流模型,提出基于G-L分?jǐn)?shù)階微分的TV-L1光流模型,并應(yīng)用原始–對(duì)偶算法求解該模型.新的模型用G-L分?jǐn)?shù)階微分代替正則項(xiàng)中的一階導(dǎo)數(shù),由于分?jǐn)?shù)階微分比整數(shù)階微分具有更好的細(xì)節(jié)描述能力,并能有效地、非線(xiàn)性地保留具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的紋理特征,從而提高圖像的配準(zhǔn)精度.另外,通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出了配準(zhǔn)精度與G-L分?jǐn)?shù)階模板參數(shù)之間的關(guān)系,從而為模板最佳參數(shù)的選取提供了依據(jù).盡管不同類(lèi)型的圖像其最佳參數(shù)是不同的,但是其最佳配準(zhǔn)階次一般在1～2之間.理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明,提出的新模型能夠有效地提高圖像配準(zhǔn)的精度,適合于包含較多弱紋理和弱邊緣信息的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn),該模型是TV-L1光流模型的重要延伸和推廣.

分?jǐn)?shù)階微分,Grnwald-Letnikov,TV-L1模型,光流場(chǎng),弱紋理,非剛性配準(zhǔn)

分?jǐn)?shù)階微積分理論在圖像處理中的應(yīng)用在最近幾年才引起學(xué)者的關(guān)注,越來(lái)越多的學(xué)者把分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用到圖像處理中,并在圖像去噪、圖像增強(qiáng)、小波變換、圖像奇異性特征提取、圖像融合、圖像分割、圖像邊緣提取等方面取得了一些初步成果.文獻(xiàn)[1]認(rèn)為分?jǐn)?shù)階微分算子選擇合適的階次,在增強(qiáng)圖像的過(guò)程中可以大幅提升邊緣和紋理細(xì)節(jié),并且可以非線(xiàn)性保留圖像平滑區(qū)域的紋理信息.文獻(xiàn)[2]利用分?jǐn)?shù)階微分階次在(0,1)區(qū)間時(shí),具有弱導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),利用分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)含弱噪聲的圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè),成功解決了整數(shù)階梯度算子對(duì)噪聲敏感的問(wèn)題,避免了噪聲的影響,準(zhǔn)確檢測(cè)噪聲圖像的邊緣.文獻(xiàn)[3]將分?jǐn)?shù)階積分理論引入圖像去噪,構(gòu)造分?jǐn)?shù)階積分模板對(duì)圖像進(jìn)行濾波去噪,該方法能夠在提高峰值信噪比的同時(shí)更好地保留圖像邊緣和紋理信息.文獻(xiàn)[4]將分?jǐn)?shù)階微積分引入奇異值分解用于人臉識(shí)別,該方法在人臉變化劇烈時(shí)相對(duì)于傳統(tǒng)方法具有更好的分類(lèi)效果.文獻(xiàn)[5]將分?jǐn)?shù)階微分引入全變分模型用于圖像修復(fù)領(lǐng)域,該方法對(duì)空域和頻域損壞的圖像,特別是對(duì)圖像細(xì)節(jié)信息的修復(fù),都具有更好的修復(fù)效果,在提高視覺(jué)效果的同時(shí)還提高了峰值信噪比.文獻(xiàn)[6]將分?jǐn)?shù)階微分引入圖像分割領(lǐng)域,提出一種具有分?jǐn)?shù)階次擬合項(xiàng)的活動(dòng)輪廓模型,分?jǐn)?shù)階擬合項(xiàng)能夠更加準(zhǔn)確地描述圖像,并且對(duì)噪聲具有魯棒性,該方法對(duì)噪聲圖像、醫(yī)學(xué)圖像和紅外圖像都有很好分割效果.受以上文獻(xiàn)啟發(fā),分?jǐn)?shù)階微積分能夠非線(xiàn)性地增強(qiáng)或者保留圖像的紋理細(xì)節(jié)信息,本文將分?jǐn)?shù)階微積分引入圖像配準(zhǔn)領(lǐng)域.

