吳 迪， 郭思培， 何 穗

(華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院， 武漢 430079 )

基于個人投資視角反觀房地產(chǎn)市場的宏觀調(diào)控

吳 迪*， 郭思培， 何 穗

(華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院， 武漢 430079 )

對我國房地產(chǎn)市場進行實證分析，發(fā)現(xiàn)該市場具有分形特征以及房價與租金存在線性關(guān)系.在此前提下，應(yīng)用實物期權(quán)理論對投資收益進行預(yù)估，建立個人房地產(chǎn)投資租轉(zhuǎn)售決策分析模型.運用停時與數(shù)值模擬等方法求解，得到投資者執(zhí)行租轉(zhuǎn)售決策時的房價可行區(qū)間.繼而定性分析房地產(chǎn)市場基本要素對房價可行區(qū)間產(chǎn)生的影響，得出了相關(guān)結(jié)論.最后利用模型結(jié)論對北京二手住宅房地產(chǎn)市場進行階段性研究，反向剖析近年來政府對房地產(chǎn)市場所做的系列宏觀調(diào)控政策.

房價； 分形特征； 實物期權(quán)； 停時； 分?jǐn)?shù)布朗運動

近年來，我國城市發(fā)展迅猛，資源優(yōu)厚，吸引了大批外來人口.據(jù)中國統(tǒng)計年鑒報告，1992年～2016年，我國城鄉(xiāng)人口比例從37.85%快速增長到127.79%.逐年攀升的城市人口帶來了對住宅的持續(xù)高需求.中國房地產(chǎn)業(yè)協(xié)會發(fā)布的房價行情顯示，2017年2月北京房價收入比高達14.5.房價與居民收入的巨大差距凸顯出房地產(chǎn)市場過熱、價格過高、供求畸形.房地產(chǎn)投資的不可逆性隱藏著巨大的金融風(fēng)險.如何抑制房價，實現(xiàn)城市高房價的軟著陸成為了現(xiàn)階段主要面臨的經(jīng)濟難題.

本文將持有房產(chǎn)的投資者作為解決問題的著眼點，基于實物期權(quán)理論框架，建立個人房地產(chǎn)投資租轉(zhuǎn)售決策分析模型.

1 文獻回顧

實物期權(quán)的理論基礎(chǔ)是金融期權(quán)定價理論(S.P.Mason和R.C.Merton)[1].金融期權(quán)的核心思想是在市場完備無套利的情況下復(fù)制期權(quán)，對期權(quán)進行定價.實物期權(quán)從本質(zhì)上可看做是金融期權(quán)的推廣應(yīng)用.

傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化服從幾何布朗運動，資產(chǎn)價格的對數(shù)增長率服從正態(tài)分布.Black和Scholes[2]提出了著名的Black-scholes期權(quán)定價模型.Ross和Cox[3]繼而提出風(fēng)險中性定價理論，進一步又提出離散情況下的二叉樹定價模型.然而近年來對金融市場的大量研究表明，金融資產(chǎn)的對數(shù)收益率呈現(xiàn)出“尖峰厚尾”的特點，且價格之間存在著長程相關(guān)性.Peters[4]提出分形市場假說，分析了不同資本市場都存在著分形結(jié)構(gòu)和非周期循環(huán)的存在.說明運用分形市場理論比有效市場假說更能準(zhǔn)確地刻畫市場特征.Necula[5]等人分析了分?jǐn)?shù)布朗運動下的期權(quán)市場，并給出了歐式期權(quán)在任意時刻的期權(quán)定價公式.國內(nèi)亦有黃文禮[6]、孫玉東[7]眾多學(xué)者研究了分?jǐn)?shù)布朗運動下的衍生品定價問題.

實物期權(quán)在房地產(chǎn)市場上的運用：起始于Titman[8]利用二叉樹期權(quán)定價模型在離散條件下評估土地價格；Clark[9]等利用選擇期權(quán)分析房地產(chǎn)開發(fā)密度；Geltner[10]等利用開發(fā)期權(quán)分析了房地產(chǎn)市場.之后Williams[11]、Capozza[12]等做了進一步的推廣研究.國內(nèi)研究房地產(chǎn)個人投資策略極少，主要有蔡曉鈺等人[13]基于房價滿足幾何布朗運動的假設(shè)下對投資住房的售出問題進行建模分析研究，并在后期進一步考察了租轉(zhuǎn)售問題[14][15].韓露[16]基于二叉樹模型考察實物期權(quán)在房地產(chǎn)投資時機決策中的應(yīng)用.

