臧 楠，李博峰，2，沈云中

1. 同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092； 2. 大地測量與地球動力學國家重點實驗室，湖北 武漢430077

3種GPS+BDS組合PPP模型比較與分析

臧 楠1，李博峰1，2，沈云中1

1. 同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092； 2. 大地測量與地球動力學國家重點實驗室，湖北 武漢430077

無電離層組合和非組合模型是GNSS精密單點定位(PPP)常用的兩種函數(shù)模型。本文通過詳細分析PPP的兩種函數(shù)模型各類參數(shù)間的相關特性，建立了參數(shù)獨立的函數(shù)模型。對非組合PPP模型的電離層參數(shù)引入虛擬觀測方程進行約束，有效提高了PPP的收斂速度。最后，從定位精度和收斂時間兩方面分析不同函數(shù)模型的GPS單系統(tǒng)和GPS+BDS組合PPP靜態(tài)、模擬動態(tài)定位效果。結果表明：GPS單系統(tǒng)和GPS+BDS組合PPP定位精度相當，靜態(tài)的無電離層組合與非組合PPP均可達到厘米至毫米級精度，動態(tài)PPP精度的平面優(yōu)于3 cm，高程優(yōu)于5 cm；無電離層組合PPP收斂時間優(yōu)于非組合的PPP，電離層加權非組合PPP的收斂時間最短。動態(tài)定位中，電離層加權模型相比于無電離層組合模型，可減少約15%的收斂時間，相比于非組合模型，可減少約34%。

精密單點定位；函數(shù)模型；參數(shù)化；電離層先驗約束；GPS+BDS

精密單點定位(PPP)是一種無需基準站、作業(yè)模式靈活、成本低、精度高的定位技術[1-2]。PPP技術利用高精度的衛(wèi)星軌道和鐘差及相關信息，通過精確的誤差改正模型和合理的參數(shù)估計方法，為全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)用戶提供厘米級的定位服務[3-4]。近年來，BDS系統(tǒng)已在亞太地區(qū)全面提供定位、導航和授時(PNT)服務，并計劃于2020年完成全球覆蓋的星座組建。同時，GPS系統(tǒng)也加快了現(xiàn)代化進程，使系統(tǒng)面向多頻化、多樣化應用等方面發(fā)展。隨著GNSS高速發(fā)展，其應用也逐步向多系統(tǒng)、多頻率兼容互操作的方向轉變，而多系統(tǒng)融合的PPP能更好地發(fā)揮多系統(tǒng)聯(lián)合定位的優(yōu)勢，提高定位服務的可用性和可靠性[5-8]。因此，深入研究不同的PPP函數(shù)模型有助于掌握提高PPP精度和縮短收斂時間的關鍵因素，也是拓展新的應用領域的重要基礎。

按照電離層處理方式不同，PPP函數(shù)模型主要包括無電離層組合模型、估計電離層的非組合模型(UC)和電離層加權模型(ionosphere-weighted，IW)。無電離層組合模型包括傳統(tǒng)的相位與偽距頻率間的組合(ionosphere-free，IF)[4，9-10]和Uofc模型。Uofc模型保留IF模型中相位組合并引入兩個同頻率偽距與相位的無電離層組合[11-13]。相比于IF模型，Uofc模型具有觀測噪聲小，且保留各頻率上模糊度信息等優(yōu)勢。但是Uofc組合導致觀測值之間存在相關性，且未知參數(shù)增多。研究表明，Uofc模型與非組合模型可利用能消除電離層的滿秩轉換矩陣進行等價變換[10，14-15]。另外，也有學者指出采用原始觀測值并將電離層延遲參數(shù)化的UC模型，除了具有保留原始觀測信息和具有更小的觀測噪聲等優(yōu)勢之外，還可以充分考慮電離層的時空相關信息構建約束函數(shù)模型[16-18]。隨著對電離層特性的深入研究和電離層建模精度的不斷提高，顧及電離層約束的IW模型能有效且合理地增強函數(shù)模型強度、縮短收斂時間并改善定位精度[19]。

