許韜+郭啟龍+戴芊慧+孟得新

摘要：《數(shù)理方程》素來(lái)具有知識(shí)點(diǎn)綜合性強(qiáng)、數(shù)學(xué)推導(dǎo)復(fù)雜煩瑣、學(xué)生普遍缺少學(xué)習(xí)興趣和耐心等特點(diǎn)。以Mathematica符號(hào)計(jì)算平臺(tái)為基礎(chǔ)，我們針對(duì)弦的振動(dòng)過(guò)程、桿的熱量傳導(dǎo)、溫度（電勢(shì)）的穩(wěn)恒分布、行波的傳播以及特殊函數(shù)的性質(zhì)等教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一定的圖形和動(dòng)畫(huà)，將難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函數(shù)向?qū)W生進(jìn)行可視化演示，從而在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了課堂教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)理方程；可視化教學(xué)；Mathematica軟件

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）52-0144-03

一、數(shù)理方程的課程特點(diǎn)及教學(xué)中存在的問(wèn)題

數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程和技術(shù)等領(lǐng)域提出的經(jīng)過(guò)一定簡(jiǎn)化后能夠反映客觀世界物理量之間關(guān)系的微分方程。它是一門(mén)數(shù)學(xué)、物理知識(shí)高度綜合的課程，需要《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《常微分方程》、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》和《大學(xué)物理》等課程的諸多知識(shí)點(diǎn)作為基礎(chǔ)。首先，數(shù)理方程所涉及三類模型的建立都是以物理學(xué)中的基本原理或?qū)嶒?yàn)定律為基礎(chǔ)的。其中，部分原理和定律是學(xué)生在中學(xué)或大學(xué)物理中學(xué)習(xí)過(guò)的，而另一部分則是學(xué)生完全沒(méi)有接觸過(guò)的，如熱傳導(dǎo)方程的建立需要利用傅里葉實(shí)驗(yàn)定律。其次，求解數(shù)理方程定解問(wèn)題的各種解析方法是本課程講授的主要內(nèi)容，這些求解方法都需要完成大量微分和積分運(yùn)算，其顯著特點(diǎn)為計(jì)算和推導(dǎo)煩瑣、過(guò)程和步驟冗長(zhǎng)、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多且綜合程度高。以齊次方程在齊次邊界下的分離變量法為例，其求解過(guò)程涉及變量分離、常微分方程本征值問(wèn)題求解、線性疊加原理以及傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)四個(gè)主要知識(shí)點(diǎn)。最后，數(shù)理方程具有十分深刻而廣泛的物理背景，其解可以準(zhǔn)確地描述一些實(shí)際物理過(guò)程或現(xiàn)象。例如：利用分離變量法求解所得本征值和本征函數(shù)可分別表示駐波的頻率和波形。

《數(shù)理方程》不僅能夠很好地鍛煉學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)物理知識(shí)的能力，而且在一定程度上還可以提高他們的理論分析、模型建立和解析計(jì)算能力。然而，在實(shí)際教學(xué)中該課程卻被公認(rèn)為“學(xué)生難學(xué)、老師難教、考試難過(guò)”[1]。從學(xué)生角度講，數(shù)理方程涉及數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)眾多、理論分析復(fù)雜、計(jì)算量大、過(guò)程冗長(zhǎng)而煩瑣，這使得不少學(xué)生認(rèn)為該課程沉悶乏味，很快便失去了繼續(xù)學(xué)習(xí)下去的興趣和耐心。不僅如此，大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算也讓學(xué)生無(wú)暇顧及數(shù)理方程的物理背景和實(shí)際應(yīng)用，從而難以將數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際物理過(guò)程和現(xiàn)象進(jìn)行聯(lián)系。從教師角度講，受課程知識(shí)體系結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)教學(xué)理念的束縛，老師們習(xí)慣將該課程當(dāng)作一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課進(jìn)行講授，一味強(qiáng)調(diào)理論的完整性、步驟的連貫性，滿堂課充斥著理論分析和數(shù)學(xué)計(jì)算，極大地降低了課堂的趣味性和生動(dòng)性。因此，如何激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)理方程的學(xué)習(xí)興趣和提高該課程的教學(xué)效果一直是教師們關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題。近年來(lái)，已發(fā)表的相關(guān)教學(xué)改革研究包括：利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真的可視化教學(xué)改革[2，3]、體現(xiàn)專業(yè)需求和特色的教學(xué)改革[4，5]以及實(shí)驗(yàn)教學(xué)和數(shù)值仿真相結(jié)合的教學(xué)改革[6]等等。

二、Mathematica軟件及可視化教學(xué)改革探索

隨著數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，符號(hào)計(jì)算（亦稱“計(jì)算機(jī)代數(shù)”）作為一門(mén)新興的交叉學(xué)科逐漸形成并迅速發(fā)展[7]。由美國(guó)物理學(xué)家Stephen Wolfram發(fā)明的Mathematica是一款以符號(hào)計(jì)算功能見(jiàn)長(zhǎng)的數(shù)學(xué)軟件，能夠完成矩陣和張量的計(jì)算、初等函數(shù)的化簡(jiǎn)、定（不定）積分的計(jì)算、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、代數(shù)方程和微分方程組求解等復(fù)雜的符號(hào)運(yùn)算，并且具有強(qiáng)大的二維和三維繪圖功能。Mathematica用戶界面友好，操作簡(jiǎn)單、易學(xué)、易用，這是因?yàn)樗哂邢裼?jì)算器一樣簡(jiǎn)單的交互式操作方式，計(jì)算是在用戶和軟件相互交換和傳遞信息數(shù)據(jù)過(guò)程中完成的。經(jīng)歷近三十年的發(fā)展，Mathematica在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)和計(jì)算機(jī)方面的專家學(xué)者中得到了廣泛應(yīng)用，成為理論研究的重要實(shí)驗(yàn)工具。不僅如此，她還被用于計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，目前已成為國(guó)內(nèi)很多高校數(shù)學(xué)類課程有力的輔助工具。教師可通過(guò)該軟件直觀形象地向?qū)W生解釋抽象的數(shù)學(xué)概念和幾何含義，而學(xué)生則可利用Mathematica“輕松做數(shù)學(xué)題”，從而提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決問(wèn)題的能力。

