陳龍賢

我們?cè)谧鼋馕鰩缀晤}目時(shí)，容易不管三七二十一，一上手就設(shè)坐標(biāo)，列方程，對(duì)圖形本身缺乏必要的分析，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量可能超級(jí)大甚至難以做到底。其實(shí)，如果對(duì)圖形進(jìn)行細(xì)致分析，往往有“幾何”味道更濃的一種解法，這樣既減小了運(yùn)算量，也能加深對(duì)題本身的理解。我們應(yīng)意識(shí)到“解析幾何”也是“幾何”，要關(guān)注圖形幾何形態(tài)，幾何性質(zhì)，做到心中有圖，見數(shù)思圖，提高解析幾何的解題能力。

例題：已知圓O：x2+y2=r2（r>0）與直線x-y+2=0相切.

（1）過點(diǎn)1，的直線l截圓所得弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

（2）設(shè)圓O與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交圓O于B，C兩點(diǎn)，且k1k2=-2，證明：直線BC恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【正解】（1）圓心O到直線的距離為d==2=r，∴圓O的方程為：x2+y2=4.

若直線l的斜率不存在，直線l為x=1，此時(shí)l截圓所得弦長(zhǎng)為2，符合題意；

若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y-=k（x-1），即3kx-3y+-3k=0，

由題意知，圓心到直線的距離為d==1，解得：k=-，

此時(shí)直線l為x+y-2=0，則所求的直線l為x=1或x+y-2=0；

（2）由題意知，A（-2，0），設(shè)直線AB：y=k1（x+2），

與圓方程聯(lián)立得：y=k1（x+2）x2+y2=4，

消去y得：（1+k21）x2+4k21x+（4k21-4）=0，∴xA·xB=

∴xB=，yB=，即B，，

∵k1k2=-2，用代替k2得：C，

∴直線BC的方程為：y-=x-

即y-=x-（k21≠2），整理得y=x+=x+（k21≠2），則直線BC定點(diǎn)為-，0.

“老師，你出的題第一問還比較仁慈，第二問也太難算了吧，老師定的事，旁人不知道，鬼會(huì)知道?！?/p>

來來來，看看老師第二問的思路：

將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至點(diǎn)A，則圓的方程變?yōu)椋▁-2）2+y2=22，即：x2+y2-4x=0，設(shè)直線BC的方程為mx+ny=1，B（x1，y1），C（x2，y2），聯(lián)立圓O和直線BC的方程得：x2+y2-4x（mx+ny）=0化簡(jiǎn)得：y2-4nxy+（1-4m）x2=0兩邊除以x2得：2-4n+1-4m=0 k1k2==1-4m=-2，解得m=，BC的方程為x+ny=1，恒過點(diǎn)，0，故在原坐標(biāo)系中，直線BC恒過點(diǎn)-2，0=-，0。

“老師，你的解題思路是我人生走過最長(zhǎng)的路?！?/p>

“回頭看看走過的路，但凡涉及斜率和與斜率積的題是不是都可以用這樣的方法來解呢？”

“好像有點(diǎn)道理?！?/p>

“我再來展示一下我的功力，用平幾方法來解?！?/p>

如圖，圓O的半徑為2，設(shè)AD，BC交于M，連BD，CD，由于△AMC～△BMD，則有=，同理△AMB～△CMD，=-k1k2=tan∠BAD·tan∠CAD=====2，所以=2，解得AM=，故直線BC恒過定點(diǎn)-，0“解幾問題平幾化，它體現(xiàn)了數(shù)向形的轉(zhuǎn)化思想，能極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算，大家是不是又多了一種思路呢？”

（作者單位：廣西柳州高級(jí)中學(xué)）