近年來，大量研究都是針對某一特定的函數(shù)模型來分析PPP的效果，鮮有文獻從函數(shù)模型參數(shù)之間相關特性的角度進行深入探討，系統(tǒng)性地比較3種PPP函數(shù)模型。本文從理論上詳細地研究每種函數(shù)模型各類參數(shù)之間相關特性，給出3種PPP函數(shù)模型(IF模型、UC模型及IW模型)的獨立參數(shù)化方式，系統(tǒng)性地分析3種模型相互關系，最后給出雙系統(tǒng)定位的參數(shù)化處理方案。本文利用GPS單系統(tǒng)和GPS+BDS組合PPP算例分析驗證理論的正確性。

1 3種PPP函數(shù)模型

1.1 非組合(UC)模型

觀測s顆衛(wèi)星的雙頻單歷元UC觀測方程和隨機模型為

Φ=(e2?Ax)x+e2sdtr+(I2?es)Br-(e2?dts)-bs-(μ?Is)ι+(e2?g)τ-a+εΦ

(1a)

P=(e2?Ax)x+e2sdtr+(I2?es)Dr-

(e2?dts)-ds+(μ?Is)ι+(e2?g)τ+εP

(1b)

(1c)

1.2 無電離層組合模型(IF)

無電離層組合模型的觀測方程是對式(1a)和(1b)兩邊左乘一個組合轉換矩陣

設無電離層組合系數(shù)陣為

則IF組合觀測方程為

ΦIF=Axx+esdtr+(J?es)Br-dts-

(J?Is)bs+gτ-(J?Is)a+εΦIF

(2a)

PIF=Axx+esdtr+(J?es)Dr-dts-

(J?Is)ds+gτ+εPIF

(2b)

(2c)

式中，ΦIF和PIF分別表示IF相位和偽距觀測量；εΦIF和εPIF分別為對應的觀測噪聲；QIF為對應的方差-協(xié)方差矩陣。

1.3 顧及電離層信息的加權模型(IW)

UC模型與IF模型對電離層延遲誤差的處理方式不同，UC模型將電離層延遲作為參數(shù)估計，而IF模型將它們通過觀測值組合消除。隨著對電離層特性的深入研究，通過引入外部的電離層信息或通過電離層建模形式對電離層延遲參數(shù)進行約束，能有效地增強UC模型的強度，進而改善模糊度的固定效率和提高定位精度[20]。

一般說來，電離層延遲誤差引起的信號群延遲、多普勒頻移等問題是影響GNSS精密定位的主要因素之一[21-22]。對于單頻GNSS用戶可以采用電離層模型消除電離層延遲，如Kloubuchar全球經驗模型[21-22]。該模型的參數(shù)可從廣播星歷中獲取，實時改正，操作方便。但由于電離層變化復雜，在不同的緯度特別是赤道和高緯度地區(qū)，影響十分顯著，所以修正精度較差。相關研究指出，Kloubuchar模型的改正程度僅約為55%[23]。另外，IGS組織利用長期的全球跟蹤站反演電離層信息，為用戶提供二維或三維的全球格網電離層改正信息，構建全球電離層改正模型[24]。目前，IGS提供的最終電離層產品精度可以達到2～8 TECU，即為用戶提供分米級的電離層改正[25]。因此，不同的電離層模型提供不同精度的電離層誤差改正，對定位的收斂時間有顯著的影響。

IW模型以UC模型(1)為基礎，在此基礎上對電離層延遲參數(shù)附加偽觀測方程

(3)

