楊廣雨，王 偉，熊德發(fā)，馮曉偉

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育重點實驗室，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，江蘇南京 210098)

巖石非線性黏彈塑性蠕變模型研究

楊廣雨1，2，王 偉1，2，熊德發(fā)1，2，馮曉偉1，2

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育重點實驗室，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，江蘇南京 210098)

提出一種新的非定常粘滯系數(shù)的流變元件，然后將提出的非線性流變元件引進(jìn)到Poyting-Thomson模型中，從而建立了新的非線性黏彈塑性流變模型，該模型不但可以較好地模擬巖石蠕變?nèi)齻€階段，而且模型參數(shù)較少。推導(dǎo)出模型的本構(gòu)方程及蠕變方程，并探討了模型參數(shù)的辨識方法，最后利用本文建立的非線性流變模型所得到的理論曲線與砂巖蠕變試驗曲線進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明：本文建立的非線性流變模型具有較高的準(zhǔn)確性及合理性。

巖石流變；非線性元件；加速蠕變；飽依丁-湯姆遜模型

巖石流變是影響巖土工程長期穩(wěn)定性的一個重要因素，在對巖石流變現(xiàn)象的模擬方法中，利用彈簧、滑塊及黏性元件模擬巖石蠕變現(xiàn)象是較為常用的方法，但是傳統(tǒng)的基本元件都為線性元件，只能模擬巖石蠕變的前兩個階段，即衰減階段和穩(wěn)定階段，無法模擬加速蠕變階段。因此，很多學(xué)者開始將非線性流變元件引入到現(xiàn)有的流變模型中去以便能模擬巖石加速蠕變階段[1-11]。本文針對傳統(tǒng)的Poyting-Thomson模型無法模擬巖石加速蠕變階段的不足，通過引進(jìn)非定常黏滯系數(shù)的黏滯元件，建立了非線性流變模型，擬合結(jié)果表明本文建立的模型的正確性及可行性。

1 巖石非線性黏彈塑性流變模型

1.1 改進(jìn)的非線性流變元件及模型本構(gòu)關(guān)系

本文在熊良宵等[12]構(gòu)建的非線性流變元件的基礎(chǔ)上通過改進(jìn)提出一種新的非定常黏塑性元件，該元件中的黏滯系數(shù)是與流變時間t有關(guān)的函數(shù)，改進(jìn)后的非線性流變元件示意圖見圖1。

圖1 本文使用的非線性流變元件Fig.1 The non-linear rheological component

改進(jìn)后的元件滿足以下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

將上述改進(jìn)后的流變元件（下圖2的第1部分）與傳統(tǒng)的飽依丁-湯姆遜體模型（下圖2的第2部分）進(jìn)行串聯(lián)，從而可以得到新的非線性流變模型，見圖2。

圖2 本文建立的巖石非線性流變模型Fig.2 The nonlinear rheological model of rock

由于本文建立的模型的本構(gòu)關(guān)系受到應(yīng)力σs的影響，所以，需要根據(jù)應(yīng)力σ與σs關(guān)系來建立模型的本構(gòu)關(guān)系，由模型的性質(zhì)可知，需要分兩種情況來建立模型的本構(gòu)關(guān)系，第一種是當(dāng)σ ≤ σs時，第二種情況是當(dāng)σ ＞σs時。下面對這兩種情況分別推導(dǎo)其本構(gòu)關(guān)系。

當(dāng)σ ≤ σs時，此時由于滑塊受力小于摩擦阻力，滑塊無法滑動，因此圖2的第一部分應(yīng)變?yōu)榱悖谝徊糠窒喈?dāng)于一個剛體，對模型的本構(gòu)關(guān)系沒有影響，此時模型就變成傳統(tǒng)的飽依丁-湯姆遜模型。

當(dāng)σ ≤ σs時，模型的狀態(tài)方程為

式中：σEi(i=1，2)為對應(yīng)彈性元件所受的應(yīng)力，εEi(i=1，2)為對應(yīng)元件的應(yīng)變，εηi(i=1，2)為模型中對應(yīng)黏性元件的應(yīng)變，σηi(i=1，2)為模型中對應(yīng)黏性元件所受到的應(yīng)力，ηi(i=1，2)為對應(yīng)黏性元件的黏滯系數(shù)，ε時模型的應(yīng)變，ε·為模型的應(yīng)變率。

利用上述得到的(2)、(3)式，可以求得模型的本構(gòu)關(guān)系。

當(dāng)σ ≤ σs時，模型本構(gòu)關(guān)系為

當(dāng)σ ＞ σs時，模型的本構(gòu)方程為

1.2 非線性流變模型蠕變特性分析

為了探究建立的模型具有哪些流變特性，首先需要建立σ =σ0時的巖石流變方程，根據(jù)兩式，利用Laplace變換求解方程時，首先需要求解當(dāng)時間t=0時的初始條件。當(dāng)t=0時，應(yīng)力狀態(tài)不同時，初始條件也是有差別的。下面分別給出當(dāng)時間t=0時σ ≤ σs與σ ＞ σs的初始條件。