圖像配準(zhǔn)是圖像處理的一個(gè)基本問(wèn)題,用于將不同時(shí)間、不同傳感器、不同視角及不同拍攝條件下獲取的兩幅或者多幅進(jìn)行匹配,目的是尋求一種空間變換,使一幅圖像與另一幅圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)達(dá)到空間上的一致,用以糾正圖像的形變.圖像配準(zhǔn)是近年來(lái)圖像處理領(lǐng)域的研究方向之一,在遙感圖像處理、醫(yī)學(xué)圖像分析,計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.圖像配準(zhǔn)的方法根據(jù)待配準(zhǔn)目標(biāo)的類(lèi)型可以將其分為剛性配準(zhǔn)和非剛性配準(zhǔn).剛性配準(zhǔn)只適用于不存在變形的配準(zhǔn),但現(xiàn)實(shí)生活中大多數(shù)形變是非剛性的,如在醫(yī)學(xué)圖像處理領(lǐng)域,大多數(shù)情況下,人體組織的形變是非剛性的,因而非剛性配準(zhǔn)更具有重要研究意義[7?9].目前最著名的非剛性配準(zhǔn)是基于光流場(chǎng)模型的Demons算法[7?9].其將圖像的配準(zhǔn)過(guò)程可以看作從源圖像流動(dòng)到目標(biāo)圖像的過(guò)程,即配準(zhǔn)所求解的位移場(chǎng)可以看作光流場(chǎng)模型求解的速度場(chǎng),因此可以通過(guò)求解光流場(chǎng)進(jìn)行圖像配準(zhǔn).如文獻(xiàn)[10]提出基于光流場(chǎng)理論的Demons算法,其思想是將配準(zhǔn)看作浮動(dòng)圖像像素點(diǎn)在參考圖像灰度梯度驅(qū)動(dòng)下向參考圖像移動(dòng)的過(guò)程,文獻(xiàn)[11]在經(jīng)典Demons算法基礎(chǔ)上提出了主動(dòng)Demons算法,該算法利用參考圖像和浮動(dòng)圖像的灰度梯度作為共同驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)像素點(diǎn)向?qū)Ψ綄?duì)應(yīng)像素點(diǎn)移動(dòng),配準(zhǔn)精度有所提高,但該類(lèi)算法在圖像灰度均勻及弱紋理區(qū)域配準(zhǔn)精度較低,優(yōu)化易陷入局部最小從而導(dǎo)致配準(zhǔn)速度緩慢.文獻(xiàn)[12]將Horn-Schunck(H-S)光流場(chǎng)模型引入圖像配準(zhǔn),由于Horn-Schunck模型采用的光滑性約束無(wú)法保持圖像的不連續(xù)性,而在醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)中,允許位移場(chǎng)的不連續(xù)性是必要的,如呼吸運(yùn)動(dòng),膈膜產(chǎn)生嚴(yán)重變形,而肋骨仍然是剛性形變,這時(shí)光滑位移場(chǎng)就不足以適用這種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng).另外,Horn-Schunck模型的二次數(shù)據(jù)項(xiàng)對(duì)亮度異常值不具有足夠的魯棒性.針對(duì)上述缺點(diǎn),Pock等[13]提出了基于變分方法的TV-L1(Total variation-L1)光流模型,該模型能夠保持圖像的不連續(xù)性,即在圖像演化過(guò)程中可以有效保持圖像的邊緣等特征信息,而且數(shù)據(jù)項(xiàng)采用光流的L1范數(shù)增強(qiáng)了配準(zhǔn)的魯棒性.文獻(xiàn)[14]則具體描述了文獻(xiàn)[13]方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程.文獻(xiàn)[15]應(yīng)用可變形配準(zhǔn)方法得到比剛性配準(zhǔn)、快速Demons配準(zhǔn)和快速自由形狀配準(zhǔn)算法等更準(zhǔn)確的效果.但是文獻(xiàn)[13?15]對(duì)具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的紋理特征等信息的保持仍然不夠理想.

雖然TV-L1模型相對(duì)H-S模型有了很大提升,能夠在擴(kuò)散過(guò)程中保持邊緣信息,但對(duì)具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的紋理細(xì)節(jié)等信息的保持仍不夠理想,并且在模型最小化過(guò)程中造成計(jì)算上的困難,主要原因是正則項(xiàng)和數(shù)據(jù)項(xiàng)在零點(diǎn)處都不可微,一個(gè)有效的方法是在零點(diǎn)處增加了一個(gè)極小值,然而新引入的項(xiàng)會(huì)造成收斂很慢并且會(huì)模糊位移場(chǎng).本文的研究對(duì)象主要為存在弱邊緣和弱紋理等特征的圖像,如醫(yī)學(xué)圖像,在成像過(guò)程中由于受到電磁環(huán)境,成像設(shè)備,以及人體結(jié)構(gòu)的差異等客觀(guān)因素的影響,會(huì)造成圖像存在弱紋理、弱邊緣,所以要求配準(zhǔn)方法能較好保持圖像的邊緣和紋理特征.而分?jǐn)?shù)階微分算子具有弱導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),通過(guò)合理選擇其階次,可以達(dá)到保持弱邊緣和弱紋理的特性,基于此,本文嘗試將G-L分?jǐn)?shù)階微分理論引入到TV-L1光流模型中,用于圖像的非剛性配準(zhǔn),以提高該模型的配準(zhǔn)精度.

1 基本理論

1.1 Horn-Schunck(H-S)光流場(chǎng)模型[16]

假設(shè)圖像上的像素點(diǎn)(x,y)在t時(shí)刻的灰度值為I(x,y,t),經(jīng)過(guò)較小的Δt時(shí)刻后該點(diǎn)位置為(x+Δx,y+Δy),該點(diǎn)灰度值為I(x+Δx,y+Δy,t+Δt),根據(jù)光流場(chǎng)的亮度恒定假設(shè)得到光流約束方程[16]

即Ixu+Iyv+It=0,其中

在圖像配準(zhǔn)中,只取Δt時(shí)刻前后的兩幀圖像,U=(u,v)T為求解的速度場(chǎng)矢量,即配準(zhǔn)要求解的位移場(chǎng)矢量,但是位移場(chǎng)矢量有兩個(gè)變量,而通過(guò)亮度恒定假設(shè)只能得到一個(gè)約束方程,不足以求解x和y方向的位移u和v,這就是光流場(chǎng)求解的病態(tài)問(wèn)題.因此要求解光流場(chǎng)模型還需對(duì)位移場(chǎng)矢量附加另外的約束.

Horn等創(chuàng)造性地在光流約束的基礎(chǔ)上加上光滑性約束,該約束假設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)速度在大多數(shù)情況下是局部光滑的,特別是目標(biāo)在無(wú)形變的剛性運(yùn)動(dòng)時(shí),各鄰近像素點(diǎn)應(yīng)具有相同的運(yùn)動(dòng)速度,即相鄰點(diǎn)的速度變化率為0,因而將光流場(chǎng)的求解轉(zhuǎn)化為能量泛函極小值問(wèn)題:

第一項(xiàng)為正則項(xiàng),懲罰光流場(chǎng)中大的變化以獲得光滑的速度場(chǎng),第二項(xiàng)為數(shù)據(jù)項(xiàng),即基本光流約束,假設(shè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)前后灰度值不變,λ為正則化參數(shù),是與正則項(xiàng)和數(shù)據(jù)項(xiàng)相關(guān)的一個(gè)權(quán)重參數(shù).

