王秀芝,王如允,曹煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 寧波 315211)

有限域上的高斯和與有理點(diǎn)的計(jì)算

王秀芝,王如允,曹煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 寧波 315211)

設(shè)f是有限域Fq上的n元m項(xiàng)多項(xiàng)式,為其次數(shù)矩陣,用N(f)表示由超曲面f=0在仿射空間 An(Fq)確定的Fq-有理點(diǎn)的個(gè)數(shù).若矩陣A∈Zn×m在環(huán) Z/(q?1)Z中與Df行等價(jià),則記為.本文利用高斯和給出了當(dāng)m≤n且,其中λi∈{1,3}時(shí)N(f)的具體表達(dá)式,從而推廣了已知結(jié)論.

有限域;有理點(diǎn);特征和;高斯和

1 引言

設(shè)Fq是含有q個(gè)元素的有限域,其中q=ph,h≥1,p是一個(gè)素?cái)?shù).對于n元非零多項(xiàng)式

其次數(shù)矩陣定義為n×m階矩陣Df=(D1,···,Dm),其中Dj=(d1j,···,dnj)T,j=1,···,m.多項(xiàng)式f的增廣矩陣定義為,其中.用N(f)表示由超曲面f=0在仿射空間An(Fq)確定的Fq-有理點(diǎn)的個(gè)數(shù),即

尋找N(f)的表達(dá)式在有限域研究中具有重要意義．但要得到N(f)在一般情形下的表達(dá)式是很困難的,通常要進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)南拗?參見文獻(xiàn)[1-2]).當(dāng)Df＞0,即Df中的元素均為正整數(shù)時(shí),孫琦得到了下列結(jié)論.

定理1.1[3]設(shè)f為形如(1)的多項(xiàng)式,其中Df＞0.若m=n且gcd(det(Df),q?1)=1,則對于任意的b∈Fq,有

在文獻(xiàn)[4]中,曹煒和孫琦則進(jìn)一步推廣了上面的定理.

定理1.2[4]設(shè)f為形如(1)的多項(xiàng)式,其中Df＞0.若m≤n且Df在環(huán)Z/(q?1)Z 中左可逆,則對于任意的b∈Fq,有

注意到“Df在環(huán)Z/(q?1)Z中左可逆”等價(jià)于“Df行等價(jià)于一個(gè)對角元素均為1的對角矩陣”,即.在文獻(xiàn)[5]中,王如允、聞彬彬和曹煒考慮了,其中λi∈{1,2}時(shí)的情形,得到了下面的結(jié)論.

定理 1.3[5]設(shè)f為形如 (1)的多項(xiàng)式,其中Df＞0,q=ph為奇數(shù).用η表示 F?q上的二次特征.設(shè)

且

(i)若p≡1(mod 4)或p≡3(mod 4)且h為偶數(shù)時(shí),則有

(ii)若p≡3(mod 4)且h為奇數(shù)時(shí),則有

2 預(yù)備知識

設(shè)g是的一個(gè)生成元.則對于,存在唯一的正整數(shù) 0≤t≤q?2,使得gt=a,記indga=t.定義上的Teichm¨uller特征χ滿足

特別地,χk在中的階為(我們將在下面的引理 2.2和引理 2.3中用到這一事實(shí)).

定義

可以驗(yàn)證,對于所有的a∈Fq,高斯和滿足下面的插值關(guān)系:

在下文中,固定

為C中的三次本原單位根,顯見ω2+ω+1=0.

定義 2.1[6]若q≡1(mod 3),則上的兩個(gè)三次特征分別為:

及

其相應(yīng)的高斯和分別為:

及

一般來講,高斯和是很難計(jì)算的,但(4)與(5)中高斯和的具體值在特殊情形下可以通過下面的引理得到.

引理 2.1[7]設(shè)p為素?cái)?shù),M＞2是正整數(shù),存在一個(gè)最小的正整數(shù)u使得

記q=p2uc,其中c為正整數(shù).若

則有

特別地,當(dāng)M=3時(shí),我們有

引理 2.2設(shè)p為素?cái)?shù),存在一個(gè)最小的正整數(shù)u使得pu≡?1(mod 3),記q=p2uc,其中c為正整數(shù).若或,則有

為方便計(jì),在下文中我們總是用g表示(6)中G(k)的表達(dá)式.設(shè)f為形如(1)的多項(xiàng)式,其增廣矩陣為. 設(shè) ??{0,1,···,q?1},令

為 ? 的m重直積.對于向量k=(k1,···,km)∈?m,定義s(k)為向量中非零元素的個(gè)數(shù).沿用上述記號,有下面重要引理.

引理 2.3[8]設(shè)n元多項(xiàng)式f如 (1)中所示.令 ?={0,1,···,q?1},則有

其中和號遍歷所有的向量k=(k1,···,km)∈?m且滿足

在下一節(jié)中,我們還會用到下面的組合恒等式(證明略).