需要注意的是，關(guān)于實物期權(quán)在房地產(chǎn)市場上的應(yīng)用大多是建立在房地產(chǎn)市場為有效市場的前提下進行的理論研究，即房價滿足幾何布朗運動.而譚峻等[17]證明了中國大陸房地產(chǎn)市場波動具有分性特征.本文沿此思路，在實證研究我國房地產(chǎn)市場特征的前提下，建立個人房地產(chǎn)投資租轉(zhuǎn)售決策分析模型.依據(jù)模型求解結(jié)果來反〗向剖析政府對房地產(chǎn)市場的宏觀調(diào)控，亦揭示了政府可以利用房地產(chǎn)市場發(fā)展數(shù)據(jù)來對模型相關(guān)參量做出估計，針對性地做出合理的調(diào)控政策.

2 房地產(chǎn)市場特征檢驗

2.1 房地產(chǎn)市場分形特征檢驗

本文選取1991年2月～2017年3月的中國房地產(chǎn)市場交易的月度數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計局)，運用去趨勢波動分析(DFA) 方法(張衛(wèi)國等)[18]估計中國房地產(chǎn)市場的Hurst 指數(shù).其擬和函數(shù)圖像如圖1所示.

由于Hurst的估計值為0.72(遠大于0.5)，故房價對數(shù)增長率時間序列具有長程相關(guān)性，說明房

地產(chǎn)市場歷史的價格波動對現(xiàn)在的價格增量具有正效應(yīng).即中國房地產(chǎn)市場是分形市場，用幾何分?jǐn)?shù)布朗運動來刻畫房價來建模是合理的.

圖1 房價對數(shù)增長率Hurst指數(shù)Fig.1 Hurst exponent of the logarithmic growth rate of house prices

2.2 房價租金比實證檢驗

在理想的市場環(huán)境下，房價租金比為定值(祈兆珍)[19].本文選取我國2002年12月～2017 年3 月的住房租金價格指數(shù)與住房價格指數(shù)的月度數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：Resset 數(shù)據(jù)庫)，其對數(shù)增長率走勢如圖2所示.

圖2 住房和租金價格指數(shù)對數(shù)收益率走勢圖Fig.2 Trend of the logarithmic growth rate of prices of house and rent

可發(fā)現(xiàn)住房價格指數(shù)對數(shù)增長率與租金價格指數(shù)對數(shù)增長率走勢基本相同.線性回歸結(jié)果如表1所示，線性回歸T檢驗的概率p值均為“***”，表示極為顯著，且擬合優(yōu)度為0.723 2，線性回歸方程為y=0.82481x+0.8075，該線性模型通過回歸檢驗.得出結(jié)論：在房地產(chǎn)市場建模中，假定房價與租金具有良好的線性關(guān)系是合理的.

表1 回歸結(jié)果

注：***表示檢驗在0.1%的水平上顯著，**表示檢驗在1%的水平上顯著，*表示檢驗在5%的水平上顯著.

3 個人房地產(chǎn)投資租轉(zhuǎn)售決策分析模型

3.1 基本假設(shè)

假設(shè)1：在房地產(chǎn)交易市場，購買→ 出租→ 出售都是通過中介機構(gòu)，其交易是瞬時發(fā)生的，且不存在套利情況；

假設(shè)2：出租與租轉(zhuǎn)售的交易成本與相應(yīng)的交易價格成定比，分別記為θ1(0≤θ1≤1)，θ2(0≤θ2≤1)，其中出租的交易成本只包含支付給中介機構(gòu)的傭金，租轉(zhuǎn)售的交易成本包含中介傭金和相關(guān)稅費；

假設(shè)3：投資者為理性投資者，在起始時刻0以價格P0購買一處房產(chǎn)，從而擁有出售期權(quán)，終止時刻為T，投資者可在T之前的任意時刻做出繼續(xù)或停止決策，目的在于獲得最大投資收益；

假設(shè)4：房價服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運動，去膨脹化的房價期望增長率與波動率始終為定值，記為dP=μPdt+σPdBH(0≤t≤T)，BH為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)布朗運動，BH(0)=0，t時刻的的房價為Pt；

假設(shè)5：房價與租金呈線性關(guān)系，記為Rt=λPt+c0(0≤t≤T)， 其中λ，c0為定值；

假設(shè)7：無風(fēng)險利率(貼現(xiàn)率)始終為定值r.