由于H-S模型正則項(xiàng)采用光滑性約束,導(dǎo)致無(wú)法保持位移場(chǎng)的不連續(xù)性,會(huì)在圖像的演化過(guò)程中產(chǎn)生嚴(yán)重模糊而丟失重要信息,數(shù)據(jù)項(xiàng)采用二次項(xiàng)懲罰偏差,對(duì)處理亮度異常值不具有魯棒性.

1.2 TV-L1光流場(chǎng)模型

為了克服Horn-Schunck光流模型的缺點(diǎn),Pock[13]等提出了基于變分方法的TV-L1光流模型,并且由于在實(shí)際問(wèn)題中,光流約束并不會(huì)一直成立,即圖像亮度恒定假設(shè)對(duì)于很多真實(shí)圖像并不適用,如在光照條件變化大,圖像亮度恒定假設(shè)存在較大誤差,Pock等引入變量w對(duì)光流約束加以改進(jìn),通過(guò)w對(duì)光照變化建模得到:

其中,ρ(u,v,w)=Ix(u?u0)+Iy(v?v0)+It+βw,參數(shù)β為光照變化項(xiàng)權(quán)重因子,u0和v0為已知的位移場(chǎng),該模型用非二次正則項(xiàng)|?u|+|?v|替換了H-S模型的正則項(xiàng)|?u|2+|?v|2,并用L1范數(shù)的數(shù)據(jù)項(xiàng)|ρ(u,v,w)|替換了H-S模型的數(shù)據(jù)項(xiàng)(Ixu+Iyv+It)2.雖然與H-S模型相比改動(dòng)較小,但是配準(zhǔn)精度有了很大的提升.首先全變分正則項(xiàng)保持了位移場(chǎng)的不連續(xù)性,在擴(kuò)散過(guò)程中保護(hù)邊緣信息不被模糊,這個(gè)替換后的正則項(xiàng)與與著名的ROF(Rudin、Osher、Fatemi)模型[17]的正則項(xiàng)相同,而ROF模型在具有很好去噪效果的同時(shí)還能保持邊緣信息不被模糊,正是因?yàn)椴捎昧朔嵌握齽t項(xiàng).其次,數(shù)據(jù)項(xiàng)使用穩(wěn)健的L1范數(shù)對(duì)亮度的變化不及H-S模型敏感.

雖然TV-L1模型相對(duì)H-S模型有了很大提升,能夠在擴(kuò)散過(guò)程中保持邊緣信息,但對(duì)具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的紋理細(xì)節(jié)等信息的保持仍不夠理想,并且在模型最小化過(guò)程中導(dǎo)致了計(jì)算上的困難,主要原因是正則項(xiàng)和數(shù)據(jù)項(xiàng)在零點(diǎn)處都不可微,一個(gè)有效的方法是用可微的來(lái)近似替代|?u|,然而,極小值ε會(huì)導(dǎo)致收斂很慢并且會(huì)模糊位移場(chǎng).本文嘗試將分?jǐn)?shù)階微分來(lái)代替TV-L1模型中的一階導(dǎo)數(shù),并采用文獻(xiàn)[18]的方法來(lái)求解基于分?jǐn)?shù)階微分的TV-L1光流場(chǎng)模型.

2 基于G-L分?jǐn)?shù)階微分的TV-L1光流場(chǎng)模型

分?jǐn)?shù)階微積分在17世紀(jì)提出,在19世紀(jì)得到了迅速發(fā)展,期間提出了許多關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的定義,最著名的有R-L(Riemann-Liouville)定義、G-L(Grnwald-Letnikov)定義和Caputo定義.其中G-L和R-L定義在數(shù)值運(yùn)算時(shí)可以轉(zhuǎn)化為卷積積分形式,因此適用于信號(hào)處理領(lǐng)域,而Caputo定義適用于分?jǐn)?shù)階微分方程的初邊值問(wèn)題,多用于實(shí)際工程領(lǐng)域.而G-L定義在計(jì)算時(shí)較R-L定義更加準(zhǔn)確,因此我們從G-L定義出發(fā)推導(dǎo)出本文算法所需要的分?jǐn)?shù)階微分算子,對(duì)TV-L1算法進(jìn)行改進(jìn),用于圖像的非剛性配準(zhǔn).

2.1 離散分?jǐn)?shù)階微分算子

式中,f(x)是實(shí)函數(shù),為廣義二項(xiàng)式系數(shù),Γ(x) 為 Gamma 函數(shù),m為正整數(shù),m值越大,二項(xiàng)式系數(shù)值越趨于0.當(dāng)α=1,m≥2時(shí),cαm=0,式(4)變?yōu)橐浑A差分,即為傳統(tǒng)梯度算子.