引理 2.4設(shè)t為正整數(shù),則有

3 主要結(jié)論

為方便計(jì),在本節(jié)中我們總是假定f是形如(1)定義的多項(xiàng)式,q=p2uc,且存在一個(gè)最小的正整數(shù)u使得

對系數(shù)集合

做如下劃分(0=m0≤m1≤m2≤m3≤m):

(a)t∈{1,2,···,m1}:ψ(at)=ω,k中所對應(yīng)的的元素記為k1=(k1,···,km1);

(b)t∈{m1+1,···,m2}:ψ(at)=ω2,k中所對應(yīng)的的元素記為k2=(km1+1,···,km2);

(c)t∈{m2+1,···,m3}:ψ(at)=ω3=1,k中所對應(yīng)的的元素記為k3=(km2+1,···,km3).對于給定的

即在(k1,···,km3)中分量取值為i(q?1)/3 的個(gè)數(shù).

定理 3.1多項(xiàng)式f如本節(jié)前言所設(shè).令

則有

其中和號遍歷所有的向量k=(k1,···,km)∈?m且滿足:

證明首先考慮

時(shí)的情形,并記此情形下的解數(shù)為N0.此時(shí)k=(k1,···,km)中向量取值只有q?1和0,即為定理1.2中b=0時(shí)的結(jié)論,故有

下面假設(shè)σ0(k)+σ3(k)＜m3,并記此情形下的解數(shù)為N?.由于

同余方程組

同解,且后者的解均取自于k=(k1,···,km)∈?m,這里

對任一給定的k=(k1,···,km)∈?m,由同余方程組的第一個(gè)方程可知,σ1(k)+2σ2(k)一定是3的倍數(shù).又因σ0(k)＜m3及Df＞0,故有s(k)=n+1.注意到當(dāng)k=0時(shí),χ(aj)k=1,G(k)=q?1;當(dāng)k=q?1時(shí),

由(2),(3)及引理2.3,引理2.5可得

由N(f)=N0+N?,(8)和(9)立得結(jié)論.

當(dāng)系數(shù)集合Sm3中所有元素的三次特征均等于1（亦即均是中的立方數(shù)）時(shí),我們可以得到較為簡潔的表達(dá)式.

推論 3.1設(shè)多項(xiàng)式f如本節(jié)前言所設(shè).令

若m1=m2=0,則有

其中和號遍歷所有的向量k=(k1,···,km)∈?m且滿足

下面我們將給出N(f)的另一種表達(dá)式,它比定理3.1更適用于計(jì)算.

定理 3.2設(shè)多項(xiàng)式f如本節(jié)前言所設(shè),則有

證明由本節(jié)前言假設(shè)知,系數(shù)集合Sm3={a1,···,am3}中有m1個(gè)三次特征為ω的元素,m2?m1個(gè)三次特征為ω2的元素,m3?m2個(gè)三次剩余特征為1的元素.由同余方程組

的第一個(gè)方程可得,

對于每個(gè)

從k1中取t1個(gè)元素,從k2中取r1個(gè)元素,從k3中取σ1(k)?t1?r1個(gè)元素,因此共有

種取法.由于

不妨假設(shè)

故有

種取法.注意到,當(dāng)σ1(k)+σ2(k)＞0時(shí),均有s(k)=n+1;而當(dāng)σ1(k)+σ2(k)=0,即i=j=0時(shí),s(k)≤n+1,因而在求和中必須把這種情形排除掉.但

此種情形已在定理 3.1的證明中討論過,其公式即為定理 1.2中b=0時(shí)的公式,我們?nèi)杂肗0來表示.綜上討論,有

應(yīng)用引理2.4并進(jìn)一步化簡,即得結(jié)論.

類似推論3.1,當(dāng)系數(shù)集合Sm3中所有元素的三次特征均等于1時(shí),有

推論 3.2設(shè)多項(xiàng)式f如本節(jié)前言所設(shè).若m1=m2=0,則有

最后我們用一個(gè)具體的例子來說明如何分別應(yīng)用定理3.1和定理3.2.

解顯然,m1=m2=0,m3=n=m=3,f的次數(shù)矩陣

因此可應(yīng)用推論3.1和推論3.2.又由引理2.2知,此時(shí)g=2.

方法一:令?={0,1,2,3}.首先將所有滿足

的向量k=(k1,k2,k3)∈?3列表 (見表1).

表1 向量k=(k1,k2,k3)∈?3的取值

再將上述結(jié)果代入推論3.1中的公式(10),計(jì)算可得N(f)=37.

方法二(應(yīng)用推論3.2):直接代入推論3.2中公式,有

此外,通過Maple計(jì)算,亦可驗(yàn)證N(f)=37.

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Gauss sums and computation of rational points in fi nite fi elds

Wang Xiuzhi,Wang Ruyun,Cao Wei
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

fi nite fi eld,rational point,character sum,Gauss sum

2010 MSC:11M06

O156

A

1008-5513(2017)06-0634-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.009

2017-11-05.

國家自然科學(xué)基金(11371208);寧波市自然科學(xué)基金(2017A610134).

王秀芝(1993-),碩士生,研究方向：數(shù)論、有限域及其應(yīng)用.