3.2 模型建立

1) 若截止時刻T，投資者始終未執(zhí)行租轉(zhuǎn)售期權(quán)，即通過房屋出租實現(xiàn)房屋價值，亦是執(zhí)行期權(quán)繼續(xù)決策的價值，記為VT：

(1)

2) 若在時刻τ(0≤τ≤T)，投資者執(zhí)行租轉(zhuǎn)售期權(quán)的停止決策，則房屋價值即是停止決策的價值，記為Vτ：

(2)

θ1(λPt+c0))e-rtdt≥0，

此不等式的解即為執(zhí)行停止決策的房價可行域.

3.3 模型求解

0≤t≤T,

(3)

(4)

1)化簡求解VT.

將式(5)代入式(4)，得

將T看做變值，采用數(shù)值算法，擬合ξ與T之間的代數(shù)關(guān)系，具體算法如下：

a) 參數(shù)的取值.

T：取初始值為0.001且在[0，1]之間間隔為0.001的等差數(shù)列，依次賦值給T；

μ-r：生成服從均勻分布U[0，1]的隨機數(shù)50 000個，從中隨機抽取1 000個，依次賦值給μ-r；

σ2：生成服從均勻分布U[0，0.25]的隨機數(shù)50 000個，從中隨機抽取1 000個，依次賦值給σ2；

2H：生成服從均勻分布U[1，2]的隨機數(shù)50 000個，從中隨機抽取1 000個，依次賦值給2H；

b) 根據(jù)

(5)

圖3 散點圖Fig.3 The scatter plot

c) 對ξ與T的散點分布進行線性回歸分析，回歸曲線如圖4所示，回歸結(jié)果如表2所示．

圖4 T與ξ線性回歸擬合曲線Fig.4 Linear regression fitting curve between T and ξ

ModelBateStd．Errort?StatisticProb．Coefficient08847410007514111740???Constant0010160000434223400195?R?square09328AdjustR?square09328

注：***表示檢驗在0.1%的水平上顯著，**表示檢驗在1%的水平上顯著，*表示檢驗在5%的水平上顯著.

由于常數(shù)項對應(yīng)的T檢驗的概率P值為“*”，即在1%的置信水平下不顯著， 由此可得

ξ=0.884741T.

(6)

那么，當(dāng)T取為某一定值時，ξ=0.884741T依然成立.為表述方便，不妨令k1=0.884741，所以

VT=(1-θ1)λP0Texp[(μ-r)k1T-

(7)

VT=(1-θ1)λP0Texp[(μ-r)k1T-

σ2(k1T)2H]+c(1-e-rT).

(8)

2) 化簡求解Vτ.

將式(5)、(6)代入式(4)，并利用“1)”中的積分表示結(jié)果，得

為求解Vτ，必須知曉基于幾何分?jǐn)?shù)布朗運動的停時τ的分布.對此，考慮任一滿足假設(shè)條件的分?jǐn)?shù)布朗運動，模擬出關(guān)于τ的分布的散點圖，具體做法如下：

e) 由模擬路徑的先后，作出關(guān)于停時τ的分布的散點圖如圖6所示．

圖5 路徑的模擬Fig.5 The simulation of Pt routes

從模擬結(jié)果可以看出，基于房價滿足幾何分?jǐn)?shù)布朗運動情況下的停時τ的分布規(guī)律為：靠近0的點較遠離0的點更密集一些，可推測停時τ在風(fēng)險中性測度下的的密度分布函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).

為驗證此結(jié)果，不失一般性，考察多時段二叉樹模型.具體分析如下:

圖6 停時τ的分布散點圖Fig.6 The scatter plot of stopping time distribution τ

綜上討論，我們得出停時τ在風(fēng)險中性測度下的密度分布函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)f(t)，為后續(xù)計算方便，不妨假定f(t)=e-t.所以

圖7 二叉樹模型下停時τ的分布散點圖Fig.7 The scatter plot of stopping time τ distribution in model of a binary tree

(9)

(10)

圖8 線性回歸擬合圖Fig.8 Fitting figure of linear regression

ModelBateStd．Errort?StatisticProb．Coefficient9474e-013909e-102424e+090???Constant5263e-061972e-102732e+040???R?square1AdjustR?square1

注：***表示檢驗在0.1%的水平上顯著，**表示檢驗在1%的水平上顯著，*表示檢驗在5%的水平上顯著.