為簡(jiǎn)化起見(jiàn),所用圖像尺寸均為N×N 二維矩陣,用X 表示歐幾里得空間RN×N,對(duì)于X 中的任意變量定義X 中的內(nèi)積:

定義矢量空間Y=X×X,分?jǐn)?shù)階梯度算子?αu為矢量空間Y中的一個(gè)矢量:

其中

對(duì)于Y中任意的變量p=(p1,p2),分?jǐn)?shù)階散度算子的離散形式為

定義Y中的內(nèi)積:

容易得到式(5)和式(9)滿(mǎn)足如下性質(zhì):

為方便計(jì)算,本文根據(jù)G-L定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在特定離散情況下與某種卷積積分的離散化形式相同這一個(gè)特點(diǎn),將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為卷積積分的形式.若記卷積核函數(shù)為

則式(7)可看作為式(12)的一個(gè)離散化近似,

這樣算法中涉及分?jǐn)?shù)階微分的運(yùn)算便轉(zhuǎn)化為卷積與相關(guān)運(yùn)算.在具體計(jì)算時(shí),采用4個(gè)方向的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子W1、W2、W3、W4,從而可以控制圖像的上下左右4個(gè)方向的擴(kuò)散程度,W1如圖1所示.其中W1 是沿x負(fù)方向的掩模算子,W2～W4依次順時(shí)針與x負(fù)方向夾角為 90°、180°、270°.

圖1 分?jǐn)?shù)階微分模板Fig.1 Diあerential template

2.2 分?jǐn)?shù)階TV-L1光流場(chǎng)模型

本文將G-L分?jǐn)?shù)階微分引入TV-L1光流模型,代替其中的一階微分,得到分?jǐn)?shù)階TV-L1光流場(chǎng)模型(Fractional TV-L1,記為FTV-L1):

將模型轉(zhuǎn)化為離散形式得到:

其中

參數(shù)α是個(gè)實(shí)數(shù),當(dāng)α=1時(shí),該分?jǐn)?shù)階TV-L1光流場(chǎng)模型即可看作文獻(xiàn)[13]提出的一階TV-L1光流場(chǎng)模型,所以分?jǐn)?shù)階TV-L1光流場(chǎng)模型實(shí)際上是整數(shù)階TV-L1光流場(chǎng)模型的一個(gè)擴(kuò)展和延伸.

2.3 分?jǐn)?shù)階TV-L1模型的求解

文獻(xiàn)[18]提出了有效且準(zhǔn)確的一階原始–對(duì)偶算法來(lái)求解變分問(wèn)題,且證明了以O(shè)(1/N)的速率收斂.本文應(yīng)用文獻(xiàn)[18]的方法求解本文提出的FTV-L1光流場(chǎng)模型.文獻(xiàn)[18]的TV-L1光流模型迭代方法如下:對(duì)于一類(lèi)問(wèn)題的原始形式:

先變換為其的原始–對(duì)偶形式,再進(jìn)行迭代,得到下式:

其中,F?為F的凸共軛.

步驟1.初始化:τ,σ＞0,0=x0.

步驟2.迭代更新xn,yn,n:

分?jǐn)?shù)階TV-L1光流模型的離散形式為

引入對(duì)偶變量p,q,z∈Y,則分?jǐn)?shù)階TV-L1模型的原始–對(duì)偶形式如下:

根據(jù)式(12)的性質(zhì),式(25)可變換為

其中,P,Q,Z分別為變量p,q,z的凸集,定義如下:

式中,‖·‖∞表示無(wú)窮范數(shù):對(duì)‖q‖∞和‖z‖∞同理可得.

凸集P,Q,Z是L2球體內(nèi)的點(diǎn)集,式(26)中函數(shù)δP(p)、δQ(q)和δZ(z)分別為集合P,Q,Z的指示函數(shù),它們的表達(dá)式如下:

由式(21)和(22)知,該迭代方法的關(guān)鍵是求解(I+σ?F?)?1和 (I+τ?G)?1兩個(gè)算子. 對(duì)比式(26)和式(20)可知,F?(p,q,z)= δP(p)+δQ(q)+δZ(z),G(u,v,w)=λ‖ρ(u,v,w)‖1, 下面將應(yīng)用上述迭代方法來(lái)最小化式(15),求解分?jǐn)?shù)階TV-L1模型.具體求解步驟如下:

步驟1.

1)先求解式(21)中的(yn+σKˉxn):

2) 再求解式 (21) 中的 (I+σ?F?)?1,由于F?(p,q,z)為集合P,Q,Z 的指示函數(shù),把集合P,Q,Z內(nèi)的點(diǎn)按歐幾里得距離分別投影至L2球內(nèi):

步驟2.

1)先求解式(22)中的(xn?τK?yn+1):

2)再求解式 (22)中的 (I+τ?G)?1,因?yàn)镚(u,v,w)=λ‖ρ(u,v,w)‖1是L1范數(shù), 而L1范數(shù)是連續(xù)不光滑的,為方便描述,定義ai,j=(?Ii,j,β),|a|2i,j=|?I|2i,j+β2:

步驟3.返回步驟1.

由于FTV-L1光流模型是個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題,光流約束僅對(duì)小位移有效,為了使其對(duì)大位移的情形也適用,本文對(duì)上述模型應(yīng)用從粗到精的配準(zhǔn)策略,避免模型在極小化過(guò)程中陷入局部極小值.具體方法為:取降采樣因子為2,建立高斯圖像金字塔,對(duì)每一層圖像極小化FTV-L1模型(式(15)),求其位移場(chǎng).從最粗一層開(kāi)始,直到最精一層.每一層求得的位移場(chǎng)作為下一層圖像求解的初值.第一層,初始化位移場(chǎng)(u,v)為0,光照變化變量w初始化為0,對(duì)偶變量(p,q,z)初始化為0.對(duì)于每一層金字塔圖像的位移場(chǎng)求解過(guò)程,如上述三個(gè)迭代步驟.由于本文使用4個(gè)方向的分?jǐn)?shù)階微分模板進(jìn)行求導(dǎo)操作,故計(jì)算過(guò)程中關(guān)于位移場(chǎng)(u,v,w)的離散梯度算子及關(guān)于對(duì)偶變量(p,q,z)的離散散度算子變化如下:

用式(33)替代原來(lái)的整數(shù)一階前后差分算法.

