吳海鷹

【摘 要】以《反比例函數(shù)系數(shù)“k”的確定》一課為例，在40分鐘的初三復(fù)習(xí)課堂上，通過解決一個一個看似零亂分散的數(shù)學(xué)問題，鞏固數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建模型，解決中考熱點問題，滲透數(shù)學(xué)思想；通過探尋問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找解決同類題目的方法，達到舉一反三的效果，領(lǐng)悟提升數(shù)學(xué)思想；激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣與成就感。

【關(guān)鍵詞】自主探究；合作展示；數(shù)學(xué)知識；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）31-0069-02

我們從小開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，然而在你腦海里留下來的最深刻、最有用的并不是數(shù)學(xué)知識本身，而是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想。因此，作為教師，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要重視知識本身，重視形成過程，還要重視挖掘在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法。我們不可能單純地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，所有的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想都是以數(shù)學(xué)問題為載體的，都是以數(shù)學(xué)問題的形式呈現(xiàn)。

本著“以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)，每位學(xué)生都有自主學(xué)習(xí)的機會，每位學(xué)生都應(yīng)該得到發(fā)展”的想法，筆者設(shè)計的教學(xué)環(huán)節(jié)基本由學(xué)生自主探究、合作交流來完成，老師在課堂中點撥、輔助、引導(dǎo)學(xué)生解決疑難點。本節(jié)課設(shè)計了復(fù)習(xí)診斷、感悟提升、合作展示、探究尋源、拓展延伸五個環(huán)節(jié)。通過復(fù)習(xí)回顧知識點，展示例題、暴露問題、解決問題，通過探索求源總結(jié)解題方法，回歸最基礎(chǔ)的知識點，最后通過拓展延伸達到靈活運用、舉一反三的目的。

課堂的第一階段由【復(fù)習(xí)診斷】和【感悟提升】組成。

為了在有限的時間內(nèi)找到復(fù)習(xí)課的起點，筆者設(shè)置了【復(fù)習(xí)診斷】環(huán)節(jié)，用5分鐘時間診斷出學(xué)生對反比例函數(shù)的系數(shù)“k”的求解方法的掌握程度。該過程中學(xué)生自主學(xué)習(xí)完成診斷任務(wù)，隨機提問，組長檢查組員的完成情況并匯報，以找到復(fù)習(xí)的切入點。

快速復(fù)習(xí)了反比例函數(shù)的解析式與對稱性之后進入第一階段的【復(fù)習(xí)診斷】。

1. 反比例函數(shù)圖像y=經(jīng)過P（1，-3），k=_______。

2. 一位司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以平均80千米/小時的速度用了4個小時到達乙地，當他按原路勻速返回時，汽車的速度v千米/小時與時間t小時的函數(shù)關(guān)系是____。

3. 如圖，點P是反比例函數(shù)y=圖像上的任意一點，PD⊥x軸于D，△POD的面積=3，k=_____。

4. 如圖，平行于x軸的直線AP交y軸于P，與反比例函數(shù)y=交于點A，若B為x軸上任意一點，連接AB，PB，當△APB的面積為4時，k=_____。

5. 如圖，過點P（2，3）分別作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，PC、PD分別交反比例函數(shù)y=（k≠0）（x>0）的圖像于點A、B，四邊形BOAP面積=4，k=_____。

6. 過反比例函數(shù)y=（k≠0）圖像上一點分別作x軸、y軸的垂線段，與坐標軸圍成矩形面積為2，k=_____。

在【復(fù)習(xí)診斷】中設(shè)置的以上題目的目的是：

第一，讓學(xué)生歸納總結(jié)反比例函數(shù)系數(shù)“k”有幾種確定方式。反比例函數(shù)中系數(shù)“k”的確定，其實就是反比例函數(shù)解析式的確定。學(xué)生通過解決這三個問題能總結(jié)出來：反比例函數(shù)中系數(shù)“k”的確定可以從三個方面來確定：①待定系數(shù)法：函數(shù)關(guān)系式中只有一個系數(shù)需要待定，只要知道一個點的橫縱坐標即可；②通過兩個變量之間的關(guān)系確定函數(shù)的關(guān)系；③通過面積的求解來確定“k”的值。此處滲透著重要的數(shù)學(xué)思想——歸納推理思想。學(xué)生可以在茫茫的題海中找到典型的例題，把題目歸類，以便以后歸納同類型的解題方法。