2 PPP模型的獨立參數(shù)化

從式(1)可以看出，UC模型的鐘差、硬件延遲、電離層延遲及模糊度等參數(shù)之間存在明顯的相關性，從而導致觀測方程設計矩陣秩虧。而式(2)給出的IF模型同樣由于參數(shù)相關而引起設計矩陣秩虧。通常有兩種解決設計矩陣秩虧問題的方法，第1種方法是引入適當?shù)耐獠炕鶞剩M而獨立求解各類參數(shù)；第2種方法是采用合理的獨立參數(shù)化方法，構造相互獨立的參數(shù)進行求解。下面詳細分析每個模型的參數(shù)相關性，并給出每個函數(shù)模型的獨立參數(shù)化方式。

2.1 3種模型的獨立參數(shù)化

由于IW模型只是在UC模型基礎上增加了電離層約束信息，其獨立參數(shù)化方式與UC模型相同，因此這里只討論UC模型和IF模型的獨立參數(shù)化方式。

2.1.1 UC模型的獨立參數(shù)化

(4)

(5a)

(5b)

式中，衛(wèi)星DCB和精密衛(wèi)星鐘差可從IGS發(fā)布的相應產品獲取改正[26]。

下面討論接收機鐘差、接收機硬件延遲及電離層延遲的相關性及相應的處理方式。顯然，Dr與dtr完全線性相關，所以只能合并估計，即新的接收機鐘差為dtr=e2dtr+Dr。同時考慮到新的接收機鐘差dtr與電離層延遲ι系數(shù)陣的相關關系

(6a)

(6b)

式中，D12=Dr，2-Dr，1表示兩個頻率間接收機偽距硬件延遲偏差。

最后討論模糊度與硬件延遲的獨立參數(shù)化方式。經過上述參數(shù)處理后，考慮到a與bs、ds完全線性相關，且顧及Br、Dr與a系數(shù)陣的相關關系

需要將硬件延遲與模糊度合并估計。整理合并后，構造新的模糊度aUC形式如下

(7)

所以，經上述各項參數(shù)之間相關性探討，構造了相互獨立的待估參數(shù)，將式(5a)、式(5b)、式(6)和式(7)代入式(1)，整理后得獨立參數(shù)化后的UC模型

(8a)

(e2?g)τ+εP

(8b)

2.1.2 IF模型的獨立參數(shù)化方式

式(2)中，衛(wèi)星鐘差及衛(wèi)星硬件延遲的形式與式(4)相同，可以通過直接引入精密衛(wèi)星鐘差改正。IF模型構造的接收機鐘差與UC模型相同，即式(6a)。令無電離層組合模糊度aIF為

(9)

將式(6a)和式(9)代入式(2)整理后，得到獨立參數(shù)化后的IF模型如下

ΦIF=Axx+esdtrIF+gτ-aIF+εΦIF

(10a)

PIF=Axx+esdtrIF+gτ+εPIF

(10b)

顯然，式(10)中IF組合無法估計各頻率上獨立的模糊度。

2.2 3種模型的關系

為方便闡述函數(shù)模型之間的關系，將獨立參數(shù)化后的UC模型式(8)表示為

(11)

2.2.1UC模型與IF模型關系

根據等價性原理[10，27]，IF模型與UC模型的轉換矩陣R不能同時滿足條件RTC=0且rank(R)=n-t，所以IF模型與UC模型不等價。IF模型無法獨立求解兩個頻率模糊度，從模糊度解算的角度二者也不等價[10]。事實上，4個雙頻偽距和相位觀測方程經無電離層組合后消除了一個電離層參數(shù)，應該得到3個等價的無電離層組合方程，而傳統(tǒng)的IF模型只保留了兩個方程，舍棄了偽距與相位之間的組合方程，但是該組合觀測信息對定位貢獻較弱，且與偽距、相位的無電離層組合信息相關，所以二者定位精度相當。此外，由于UC模型包含的待估參數(shù)較多，導致計算效率低，同時UC模型大量參數(shù)之間的相互關系往往會導致方程性態(tài)變差，導致待估參數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性可能較IF模型差。