2.4 實(shí)驗(yàn)參數(shù)的設(shè)置

本文實(shí)驗(yàn)中迭代次數(shù)取50時(shí),模型已經(jīng)達(dá)到收斂,此處迭代次數(shù)設(shè)置為50是因?yàn)榻?jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在迭代次數(shù)為50時(shí),灰度均方差(Mean square error,MSE)和峰值信噪比(Peak singnal to noise ratio,PSNR)均達(dá)到了收斂,故選擇了迭代次數(shù)為50.如圖2(a)和圖2(b)所示為L(zhǎng)ena圖像的迭代次數(shù)與灰度均方差MSE和峰值信噪比PSNR的關(guān)系曲線(xiàn),在迭代次數(shù)為42時(shí),已達(dá)到了收斂.應(yīng)用其他圖像重復(fù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)迭代次數(shù)均在50次內(nèi)能達(dá)到收斂.

另外還有三個(gè)參數(shù)β、λ和α.β值控制著光照項(xiàng)對(duì)模型的影響,由于本文模型是基于光流強(qiáng)度保持恒定的假設(shè),但實(shí)際情況中,由于光照變化等原因,光流強(qiáng)度往往不會(huì)保持恒定,所以增加β項(xiàng)來(lái)稍微改進(jìn)光流約束項(xiàng),β值應(yīng)取較小值,經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)本文選取β為0.01.

正則化參數(shù)λ是影響著正則項(xiàng)和數(shù)據(jù)項(xiàng)的權(quán)重,由于光流模型的正則項(xiàng)起懲罰光流場(chǎng)中大的變化以獲得平滑光流場(chǎng)的作用,若λ值大,則對(duì)光流約束項(xiàng)的影響越大,即光流約束只要存在一點(diǎn)偏離,都會(huì)導(dǎo)致該泛函發(fā)散;反之,若λ越小,則對(duì)光流約束項(xiàng)的影響越小.總之,λ的大小決定正則化的強(qiáng)度,決定了模型解的傾向,較大的λ傾向于滿(mǎn)足正則項(xiàng)約束,較小的λ傾向于滿(mǎn)足光流約束,本文的λ值則在兩種極端中尋找某種平衡.一般λ值建議在10～100之間,本文經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn),選取λ值為40.

圖2 迭代次數(shù)的選擇Fig.2 Choice of iteration number

下面分析分?jǐn)?shù)階微分階次α的選取,對(duì)于可積函數(shù)f(x),其傅里葉變換為根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì),其階導(dǎo)數(shù)為把階次從整數(shù)階擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階可得:

圖3 分?jǐn)?shù)階微分算子幅頻特性曲線(xiàn)Fig.3 The amplitude-frequency curve of fractional diあerentiator

從圖3可以看出,當(dāng)階次小于1時(shí),與整數(shù)1階相比,分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)中低頻部分的幅值有所提升,而對(duì)高頻部分的幅值則有所壓縮,隨著階次的變大,對(duì)中低頻部分的提升幅度越來(lái)越小,對(duì)高頻部分的壓縮也減弱.當(dāng)階次大于1時(shí),與整數(shù)1階相比,分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)中低頻部分的幅值由提升變成了壓縮,階次越大,壓縮越大,而對(duì)高頻部分的幅值則變成了提升,階次越大,提升越大.當(dāng)階次小于1時(shí),可看作一個(gè)對(duì)中低頻增強(qiáng)放行,對(duì)高頻壓縮放行的濾波器,而當(dāng)階次大于1時(shí),可看作一個(gè)高通濾波器.在圖像處理中,圖像的平滑區(qū)域?qū)?yīng)著信號(hào)的低頻部分,圖像的紋理信息對(duì)應(yīng)著信號(hào)的中低頻部分,圖像的輪廓和噪聲對(duì)應(yīng)著信息的高頻部分,總之根據(jù)實(shí)際圖像處理中目的不同選取不同的階次區(qū)域,而根據(jù)本文模型可知,我們希望阻止中低頻部分通過(guò)濾波器而非放行,從而達(dá)到保持紋理細(xì)節(jié)信息的目的,故階次的合理區(qū)間建議選擇在1～2之間.但針對(duì)不同的圖像,其最佳參數(shù)不相同.分?jǐn)?shù)階微分相對(duì)于整數(shù)階微分的優(yōu)勢(shì)是可以有目的地控制微分后的值大于或者小于整數(shù)階微分后的值,但這是通過(guò)某個(gè)像素點(diǎn)周?chē)谋姸嘞袼攸c(diǎn)共同參與計(jì)算實(shí)現(xiàn)的,若模板寬度過(guò)小,則參與計(jì)算的像素點(diǎn)就少,體現(xiàn)不了分?jǐn)?shù)階微分的優(yōu)勢(shì),但模板取得過(guò)大,又會(huì)起到光滑平均的作用,因此要在兩者之間平衡,需要經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)取得最佳值.所以本文分?jǐn)?shù)階模板中的階次和模板寬度都是通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定,并且對(duì)于不同的圖像,其最佳的參數(shù)都是不同的,需要通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)確定.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文選用標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)圖像Lena和真實(shí)大腦圖像Brain1、Brain2(兩種不同類(lèi)型的)進(jìn)行測(cè)試,如圖4所示.圖4中第一行為參考圖像,第二行為與第一行對(duì)應(yīng)的浮動(dòng)圖像,即變形圖像.為了證明本文方法的有效性,從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)配準(zhǔn)精度.定性評(píng)價(jià)即觀(guān)察視覺(jué)效果,比較配準(zhǔn)后的圖像和原始圖像的差異以及通過(guò)二者差值圖像黑色區(qū)域所占大小來(lái)評(píng)價(jià),定量評(píng)價(jià)則通過(guò)配準(zhǔn)后圖像和原始圖像的灰度均方誤差MSE(Mean square error)和峰值信噪比PSNR(Peak signal to noise ratio)來(lái)評(píng)價(jià).