類似討論，由于常數(shù)項接近于0，可忽略不計，即得η=0.9474T，不妨令k2=0.9474.因此

推得,

(11)

即停止決策的可行域為：

3.4 結(jié)果分析

定性分析各參數(shù)對可行域的影響，如圖9所示．

具體的，記

由于在參數(shù)未取定的情況下，無法確定g(x)的單調(diào)性，繼而不能判斷F(H，μ，σ，r，T)對相應(yīng)參數(shù)求偏導(dǎo)之后的正負(fù)號，故此處運用數(shù)值試驗來探討F(H，μ，σ，r，T)與各參數(shù)之間的關(guān)系.

1) 考慮H對F(H，μ，σ，r，T)的影響

圖9 參數(shù)(H，μ，σ，r，T)與的關(guān)系Fig.9 The relationship between parameters (H，μ，σ，r，T) and

2) 考慮μ對F(H，μ，σ，r，T)的影響

3) 考慮σ對F(H，μ，σ，r，T)的影響

4) 考慮T對F(H，μ，σ，r，T)的影響

為討論方便，設(shè)定c0=0，即房價租金比為定值.推得c=0，h(r)=0，此時，

F(H，μ，σ，r，T)=

N(T)=

考察N(T)與T的關(guān)系即可，結(jié)果如圖9(d)所示.可看到，投資期限的長短對臨界值具有階段性的影響，T∈[0，10]時，隨著投資期限的短期延長，投資者執(zhí)行停止決策的心理價位越來越高，且變化速度很快，對應(yīng)于投資者執(zhí)行停止決策的可行域越來越小，經(jīng)過T=10這個節(jié)點之后，心理價位又急劇下降，最后持平，即對應(yīng)于投資者執(zhí)行停止決策的可行域越來越大，最后基本保持不變.顯然，這與投資者的心態(tài)是緊密相關(guān)的，如果必須在短期內(nèi)實現(xiàn)房屋價值，那么投資者必須要在短期內(nèi)做出停止決策或繼續(xù)決策，這就很可能出現(xiàn)要價高的情況.但進行長線投資時，即對時間沒有要求，這時投資期限的延長初期會適當(dāng)降低投資者執(zhí)行停止決策的心理價位，但后期投資期限的延長對投資者執(zhí)行停止決策的心理價位基本上不產(chǎn)生影響.

5) 考慮r對F(H，μ，σ，r，T)的影響

4 實證分析

以北京市為例，研究其二手住宅銷售市場，截取2011 年1 月1 日～2017 年4 月30 日的二手住宅出售交易量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：Wind資訊)，得到北京市二手住宅出售套數(shù)的走勢如圖10所示.

顯然，北京市的二手房交易市場呈現(xiàn)出階段性的特征，在2011年1月～2014年9月北京市的二手住宅交易市場處于低潮期，發(fā)展較為緩慢.2014年10月～2017年4月北京市的二手住宅交易市場空前活躍，處于興盛期.以此，我們將北京市二手房交易市場分兩階段來考察并進行比較.分別記為第一時期、第二時期.從個人房地產(chǎn)投資角度來看，投資者選擇在第二時期執(zhí)行停止決策的人數(shù)明顯要多于第一時期，說明在第二時期內(nèi)房地產(chǎn)市場投資者的心理價位的下確界要低于第一時期，以下將通過兩時段的北京房地產(chǎn)市場價格相關(guān)參數(shù)比較來進行分析.

圖10 北京市二手住宅市場交易統(tǒng)計Fig.10 The trade statistic in second-hand houses mark from Beijing

采用DFA去趨勢檢驗法，利用相應(yīng)年限的北京市二手住宅價格指數(shù)的月度數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：Resset數(shù)據(jù)庫)分別估計出第一時期和第二時期北京市房地產(chǎn)市場二手住宅價格指數(shù)的Hurst 指數(shù)，如圖11所示.

計算出北京市兩階段的房地產(chǎn)住宅投資期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差，分別記為μ1，μ2，σ1，σ2.

對于無風(fēng)險利率，它體現(xiàn)的名義貨幣增值的水平.本文選取兩個階段金融機構(gòu)人民幣活期存款基準(zhǔn)利率(數(shù)據(jù)來源：中國人民銀行貨幣政策司)對應(yīng)年限的平均值作為各階段的無風(fēng)險利率參考值記為r1，r2.統(tǒng)計結(jié)果如表4所示.

圖11 北京市房地產(chǎn)市場Hurst指數(shù)估計Fig.11 Estimation of Hurst exponent in Beijing real estate market

Hurst指數(shù)(H)期望(μ)標(biāo)準(zhǔn)差(σ)無風(fēng)險利率(r)第一時期065000249800092905第二時期0910018240001561035

注：T為個人投資終止期限(投資者壽命)，在此處不加以考慮.