2.2.2 UC模型與IW模型的關系

IW模型在UC模型式(8)的基礎上增加電離層延遲的偽觀測方程，增強了UC模型的強度。IW模型電離層延遲參數(shù)解算精度高于UC模型的解算精度，而電離層延遲參數(shù)解算精度直接影響其他待估參數(shù)的解算質量，從而改善定位效果。通過討論UC模型與IW模型的電離層估計效果來分析二者之間的關系。

(12)

式中，UC模型的電離層參數(shù)估值及其協(xié)方差陣為

(13)

IW模型的位置參數(shù)最小二乘解為

(14)

式中，IW模型的電離層參數(shù)估值及其協(xié)方差陣為

(15)

3 GPS和BDS雙系統(tǒng)組合PPP模型

隨著我國BDS的迅速發(fā)展，GPS和BDS組合PPP不僅縮短了GPS單系統(tǒng)的收斂時間，而且增加GPS單系統(tǒng)PPP的可靠性和可用性。所以基于上文討論的獨立參數(shù)化的UC模型和IF模型，下面直接給出雙系統(tǒng)組合的PPP模型。

3.1 GPS和BDS組合的UC模型

以上下標G和C區(qū)分GPS和BDS系統(tǒng)，則根據式(8)給出GPS和BDS組合的UC模型為

(16a)

(16b)

式中，*=“G”或“C”；其余符號含義與式(8)相同。

3.2 GPS和BDS組合的IF模型

根據式(10)，GPS和BDS組合的IF模型為

(17a)

(17b)

式中，*=“G”或“C”；其余符號含義與式(10)相同。

3.3 GPS和BDS雙系統(tǒng)組合的時空統(tǒng)一

多系統(tǒng)融合的關鍵性問題是需要采用統(tǒng)一的時間系統(tǒng)和坐標系統(tǒng)。由于GPS和BDS系統(tǒng)的時間基準及時延偏差存在差異，一般將BDS的時間基準統(tǒng)一到GPST。系統(tǒng)間的時延偏差，可用兩種方法進行處理。一種方法是引入系統(tǒng)的頻間偏差(ISB)參數(shù)，考慮到ISB的穩(wěn)定性，一般作為常數(shù)或者分段常數(shù)進行估計[28]

dtr，C=dtr，G+ISB

(18)

另一種方法是獨立估計各系統(tǒng)的接收機鐘差，不考慮ISB[28]，本文采用該方法處理。該方法處理簡單且能確保估值消除時間偏差的影響，與第1種方法相比，由于每個歷元都引入了兩個鐘差參數(shù)，導致模型強度略微偏低。另外，由于PPP采用了IGS精密軌道產品，所有軌道產品已經統(tǒng)一在相同的ITRF坐標參考框架，故不存在坐標轉換問題。

3.4 GPS和BDS雙系統(tǒng)隨機模型

GPS和BDS觀測值都采用高度角定權，同時考慮到GPS、BDS觀測噪聲及衛(wèi)星軌道產品的精度差異，根據大量計算統(tǒng)計得出GPS和BDS權比為1∶0.8。此外，由于BDS的GEO衛(wèi)星的靜止特性，導致其與地面監(jiān)測站的幾何構型較差，所以GEO衛(wèi)星的軌道精度比IGSO和MEO衛(wèi)星低。因此，在實際應用中對GEO衛(wèi)星觀測值進行了適當?shù)亟禉嗵幚韀29]。

圖1給出的是GPS/BDS組合的PPP解算流程，采用自主開發(fā)的Multi-PPP軟件，軟件不僅可實現(xiàn)單系統(tǒng)PPP，還可在單系統(tǒng)法方程層面實現(xiàn)多系統(tǒng)融合解。