灰度均方誤差定義如下:

峰值信噪比定義如下:

其中,I1是t時(shí)刻的圖像,即參考圖像,I是經(jīng)過(guò)配準(zhǔn)后的圖像,m×n為像素個(gè)數(shù).理想情況下MSE值應(yīng)為0,表示兩幅圖像同一位置上點(diǎn)的灰度值相同.PSNR值越大越好,表示配準(zhǔn)后圖像越逼近參考圖像.

本文實(shí)驗(yàn)所使用的計(jì)算機(jī)環(huán)境為:Intel Core i3-2130CPU,3.40GHZ,內(nèi)存4GB,操作系統(tǒng)為64位Windows 7.0,程序使用R2012b版Matlab實(shí)現(xiàn).

圖4 實(shí)驗(yàn)圖像(其中第一行為參考圖像,第二行為與參考圖像對(duì)應(yīng)的浮動(dòng)圖像)Fig.4 Experimental images(The fi rst line are reference images,the second line are fl oating images corresponding to reference images)

3.1 標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)圖像實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)選用圖4(a)所示的Lena作為參考圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn),為了證明本文方法有效性,對(duì)Lena圖像進(jìn)行扭曲形變,如圖5(a)所示,Lena圖像頭發(fā)處發(fā)生了明顯扭曲變形.圖5展示了TV-L1算法和本文算法最佳階次配準(zhǔn)的視覺(jué)效果.圖5(b)為T(mén)V-L1算法配準(zhǔn)后的圖像,圖5(c)～(e)分別是本文算法取最佳階次三個(gè)不同的模板寬度所對(duì)應(yīng)的配準(zhǔn)結(jié)果圖,從圖中可得圖5(b)中的Lena圖像眼角處以及頭發(fā)處出現(xiàn)了信息丟失,而對(duì)比本文算法配準(zhǔn)后的配準(zhǔn)圖片圖5(c)、圖5(d)和圖5(e)在對(duì)應(yīng)處效果則要好很多,并未出現(xiàn)明顯信息丟失.圖5(f)是TV-L1算法配準(zhǔn)后的差值圖像(配準(zhǔn)后的圖像與輸入圖像的差值圖像),圖5(h)～(j)是本文算法取最佳分?jǐn)?shù)階階次和三個(gè)不同模板寬度時(shí)所對(duì)應(yīng)的差值圖像.如果兩幅圖像完全配準(zhǔn),理論上其差值圖像應(yīng)該全黑,即表示配準(zhǔn)后圖像與參考圖像相同,所以差值圖像黑色區(qū)域越多越好,通過(guò)對(duì)比可知,圖5(h)～(j)相對(duì)圖5(g)黑色區(qū)域明顯多很多,從而也證明了分?jǐn)?shù)階微分TV-L1配準(zhǔn)算法能夠較好地提高配準(zhǔn)精度.在分?jǐn)?shù)階階次為1.2時(shí),模板寬度k為2(即為5×5)時(shí),配準(zhǔn)效果達(dá)到最佳.但是,對(duì)于不同的圖片,最佳的實(shí)驗(yàn)參數(shù)仍然需要進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)人工選定.

為了得到最佳的模板參數(shù),我們進(jìn)一步進(jìn)行實(shí)驗(yàn),依據(jù)灰度均方誤差MSE和峰值信噪比PSNR來(lái)分析模板的參數(shù)α,k對(duì)配準(zhǔn)的影響.圖6(a)展示了均方誤差(MSE)和階次α與模板寬度k的關(guān)系,MSE值越小表示配準(zhǔn)精度越高,圖6(b)展示了峰值信噪比(PSNR)和階次α與模板寬度k的關(guān)系,PSNR值越大表示配準(zhǔn)精度越高.圖6(a)和圖6(b)中三條曲線(xiàn)分別是在模板大小參數(shù)k取1、2、3時(shí)的MSE值和PSNR值,當(dāng)階次α等于1時(shí),即為T(mén)V-L1算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.為方便觀(guān)察,TVL1算法和本文算法最佳階次下不同模板的MSE值和PSNR值已列在表1和表2中.從圖6(a)中可以看出,MSE最小值并不是在階次α等于1的時(shí)候,階次從0.1開(kāi)始,隨著階次的增大,MSE呈現(xiàn)減小的趨勢(shì),當(dāng)α值在1.2處時(shí),MSE值達(dá)到最小,這是因?yàn)楫?dāng)α小于1時(shí),紋理等中低頻信息丟失,圖像紋理細(xì)節(jié)模糊,導(dǎo)致圖片配準(zhǔn)精度降低,而當(dāng)α大于1時(shí),紋理細(xì)節(jié)信息被阻止通過(guò)濾波器從而達(dá)到保持紋理的效果,但當(dāng)α過(guò)大時(shí),會(huì)導(dǎo)致高頻信號(hào)如邊緣信息模糊,從而配準(zhǔn)精度降低,所以存在一個(gè)最佳階次,使中低頻信號(hào)和高頻信號(hào)達(dá)到一個(gè)平衡,而此次實(shí)驗(yàn)的最佳階次為1.2.圖6(b)中PSNR值最高的階次也不在α為1處,原因同上.通過(guò)實(shí)驗(yàn)得知,在分?jǐn)?shù)階階次α等于1.2,模板寬度k等于2(即為5×5)時(shí),配準(zhǔn)效果達(dá)到最佳.不過(guò),對(duì)于不同的圖片,最佳的實(shí)驗(yàn)參數(shù)仍然需要進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)人工選定.同時(shí)也能得到結(jié)論:一階微分并不能有效地刻畫(huà)位移場(chǎng)中的具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的紋理細(xì)節(jié)等信息,而近年來(lái)的研究也表明分?jǐn)?shù)階微分比整數(shù)階微分具有更好的描述紋理信息能力,所以用分?jǐn)?shù)階微分來(lái)代替整數(shù)階微分在TV-L1算法中的應(yīng)用,能夠獲得更高的配準(zhǔn)精度.