在第一時期里，中央政府連續(xù)出臺房地產(chǎn)市場調(diào)控政策，打壓房地產(chǎn)市場中的投機者：2011年多次上調(diào)人民幣存款準(zhǔn)備金率；新國八條出臺，把二套房首付比例提至60%，貸款利率提至基準(zhǔn)利率的1.1 倍，上調(diào)個人住房公積金貸款利率；2012年加快推進房產(chǎn)征收稅；2013年新國5條出臺，二手房交易的個人所得稅由交易總額的1%調(diào)整到按差額的20%征收.此類舉措的執(zhí)行使得二手住宅價格指數(shù)的對數(shù)收益率平均值約為0.24%，這里，將標(biāo)準(zhǔn)差看作是波動率的近似值，發(fā)現(xiàn)二手住宅價格指數(shù)的對數(shù)收益率的波動率很小.說明在一定程度上遏制了房地產(chǎn)市場的交易，房價趨于平穩(wěn)增長，但該時期市場的Hurst指數(shù)為0.65，呈現(xiàn)出分形特征.

2015年“9.30”房貸新政：全國40多個城市相繼取消或者大幅度松綁限購；放寬公積金貸款；央行降息.繼而轉(zhuǎn)入第二時期，2015年5次降準(zhǔn)降息，并降低公積金貸款利率，“330”政策明確降低商貸二套房首付比例；“831”政策降公積金最低首付至20%，新“930”政策將商貸首套房最低首付比例降至25%，公積金政策逐步放寬，持續(xù)降低購房門檻；2016年下調(diào)首套房首付比例，上調(diào)公積金存款利率，下調(diào)準(zhǔn)備金率，營改增正式實施，并減免契稅、營業(yè)稅，制定購房補貼政策，鼓勵農(nóng)民工在城市購房.此時房地產(chǎn)市場Hurst 指數(shù)出現(xiàn)急劇增大的勢頭.說明二手住宅價格指數(shù)對數(shù)增長率前期的正增長會促使后期價格依然為正增長.

由本文所構(gòu)造的房地產(chǎn)市場個人投資決策分析模型結(jié)論來看，較之第一時期，市場Hurst指數(shù)的增大會導(dǎo)致投資者做出停止決策的可行域擴大以及波動率的增大，會促使投資者在此種情況下賣出房產(chǎn)，即對二手住宅交易有推動作用.二手住宅的期望收益率增大，利率的降低，這兩個因素會引起投資者執(zhí)行停止決策的可行域縮小，對二手住宅的交易有抑制作用，由于Hurst指數(shù)與波動率的影響要大過期望收益率與利率，所以出現(xiàn)了二手住宅交易的繁盛時期.

5 總結(jié)

本文將房價的分形噪聲考慮進來，研究房地產(chǎn)二手住宅市場，建模求解，從理論上分析了北京市近年來二手住宅交易市場在政府宏觀調(diào)控下的發(fā)展情況.這說明政府可以通過中國二手住宅市場交易情況來“對癥下藥”，制定切實有效的房市調(diào)控政策來穩(wěn)定房市.

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[19] 祈兆珍. 房租與房價的比價關(guān)系-《關(guān)于住房租金結(jié)構(gòu)構(gòu)成的研究》摘要之二[J].中國房地產(chǎn)， 2003，23(13):12-14．

Reviewmacro-controloftherealestatemarketbasedontheviewofpersonalinvestment

WU Di， GUO Sipei， HE Sui

(College of Mathematics and Statistics， Central China Normal University， Wuhan 430079, China)

According to empirical analysis to Chinese real estate market， this paper finds that the market has fractal feature and exists a kind of linear relation between house prices and rent. Under the premise of it， we use the real option theory to estimate investing earnings， then build the renting-selling conversion model and solve model by the stopping time and numerical simulation method， get the prices feasible sector of investors making renting-selling conversion decision. By analysing qualitatively the influence of Hurst exponent， growth rate of house prices， volatility， investment horizon and risk-free interest rate to feasible section of house prices, we draw a conclusion. In the end， this paper utilizes the conclusion to make periodic research to the market of second-hand residential real estate in Beijing and dissects a series of macro-control policy that the government made for the real estate market reversely ．

house prices; fractal feature; real option; stopping time; fractional Brownian motion

2017-07-12.

湖北省自然科學(xué)基金項目(2015CKB732)．

*E-mail: 550119360@qq.com.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.06.003

1000-1190(2017)06-0736-11

F202

A