圖1 GPS/BDS組合PPP數(shù)據處理流程Fig.1 The data processing flow of GPS/BDS combined PPP

4 試驗分析

MGEX是IGS建立的GNSS多頻多模跟蹤站的試驗網，本文算例選取MGEX網中同時跟蹤GPS和BDS衛(wèi)星較多的5個測站，分別為中國的JFNG、澳大利亞的CUT0、GMSD、KARR和MRO1。選擇2015年DOY137—150數(shù)據，且采樣間隔為30 s。以靜態(tài)單天解作為各測站的參考坐標。軌道產品采用德國地學中心(GFZ)提供的15 min間隔的精密星歷和30 s的精密鐘差。電離層約束采用IGS提供的最終全球格網產品(GIMs)通過內插方式獲取的電離層改正。根據GIMs產品的精度，本文取電離層偽觀測值的方差為0.09 m2。試驗采用靜態(tài)PPP和靜態(tài)數(shù)據動態(tài)PPP解算兩種模式，動態(tài)解算采用卡爾曼濾波方法，狀態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)噪聲設為白噪聲[30]。統(tǒng)計分析北(N)、東(E)和高程(U)3個方向的定位誤差和以及3個方向收斂至1 dm的時間。

4.1 靜態(tài)PPP試驗

算例給出3種PPP模型GPS單系統(tǒng)和GPS+BDS組合的靜態(tài)PPP定位情況。圖2為可視衛(wèi)星數(shù)以及PDOP值，圖3、圖4分別為GPS單系統(tǒng)和GPS/BDS組合的IF模型(a)、UC模型(b)和IW模型(c)的靜態(tài)PPP E、N、U方向的定位誤差。從圖中可以看出，GPS/BDS組合PPP的收斂時間相比于GPS單系統(tǒng)有所改善。圖5為5個測站1 d平均收斂時間統(tǒng)計及所有測站平均收斂時間統(tǒng)計(a)和14 d平均收斂時間(b)。表1為3種PPP模型的平均定位精度統(tǒng)計結果。從圖5和表1可以看出，對于靜態(tài)PPP，UC模型比IF模型的收斂時間長，IW模型的收斂時間相比于IF模型和UC模型明顯縮短。在定位精度方面，3種PPP模型定位精度相當，3種PPP模型的3個方向靜態(tài)定位精度均優(yōu)于2 cm，平面定位精度甚至優(yōu)于厘米級。

圖2 JFNG站可視衛(wèi)星數(shù)與PDOP值變化Fig.2 The number of available satellites and PDOP at JFNG station

圖3 3種模型GPS單系統(tǒng)靜態(tài)PPP誤差Fig.3 Static PPP positioning errors of the three models with GPS-only combinations

圖4 3種模型GPS/BDS組合靜態(tài)PPP誤差Fig.4 Static PPP positioning errors of the three models with GPS/BDS combinations

圖5 GPS和GPS/BDS組合3種模型單日靜態(tài)PPP收斂時間和14 d平均收斂時間Fig.5 Convergence time of 3 static PPP models with GPS-only and GPS/BDS combination for 5 stations and the average convergence time of 14 days

4.2 模擬動態(tài)PPP試驗

算例給出3種PPP模型GPS單系統(tǒng)和GPS+BDS組合的動態(tài)PPP定位情況。圖6、圖7分別為GPS單系統(tǒng)和GPS/BDS組合的IF模型(a)、UC模型(b)和IW模型(c)的動態(tài)PPP ENU方向的定位誤差。從圖中可以看出，GPS/BDS組合PPP的平面方向的收斂時間相比于GPS單系統(tǒng)有所改善。圖8為5個測站1 d平均收斂時間統(tǒng)計及所有測站平均收斂時間統(tǒng)計(a)和14 d平均收斂時間(b)。表2為3種PPP模型的平均定位精度統(tǒng)計結果。從圖8和表2可以看出，動態(tài)PPP的收斂時間方面，UC模型比IF模型的收斂時間更長，IW模型的收斂時間相比于IF模型和UC模型明顯縮短；定位精度方面，3種模型動態(tài)PPP平面均優(yōu)于3 cm，高程方向優(yōu)于5 cm。

5 結 論

本文從公式推導角度，詳細討論了無電離層組合模型和非組合PPP模型的獨立參數(shù)化方法，并從參數(shù)估計角度，論述無電離層組合模型(IF)、非組合模型(UC)和附加電離層約束模型(IW)的相互關系。試驗分析了3種模型的靜態(tài)和動態(tài)解算精度以及收斂時間，得出以下結論：