圖5 Lena圖像實(shí)驗(yàn)(第一行為浮動(dòng)圖像和配準(zhǔn)后圖像,第二行為差值圖像.(a)為浮動(dòng)圖像,(b)～(e)為配準(zhǔn)后的圖像;(b)TV-L1方法;(c)本文方法(α=1.2,k=1);(d)本文方法(α=1.2,k=2);(e)本文方法(α=1.2,k=3);(f)～(j)分別為第一行圖像與參考圖像(圖4(a))的差值圖像)Fig.5 Lena image(The fi rst line is fl oating image and registered image,the second line is diあerence image.(a)Floating image,(b)～(e)are registered images,(b)TV-L1,(c)Our method(α =1.2,k=1),(d)Our method(α =1.2,k=2),(e)Our method(α =1.2,k=3),(f)～(j)are diあerence images)

圖6 配準(zhǔn)精度與模板參數(shù)間的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.6 Curve between registration accuracy with mask parameters

3.2 真實(shí)圖像實(shí)驗(yàn)

圖7 Brain1圖像實(shí)驗(yàn)(第一行為浮動(dòng)圖像和配準(zhǔn)后圖像,第二行為差值圖像.(a)為浮動(dòng)圖像,(b)～(e)為配準(zhǔn)后的圖像;(b)TV-L1方法;(c)本文方法(α=1.3,k=1);(d)本文方法(α=1.3,k=2);(e)本文方法(α=1.3,k=3);(f)～(j)分別為第一行圖像與參考圖像(圖4(b))的差值圖像)Fig.7 Brain1 image(The fi rst line is fl oating image and registered image,the second line is diあerence image.(a)Floating image,(b)～(e)are registered images,(b)TV-L1,(c)Our method(α =1.3,k=1),(d)Our method(α =1.3,k=2),(e)Our method(α =1.3,k=3),(f)～(j)are diあerence images)

本次做了兩組實(shí)驗(yàn),選用腦部圖像,如圖4中Brain1和Brain2,將參考圖像與浮動(dòng)圖像配準(zhǔn).該兩組浮動(dòng)圖像相對(duì)于參考圖像只有輕微變形,人眼辨識(shí)已稍顯困難,但通過(guò)參考圖像和浮動(dòng)圖像的差值圖像還是可以看出大量白色區(qū)域存在,如圖7所示.圖7(g)是TV-L1算法配準(zhǔn)后圖像圖7(b)與參考圖像Brain1的差值圖像,圖7(h)、(i)和(j)分別是本文算法不同參數(shù)下的配準(zhǔn)圖像與參考圖像Brain1的差值圖像,通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn),本文算法的差值圖像白色區(qū)域有較大減少,并且當(dāng)α=1.3,k=2時(shí),MSE值達(dá)到最小,PSNR值達(dá)到最大,也證明本文算法相比TV-L1算法具有更高的配準(zhǔn)精度,為了方便觀(guān)察,TV-L1算法和本文算法最佳階次下不同模板的MSE值和PSNR值已列在表1和表2中.同理,為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性,再次選用了Brain2圖像重復(fù)上述實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示和表1及表2所示.多組實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文的配準(zhǔn)方法較原始的TV-L1方法配準(zhǔn)精度得到較大的提高.

圖8 Brain2圖像實(shí)驗(yàn)(第一行為浮動(dòng)圖像和配準(zhǔn)后圖像,第二行為差分圖像.(a)為浮動(dòng)圖像,(b)～(e)為配準(zhǔn)后的圖像;(b)TV-L1方法;(c)本文方法(α=1.3,k=1);(d)本文方法(α=1.3,k=2);(e)本文方法(α=1.3,k=3);(f)～(j)分別為第一行圖像與參考圖像(圖4(c))的差值圖像)Fig.8 Brain2 image.The fi rst line is fl oating image and registered image,the second line is diあerence image((a)lf oating image,(b)～ (e)are registered images,(b)TV-L1,(c)Our method(α =1.3,k=1),(d)Our method(α =1.3,k=2),(e)Our method(α =1.3,k=3),(f)～(j)are diあerence images)

表1 參考圖像和配準(zhǔn)圖像的均方誤差(MSE)Table 1 Mean square error(MSE)of reference image and registered image

表2 峰值信噪比(PSNR)Table 2 Peak signal to noise ratio(PSNR)