第二，由淺入深地設(shè)置了幾何圖形面積的計算來求“k”，為了讓學(xué)生感受到幾何圖形的變化多端，但是都有“基礎(chǔ)三角形”可尋，可以通過“數(shù)形結(jié)合”與“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)的思想來求解面積。最后一個題目的設(shè)置需要自己畫圖，體驗“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”的數(shù)學(xué)思想。

第三，讓學(xué)生從題目類型的變化感受到“通過幾何圖形面積的計算來確定反比例函數(shù)的系數(shù)”需要加強練習(xí)。

第四，從第3題和第4題感受到“斜三角形的面積”可以轉(zhuǎn)化為“直角三角形的面積”的基本轉(zhuǎn)化思想，從第5題感受到要從不規(guī)則的幾何圖形中尋找“直角三角形的面積”。

【感悟提升】是對第一部分【復(fù)習(xí)診斷】的提問以及總結(jié)。通過【感悟提升】提問中的反饋中可以知道，以上四個目的已達成。

反比例函數(shù)的確定作為深圳中考熱點與難點的出現(xiàn)，是因為反比例函數(shù)結(jié)合了各種幾何圖形的變化，與規(guī)則的或者不規(guī)則的圖形面積之間產(chǎn)生聯(lián)系，需要通過各種“轉(zhuǎn)化”才能找到跟系數(shù)“k”有聯(lián)系的圖形面積的值，然后求解。這類型的題目變化多，陷阱多，所以我們在復(fù)習(xí)課上重點解決這一類題目。

課堂的第二階段【合作展示】

我們已經(jīng)找到了復(fù)習(xí)切入點（幾何圖形的變化求“k”值），進入【合作展示】環(huán)節(jié)（中考熱點例題）要求：過程完整。

例1：如圖反比例函數(shù)y=（k≠0）與正比例函數(shù)y=mx（x≠0）交于A，B兩點。作AC⊥x軸，BD⊥x軸，連接AD，BC。 四邊形ABCD的面積為4，求K。

例2：反比例函數(shù)y=（k≠0）與y=在第一象限的圖像如圖所示，一條平行于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點，連接OA，OB，△AOB的面積為1，求k。

例3：如圖：△AOB中，點A為函數(shù)y=（k≠0）圖像上一點，B在x軸上，O為坐標原點，∠AOB=60°，∠BAO=75°?！鰽OB面積為+1，請求該反比例函數(shù)。

這個環(huán)節(jié)我們通過小組成員自主探究以后進入合作研討和小組展示。展示成果、展現(xiàn)思維的過程，其實也是暴露問題的過程。

例題1中含有跟反比例系數(shù)“k”有關(guān)的直角三角形面積，也有需要根據(jù)反比例函數(shù)中心對稱的性質(zhì)變換后才能跟“k”聯(lián)系起來的斜三角形，在展示的過程就中可以知道學(xué)生是否真的理解透徹。“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想始終貫穿解題的過程。

例題2中是有兩個反比例函數(shù)的圖像進行疊加而成，沒有指定哪支曲線是y=的圖像，需要用到“分類討論”來計算可能出現(xiàn)的兩種情況。圖形沒有給出直接與反比例系數(shù)有關(guān)的三角形面積，還需要學(xué)生延長AB交y軸，得到與兩個反比例函數(shù)的系數(shù)“k”有關(guān)的三角形的面積，通過面積之差來計算，才能確定系數(shù)“k”的值，體現(xiàn)了用“補”的方法進行幾何面積的計算的數(shù)學(xué)方法和“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

例題3中是一個不規(guī)則三角形的面積問題，需要學(xué)生過A點作x軸的垂線，把不規(guī)則三角形分成兩個特殊三角形去計算，計算過程中利用到“等高三角形”面積比等于底邊的比，體現(xiàn)了用“切割”的方法來計算幾何面積的數(shù)學(xué)方法和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