(1) UC模型和IF模型的鐘差、時延偏差、電離層和模糊度參數(shù)之間存在相關性，需通過獨立參數(shù)化方法確定可估參數(shù)。

(2) 從參數(shù)估計角度分析，IW模型在UC模型的基礎上對電離層參數(shù)進行約束，增強了模型強度，提高參數(shù)估計精度，進而縮短定位收斂時間。

(3) GPS和BDS雙系統(tǒng)組合相比于GPS單系統(tǒng)有效地改善了衛(wèi)星的幾何構型強度，組合PPP的收斂時間明顯比單系統(tǒng)的短。

圖6 3種模型GPS單系統(tǒng)的動態(tài)PPP定位誤差Fig.6 Kinematic PPP positioning errors of the three models with GPS-only combinations

圖7 3種模型GPS/BDS組合動態(tài)PPP定位誤差Fig.7 Kinematic PPP positioning errors of the three models with GPS/BDS combinations

圖8 GPS和GPS/BDS組合3種模型單日動態(tài)PPP收斂時間和14 d平均收斂時間Fig.8 Convergence time of 3 kinematic PPP models with GPS-only and GPS/BDS combination for 5 stations and the average convergence time of 14 days

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Comparison and Analysis of Three GPS+BDS PPP Models

ZANG Nan1，LI Bofeng1，2，SHEN Yunzhong1

1. College of Surveying and Geo-Informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China； 2. State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China

In general，ionosphere-free model and uncombined model are applied for GNSS precise point positioning (PPP).This paper detailed analyzes the correlation of different parameters of each model，and deducevarious PPP functional model by means of parameterization methods.And uncombined PPP with ionospheric parameter constrains i.e.ionosphere-weighted model can fasten PPP convergence effectively.This paper takes advantage of GPS-only and GPS and BDS combination dataset as example for positioning in different PPP models.In the perspective of positioning accuracy and convergence time，positioning performance are detailed analyzed in both static PPP and simulated dynamic PPP modes.The results demonstrate that GPS-only has the similar accuracy with GPS+BDS combination，and both ionosphere-free model and uncombined model static PPP can achieve the positioning accuracy of millimeter to centimeter level，while the horizontal positioning accuracy of dynamic PPP is superior to 3 cm and the vertical positioning accuracy is superior to 5 cm.In terms of convergence time，ionosphere-free model is superior to uncombined model，and the convergence time of ionosphere-weighted model is the shortest.Compared to the ionosphere-free model，the ionosphere-weighted model can decrease about 15% convergence time，while it can decrease about 34% convergence time compared to the uncombined model in the dynamic positioning.

PPP;functional model；parameterization；prior ionospheric constrains；GPS+BDS

The National Natural Science Foundation of China (Nos.41622401；41574031；41374023)；The Open Fund of the State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics(No.SKLGED2016-3-1-EZ)

ZANG Nan(1989—)，female，PhD candidate，majors in multi-GNSS and multi-frequency PPP.

LI Bofeng

E-mail： bofeng_li@#edu.cn

臧楠，李博峰，沈云中.3種GPS+BDS組合PPP模型比較與分析[J].測繪學報，2017,46(12)：1929-1938.

10.11947/j.AGCS.2017.20170111.

ZANG Nan，LI Bofeng，SHEN Yunzhong.Comparison and Analysis of Three GPS+BDS PPP Models[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(12):1929-1938. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170111.

P228

A

1001-1595(2017)12-1929-10

國家自然科學基金(41622401；41574031；41374023)；大地測量與地球動力學國家重點實驗室開放研究基金(SKLGED2016-3-1-EZ)

叢樹平)

2017-03-09

2017-07-03

臧楠(1989—)，女，博士生，研究方向為多模多頻精密單點定位。

E-mail： zang6050@163.com

李博峰