高 超

（連云港開放大學(xué)，江蘇 連云港 222006）

從混合?？臻g到加權(quán)型空間上二階微分算子與加權(quán)復(fù)合算子的積

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（連云港開放大學(xué)，江蘇 連云港 222006）

文中主要討論了單位圓盤上混合?？臻g到加權(quán)型空間上的算子D2uCφ的有界性和緊性，得到了混合?？臻g到加權(quán)型空間上的算子D2uCφ是有界算子或緊算子的充要條件.

2階微分算子；加權(quán)復(fù)合算子；混合模空間；加權(quán)型空間

1 引言

首先介紹一些文中將要用到的記號，記復(fù)平面上的單位圓盤Δ={z∈C:||z|＜1},H(Δ)表示Δ上的所有解析函數(shù)的集合.稱在[0,1)上的取值正的連續(xù)函數(shù)?為正規(guī)函數(shù)，若?δ∈[0,1)以及 s，t，0＜s＜t，使得

對于 0＜p,q＜∞,?為正規(guī)函數(shù),若 f∈H(Δ)且

其中

則稱函數(shù) f∈H(p,q,?).當(dāng) 1≤q＜∞ 時，H(p,q,?)是以 ||·||H(p,q,?)為范數(shù)的 Banach 空間.當(dāng) 0＜q＜1 時是以 ||·||H(p,q,?)為半范數(shù)的Fréchet空間，不是 Banach 空間.當(dāng) 0＜p=q＜∞ 時，H(p,q,?)是Bergman型空間，特別的當(dāng)時，H(p,q,?)是加權(quán)Bergman 空間其中 -1＜α＜∞.μ(z)為 Δ 上的正的連續(xù)函數(shù)稱為權(quán).若 f∈H(Δ)，且則稱 f∈Hμ,Hμ是以 ||f||μ=supμ(z)|f(z)|為范數(shù)的 Banach 空間.

文獻[1]中研究了復(fù)合算子；文獻[2]中研究了復(fù)合算子與一階微分算子的乘積；文獻[3],[4]中研究了一階微分算子與其它算子的乘積；文獻[5]，[6]中分別研究微分算子與復(fù)合算子的乘積以及加權(quán)微分復(fù)合算子.受上述文獻啟發(fā)，文中討論了2階微分算子與加權(quán)復(fù)合算子的積：

得到了混合?？臻g到加權(quán)型空間上的算子D2uCφ的有界算子和緊算子的充要條件.文中字母C是一個正常數(shù)，不同的地方可以不同.

2 預(yù)備引理

引理 2.1[6]設(shè) 0＜p,q＜∞,?是正規(guī)函數(shù)，f∈H(p,q,?),那么對于任意自然數(shù)n，存在一個與f無關(guān)的正常數(shù)C，使得

由Montel定理及緊算子定義，可得出下面的引理.

引理2.2設(shè)u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射，μ是權(quán)，0＜p,q＜∞,?是正規(guī)函數(shù)，則算子 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是緊算子的充要條件是D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子且對于H(p,q,?)中在Δ的緊子集上一致收斂于0的任意有界列(fk)k∈N有 ||D2uCφfk||μ→0，k→∞.

3 主要定理及證明

定理3.1設(shè)u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射，μ是權(quán)，0＜p,q＜∞,?是正規(guī)函數(shù),則算子 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子當(dāng)且僅當(dāng)下列三式成立

證明先假設(shè)（1），（2），（3）成立，對于任意 f∈H(p,q,?)，由引理2.1可得

所以 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子.

下面假設(shè) D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子，那么存在一個正常數(shù)C使得對于任意f∈H(p,q,?)，

固定w∈Δ取檢驗函數(shù)

滿足 fw∈H(p,q,?),supw∈Δ||fw||H(p,q,?)≤C 且

由于 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子，所以

固定w∈Δ,取檢驗函數(shù)

滿足 gw∈H(p,q,?),supw∈Δ||gw||H(p,q,?)≤C 且

由于 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子，所以

定理3.2設(shè)u∈H(Δ)，φ是Δ上的解析自映射，μ是權(quán)，0＜p,q＜∞,?是正規(guī)函數(shù)，則算子 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子，且下列三式成立

證明首先假設(shè) D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子且（4），（5），（6）成立.

令(hi)i∈N是 H(p,q,?)中使得且 hi在 Δ 上任一緊子集上一致收斂于0的序列，由假設(shè)知?ε＞0存在一δ∈(0,1)，當(dāng) δ＜|φ(z)|＜1 時，

因為 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子，由定理 3.1 可知（1），（2），（3）成立.因為 hi是在 Δ 的任一緊子集上一致收斂于0的序列，由柯西估計可知h'i，在h"i的任一緊子集上一致收斂于0的序列，所以?i0∈N，使得當(dāng)i＞i0時，有

由（7）-（12）可知，當(dāng) i＞i0時有

相反地，假設(shè) D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是緊算子，顯然 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是有界算子.若 ||φ||∞＜1，由引理 2.2 可知 D2uCφ:H(p,q,?)→Hμ是緊算子.當(dāng) ||φ||∞=1 時，令(Zi)i∈N∈Δ 是使得 |φ(Zi)|→1，i→∞ 的點列.

〔1〕Zhao Ruhan.Composition operators from Bloch type spacesto Hardy and Besov spaces [J.]Journalof MathematicsAnalysisand Application,1999,233 (2):749-766.

〔2〕Stevi′c S.Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔3〕劉曉曼,于燕燕.從H∞到Zygmund空間微分算子與乘子的積[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011(01).

〔4〕于燕燕,劉永民.從混合?？臻g到Bloch-型空間微分算子與乘子的積[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2012，32A(1)：68-79.

〔5〕Stevi′c S Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔6〕LIU Yongmin,YU Yanyan.Weighted differentiation composition Operatorsfrom mixed-norm spacesto Zygmund spaces [J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2010,31(8):936-954.

O177.2；O174.5

A

1673-260X（2017）12-0011-03

2017-06-11