在這個環(huán)節(jié)中，例題1完成得很好，說明學(xué)生在通過對稱性以及運用“直角三角形”面積求解掌握的不錯。例題2有些同學(xué)沒有想到需要分類討論，說明數(shù)學(xué)思維的嚴謹性還需要提高。涉及“分類討論”思想的題目正是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴謹性的好載體。例題3中有些同學(xué)作輔助線之后通過設(shè)點的坐標去求解，由于△AOB面積是+1，設(shè)坐標計算的時候就顯得不那么容易。用等高三角形的面積比來進行轉(zhuǎn)化求解是最快最簡單的。

課堂的第三階段：【探究尋源】

初三復(fù)習(xí)課中，我們需要通過解決一系列的問題，探尋解題的源頭，總結(jié)數(shù)學(xué)方法。所以，我們通過這個環(huán)節(jié)目的是總結(jié)反比例函數(shù)系數(shù)“k”的幾何意義，尋找解題的方法。如下圖，S矩形OAPB=，S△AOB=，利用等積變換、割補、面積比等變化來尋找基礎(chǔ)矩形、基礎(chǔ)三角形的面積進而求反比例函數(shù)的系數(shù)“k”的值。通過探索求源總結(jié)解題方法，回歸最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識。

課堂的第四階段：【拓展提升】

經(jīng)過【探究尋源】找到解決問題的通法后，我們需要靈活運用，運用總結(jié)的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想來解決中考難點問題，達到靈活運用、舉一反三、突破難點的效果。

挑戰(zhàn)一：反比函數(shù)y=的圖像過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、CB交于點D、E，四邊形ODBE面積是6，求k的值。

挑戰(zhàn)二：如圖，△ABC的頂點B 在x軸上，AC上的中線BD的反向延長線交y軸于點E，雙曲線經(jīng)過點A，若AB⊥x軸，S△ECB=2，求k的值。

通過相似圖形、面積切割、斜三角形轉(zhuǎn)直角三角形等轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)三角形或者基礎(chǔ)矩形的面積求解。通過課堂反饋來看，通過前面幾個環(huán)節(jié)的落實，學(xué)生對《反比例函數(shù)系數(shù)“k”的確定》一課的數(shù)學(xué)知識理解的透徹性、對數(shù)學(xué)方法掌握的熟練性、對數(shù)學(xué)思想有了理解有了升華，做這兩個挑戰(zhàn)的題目就不覺得那么難了。

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的核心，數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)是知識與思想方法的有機結(jié)合，沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識，也沒有游離于數(shù)學(xué)知識之外的數(shù)學(xué)思想方法，承載著這數(shù)學(xué)知識和思想的數(shù)學(xué)問題就是包裹核心與靈魂的皮膚。我們通過設(shè)置數(shù)學(xué)問題，解決表層的問題，展示數(shù)學(xué)思維過程，這樣才有助于學(xué)生了解其中數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生、應(yīng)用和發(fā)展的過程；理解數(shù)學(xué)思想方法的特征，應(yīng)用的條件，掌握數(shù)學(xué)思想方法的實質(zhì)。透過探尋問題根源，解決數(shù)學(xué)問題，滲透數(shù)學(xué)思想，建立數(shù)學(xué)模型，以便以后遇到相似的題目，能快速找到曾經(jīng)建立的模型，找到解決問題的突破口。

在復(fù)習(xí)課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，學(xué)生自主探究解決中低難度的題目，小組合作研討可以幫助基礎(chǔ)弱的同學(xué)解決中等難度題目，在難度比較大的數(shù)學(xué)問題的解決中，合作學(xué)習(xí)能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)合作精神，提高課堂效率，在課堂中的小組合作展示中展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維過程，有靈感的交流有思維的碰撞，組員之間的評價、鼓勵；老師及時的點撥鼓勵評價都是激勵學(xué)生不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想的催化劑，讓學(xué)生除了體會到濃郁的數(shù)學(xué)味，還體會到成長的味道。

（編輯：趙 悅）