數(shù)理方程求解涉及多元函數(shù)微積分、常微分方程求解以及傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)等復(fù)雜的計(jì)算，這些運(yùn)算大部分都能夠在符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)上得以完成；另外，Mathematica強(qiáng)大的繪圖功能使得對(duì)數(shù)理方程的精確解析解進(jìn)行可視化演示成為可能。因此，將Mathematica融入《數(shù)理方程》的可視化教學(xué)是可行且十分有必要的。為了改變傳統(tǒng)的滿堂公式推導(dǎo)和求解計(jì)算的教學(xué)方式，我們制作出一套含有豐富圖形和動(dòng)畫(huà)的電子課件，尤其是將一些難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函數(shù)進(jìn)行可視化演示，具體的改革內(nèi)容如下：

1.利用分離變量法求解數(shù)理方程在不同初邊值條件下的定解問(wèn)題是一個(gè)極其重要的教學(xué)內(nèi)容，但是如何將分離變量解與實(shí)際物理過(guò)程和現(xiàn)象相聯(lián)系是教學(xué)中容易被忽略的環(huán)節(jié)。我們通過(guò)二維（三維）圖形和動(dòng)畫(huà)演示，讓學(xué)生清楚地看到在固定端、自由端和彈性支撐端三種情況下的弦振動(dòng)過(guò)程，在恒溫端、絕熱端和熱交換端三種情況下一維有界桿的熱量傳導(dǎo)過(guò)程，以及在圓盤(pán)、圓環(huán)或扇形區(qū)域溫度（電勢(shì)）的穩(wěn)恒分布。

2.行波法是求解雙曲型方程的常見(jiàn)方法，但是如何理解行波解的物理意義卻讓學(xué)生倍感頭疼。為此，我們利用二維動(dòng)畫(huà)讓學(xué)生觀察到行波的傳播過(guò)程，同時(shí)通過(guò)初值條件的改變向?qū)W生演示初始擾動(dòng)對(duì)于行波傳播的影響。另外，我們還將理論分析和圖形演示相結(jié)合，形象地解釋如何根據(jù)達(dá)朗貝爾公式理解依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域等概念。

3.在利用分離變量法求解球（柱）坐標(biāo)系下三類數(shù)理方程時(shí)還會(huì)涉及貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)。不同于常見(jiàn)的初等函數(shù)，這兩類函數(shù)是用級(jí)數(shù)形式表示的特殊函數(shù)。利用Mathematica的函數(shù)繪圖功能，我們可清楚地向?qū)W生展示這兩類函數(shù)的零點(diǎn)、周期性和極值分布等特征，從而使學(xué)生建立對(duì)這兩類特殊函數(shù)直觀形象的認(rèn)識(shí)。

三、基于Mathematica的數(shù)理方程可視化教學(xué)案例

1.一端固定一端自由的弦振動(dòng)過(guò)程演示。

對(duì)于如下波動(dòng)方程定解問(wèn)題：

該段代碼的最后一行可輸出弦自由振動(dòng)的動(dòng)態(tài)演示圖，截取部分時(shí)刻的靜態(tài)圖形如下：

通過(guò)圖1的演示，學(xué)生能夠清晰地觀察到在一端固定而另一端自由情況下弦的自由振動(dòng)過(guò)程。進(jìn)一步，我們可以分別作出U[1]，U[2]，U[3]…的動(dòng)態(tài)演示圖，使學(xué)生理解為什么分離變量解是由一系列駐波疊加而成。此外，我們還能選取不同的a值作出弦振動(dòng)的動(dòng)態(tài)演示圖，從而讓學(xué)生感受參數(shù)a與波傳播的速度有關(guān)。

2.兩端固定的弦受迫振動(dòng)過(guò)程演示。

對(duì)于如下非齊次波動(dòng)方程定解問(wèn)題：

四、結(jié)束語(yǔ)

我們利用Mathematica強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算和繪圖功能，將難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函數(shù)以圖形或動(dòng)畫(huà)形式演示，使得學(xué)生能夠直觀形象地理解數(shù)學(xué)表達(dá)式，并且與具體物理現(xiàn)象和過(guò)程建立聯(lián)系。這既鍛煉了學(xué)生的物理思維，又激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。然而，僅僅在電子課件中增設(shè)可視化教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)于顯著改善《數(shù)理方程》的教學(xué)效果還是不夠的。我們下一步的教學(xué)改革思路有如下兩方面：（1）增加Mathematica的上機(jī)教學(xué)環(huán)節(jié)，向?qū)W生講授符號(hào)計(jì)算和圖形繪制的常用指令，讓數(shù)學(xué)軟件成為學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)理方程》的“演草紙”；（2）增加課程大作業(yè)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)難度適當(dāng)?shù)木C合性題目，要求學(xué)生利用本門(mén)課程所學(xué)知識(shí)并借助Mathematica完成數(shù)學(xué)計(jì)算和圖形分析，以提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

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