4 結(jié)論

將G-L分?jǐn)?shù)階微分引入到TV-L1光流模型中,提出了一種新的基于分?jǐn)?shù)階微分的全變分方法(FTV-L1)來(lái)解決圖像的非剛性配準(zhǔn)問(wèn)題.結(jié)合全變分能量方程的對(duì)偶形式來(lái)極小化FTV-L1光流模型獲得位移場(chǎng).融合G-L分?jǐn)?shù)階的TV-L1光流模型能夠解決圖像灰度均勻,弱紋理區(qū)域配準(zhǔn)結(jié)果中的信息模糊的問(wèn)題,這是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分比整數(shù)階微分具有更好的細(xì)節(jié)描述能力,可以有針對(duì)性地選擇合適的階次對(duì)具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的信息如紋理信息進(jìn)行抑制或者非線(xiàn)性保留,因此可以提高圖像的配準(zhǔn)精度.另外,通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出了配準(zhǔn)精度和階次、模板寬度的關(guān)系,從而為最佳模板參數(shù)的選取提供了依據(jù),盡管不同類(lèi)型的圖像其最佳參數(shù)是不同的,但是其最佳配準(zhǔn)階次一般在1～2之間.理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明,本文的方法可用于弱紋理和弱邊緣圖像的非剛性配準(zhǔn),提高圖像配準(zhǔn)的精度,是TV-L1光流場(chǎng)模型的一個(gè)重要延伸和擴(kuò)展.

但是不同圖像配準(zhǔn)的最佳階次需要不斷測(cè)試,因而是比較耗時(shí)和費(fèi)力的.今后可以研究自適應(yīng)G-L分?jǐn)?shù)階TV-L1的非剛性圖像配準(zhǔn)算法.此外本文的分?jǐn)?shù)微分掩模是二維的,要完成三維圖像的配準(zhǔn),還需將其擴(kuò)展到三維空間.

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Research on TV-L1Optical Flow Model for Image Registration Based on Fractional-order Diあerentiation

ZHANG Gui-Mei1SUN Xiao-Xu1LIU Jian-Xin2CHU Jun1

In computer vision and medical image analysis,non-rigid image registration is a challenging task.TV-L1(Total variation-L1)optical fl ow model has been proved to be an eあective method in the fi eld of non-rigid image registration.It can solve the problem of fuzzy edge caused by smooth displacement fi elds of Horn-Schunck,but its fi rst-order derivative in regularization term leads to fuzzy texture information with weak derivative property.Aiming at the problem,this paper introduces G-L(Grnwald-Letnikov)fractional diあerentiation to TV-L1optical fl ow model,and proposes a new TV-L1optical fl ow model based on fractional diあerentiation,and then fi nds the solution of the model using primal-dual algorithm.In this paper we use Grnwald-Letnikov fractional order diあerential instead of the fi rst-order derivative in the regularization term for its better ability of detail description than fi rst-order′s.Then we purposefully control to retain or inhibit the texture information with weak derivative nature,thus improving the registration accuracy.Experimental results show that the proposed method has a better registration accuracy in registration of texture information with weak derivative,and that it can be considered an important extension and generalization of TV-L1optical fl ow modes.

Fractional diあerential,Grnwald-Letnikov,TV-L1(Total variation-L1)model,optical fl ow,weak texture,non-rigid registration

Zhang Gui-Mei,Sun Xiao-Xu,Liu Jian-Xin,Chu Jun.Research on TV-L1optical fl ow model for image registration based on fractional-order diあerentiation.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2213?2224

2016-04-29 錄用日期2016-10-05

April 29,2016;accepted October 5,2016國(guó)家自然科學(xué)基金(61462065,61661036),江西省自然科學(xué)基金 (20151BAB207036),江西省科技支撐計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(20161BBF60091)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61462065,61661036),Natural Science Foundation of Jiangxi Province(20151BAB207036),and the Key Science and Technology Support Program of Jiangxi Province(20161BBF60091)

本文責(zé)任編委張長(zhǎng)水

Recommended by Associate Editor ZHANG Chang-Shui

1.南昌航空大學(xué)江西省圖像處理與模式識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南昌330063 2.西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院成都610039

1.Key Laboratory of Jiangxi Province for Image Processing and Pattern Recognition,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063 2.School of Mechanical Engineering,Xihua University,Chengdu 610039

張桂梅,孫曉旭,劉建新,儲(chǔ)珺.基于分?jǐn)?shù)階微分的TV-L1光流模型的圖像配準(zhǔn)方法研究.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2017,43(12):2213?2224

DOI10.16383/j.aas.2017.c160367

張桂梅 南昌航空大學(xué)江西省圖像處理與模式識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授.主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺(jué),圖像處理與模式識(shí)別.

E-mail:guimei.zh@163.com

(ZHANGGui-Mei Professor at the Key Laboratory of Jiangxi Province forImage Processing and Pattern Recognition,Nanchang Hangkong University.Her research interest covers computer vision,image processing,and pattern recognition.)

孫曉旭 南昌航空大學(xué)江西省圖像處理與模式識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生.主要研究方向?yàn)閳D像處理與計(jì)算機(jī)視覺(jué).

E-mail:sunxiaoxu@outlook.com

(SUN Xiao-Xu Masterstudent attheKey Laboratory ofJiangxi Province for Image Processing and Pattern Recognition,Nanchang Hangkong University.His research interest covers image processing and computer vision.)

劉建新 西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)閳D像處理與機(jī)器視覺(jué).本文通信作者.

E-mail:jamsonliu@163.com

(LIU Jian-Xin Professor at the School of Mechanical Engineering,Xihua University. His research interest covers image processing and machine vision.Corresponding author of this paper.)

儲(chǔ) 珺 南昌航空大學(xué)江西省圖像處理與模式識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授.主要研究方向?yàn)閳D像處理與計(jì)算機(jī)視覺(jué).

E-mail:chujun99602@163.com

(CHU Jun Professor at the Key Laboratory of Jiangxi Province for Image Processing and Pattern Recognition,Nanchang Hangkong University.Her research interest covers image processing and computer vision.)