陳桐

【摘要】數(shù)形結合是數(shù)學學科中一種重要的數(shù)學思想方法.數(shù)形結合就是數(shù)學語言和圖形之間進行相互轉換，化煩瑣為簡便，化抽象為直觀.本文將通過幾種不同類型的數(shù)學問題來體現(xiàn)數(shù)形結合思想在數(shù)學分析中的應用.

【關鍵詞】數(shù)形結合;數(shù)學思想;極限;定積分

一、數(shù)形結合的歷史發(fā)展

在數(shù)學這一學科中，數(shù)與形是其兩個最根本的概念，數(shù)學主要是因為數(shù)和形的概念得以形成和延續(xù).在出現(xiàn)了數(shù)這一概念的時候，用來表達數(shù)的卻是各種的形.古時候用來計數(shù)的措施也是將抽象的數(shù)轉換成易于理解的圖形.比如，古埃及的象形數(shù)字和中國的算盤等都是應用數(shù)形結合的經(jīng)典例子.從笛卡爾之后，數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系又有了更深層次的發(fā)展.例如，數(shù)學分析中的極限、拉格朗日定理、定積分等都應用了數(shù)形結合.由此可知，現(xiàn)在以及以后數(shù)學的發(fā)展離不開數(shù)形結合的思想并且會一直存在于整個數(shù)學發(fā)展的全過程.

二、數(shù)形結合的研究方法

數(shù)形結合方法在數(shù)學中的運用分為兩個方式：

1.以形助數(shù)：根據(jù)代數(shù)問題畫出所需要的圖形，讓圖形可以正確地表達出問題的數(shù)量關系，數(shù)和形聯(lián)系在一起解決問題.

2.以數(shù)輔形：通過題目給出的圖形進行探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系隱藏在圖形中，然后利用我們學過的知識處理問題.

三、數(shù)形結合在數(shù)學分析中的實際應用

（一）數(shù)形結合在數(shù)學分析概念中的應用

案例1 數(shù)形結合在極限概念中的應用[1]

數(shù)列極限[2]的定義： limn→∞xn=a的ε-N語言為：

ε>0，N∈N+，當n>N時，有|xn-a|<ε.

假如我們直接從數(shù)學語言去理解極限的概念，將很難領悟到其本質，但通過將抽象的定義轉換成圖形則簡單許多，如圖1所示.

即任給a的ε鄰域（a-ε，a+ε），當n>N時，點xn的位置在區(qū)間（a-ε，a+ε）里.

案例2 曲邊梯形的面積——定積分的幾何意義

曲邊梯形是利用曲線y=f（x）（f（x）≥0）以及曲線x=a，x=b和y=0（即x軸）所圍成的平面圖形.

曲邊梯形的面積的計算采用極限的思維方式：

（1）分割：將區(qū)間進行分割，也就是把大的曲邊梯形割成若干個很小的曲邊梯形.

（2）替代：把小曲邊梯形的面積用小矩形的面積替代.

（3）求和：求出小矩形的面積，并把它們相加.

（4）取極限：將積分區(qū)間分割，無限地分割，并使每個小的區(qū)間的長度趨于零.

如圖2所示，小矩形面積的總和就近似地作為曲邊梯形的面積.同理，若極限值存在的話，這個值就是曲邊梯形的面積.

計算曲邊梯形面積的以直代曲的思想方法被圖形表示出來曲邊梯形的面積的計算就是定積分的幾何意義.

（二）數(shù)形結合在數(shù)學分析定理中的應用

案例3 羅爾定理的幾何意義

羅爾定理：若函數(shù)f（x）滿足如下條件：

（?。ゝ（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

（ⅱ）f（x）在開區(qū)間（a，b）上可導;

（ⅲ）f（a）=f（b）.

則在（a，b）上至少存在一點φ，使f′（φ）=0.

如圖3所示，羅爾定理的幾何意義[1]就是：在每一點都連續(xù)可導的連續(xù)的一條曲線上，如果曲線的兩個端點的高度相等，那么至少存在一條水平的切線.

本文主要探討了數(shù)形結合思想在數(shù)學分析中的各種情況下的具體運用.其中，主要講述了數(shù)形結合在數(shù)學分析中一些概念和定理中的應用.主要是轉換成幾何意義去理解，通過數(shù)形結合的方式，使概念和定理易于理解.在某些具體的題目中，通過用圖像進行觀察分析，感受用數(shù)形結合解決問題的方式，造就我們對于數(shù)學問題的剖析以及處理的能力.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]孫雪梅.數(shù)形結合在數(shù)學解題中的應用[J].中國證券期貨，2011（2）：142-143.

[3]黃佳琴.淺談數(shù)形結合思想及其應用[J].高校講壇，2010（15）：560-561.

[4]鮑培文.例析數(shù)形結合思想在高等數(shù)學教學中的應用[J].當代教育理論與實踐，2012（10）：74-77.

[5]彭艷芳.《數(shù)學分析》中“數(shù)形結合”思想的培養(yǎng)[J].赤峰學院學報，2013（7）：11-12.