當(dāng)σ0≤ σs時，σ0為定常數(shù)，ε(0)為

當(dāng)σ0＞ σs時，σ =0，σ¨=0，

根據(jù)上述初始條件結(jié)合式，利用Laplace變換和逆變換可以求得模型的蠕變方程。

當(dāng)σ0≤ σs時，模型的蠕變方程為

當(dāng)σ0＞ σs時，模型的蠕變方程為

當(dāng)σ0≤ σs時，上式模型的蠕變方程(6)對t求一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由此可得

當(dāng)σ0＞ σs時，上式模型的蠕變方程(7)對t求一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由此可得

2 流變模型的試驗驗證

2.1 模型參數(shù)辨識方法

本文建立的非線性流變模型共有5個參數(shù)即E1、E2、η2、η1、a，這也是本文模型的一大優(yōu)點。文中建立的流變模型可以按照有無加速蠕變階段的條件分為穩(wěn)態(tài)蠕變（巖石蠕變只有前兩個階段）和不穩(wěn)態(tài)蠕變（巖石應(yīng)力超過σs，蠕變有三個階段），當(dāng)模型為穩(wěn)態(tài)蠕變時，采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，參數(shù)擬合的效果往往較好。當(dāng)巖石蠕變類型為不穩(wěn)態(tài)蠕變時，直接用最小二乘法來參數(shù)擬合的效果往往不滿足要求。所以本文使用流變曲線分解法進(jìn)行參數(shù)辨識，根據(jù)巖石試驗曲線的特點，辨識出加速蠕變的臨界時間tc，在tc之前，模型用最小二乘法求得模型中的E1、E2、η2、η1，然后用得到模型做出在tc之后的理論蠕變曲線，將巖石蠕變試驗曲線與得到的理論曲線做差得到差函數(shù)φ(t)，然后，將差函數(shù)φ(t)與時間t作冪指函數(shù)擬合，從而求得模型參數(shù)a，至此，模型中的全部參數(shù)均已求出。

2.2 模型驗證

本文是通過引用王偉等[12]砂巖流變試驗數(shù)據(jù)來驗證模型是否正確合理，該砂巖的分級加載流變試驗曲線見下圖3。

圖3 砂巖分級加載流變試驗曲線Fig.3 The rheological test curve in the conditon of sandstone graded load

根據(jù)圖3可知，當(dāng)對砂巖施加第一級荷載時，砂巖產(chǎn)生了瞬時的彈性變形，在荷載小于150 MPa之前，在每一級荷載條件下，砂巖的應(yīng)變率逐漸趨于一個大于零的定常值。當(dāng)荷載大于150 MPa時，砂巖的應(yīng)變率趨于無窮大，此時砂巖發(fā)生加速蠕變破壞。

在本文建立的非線性流變模型的基礎(chǔ)上，引進(jìn)王偉等[13]砂巖流變試驗數(shù)據(jù)，當(dāng)施加的荷載小于150 MPa時，利用最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)辨識，當(dāng)荷載大于等于150 MPa時，利用上節(jié)介紹的流變曲線分解法進(jìn)行參數(shù)辨識。經(jīng)過曲線擬合可得該模型在每級荷載條件下的參數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 流變模型參數(shù)擬合結(jié)果Tab.1 The parameter fi tting results for Rheological model

根據(jù)表1得到的模型參數(shù)，帶入到理論公式里，然后將理論流變曲線與砂巖流變試驗曲線進(jìn)行對比分析，對比結(jié)果見下圖4。

圖4 砂巖流變試驗曲線與模型理論曲線對比圖Fig.4 Comparison chart of rheological test curve and model theory curve of sandstone

根據(jù)圖4 的對比曲線可知本文建立的非線性流變模型不僅可以很好地反映巖石蠕變前兩個階段，也能夠較好地模擬巖石加速蠕變階段，從而證明了本文建立的非線性流變模型的正確性。

3 結(jié)論

1）使用改進(jìn)的非線性流變元件，建立了新的飽依丁-湯姆遜模型，推導(dǎo)了其本構(gòu)方程及蠕變方程，分析了流變模型的非線性流變特性，當(dāng)σ0≤ σs時，本文建立的模型可以反映巖石蠕變的前兩個階段，當(dāng)σ0＞σs時，非線性流變模型可以較好的模擬巖石蠕變?nèi)^程。

2）將模型得到的理論蠕變曲線與砂巖流變試驗曲線進(jìn)行對比分析，兩者的曲線比較吻合，這表明了本文建立的非線性流變模型的正確性。

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Study on nonlinear viscoelasto-plastic creep model of rock

YANG Guangyu1，2，WANG Wei1，2，XIONG Defa1，2，F(xiàn)ENG Xiaowei1，2
(1.Key Laboratory of Ministry of Education For Geotechnical & embankment Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China；2.Geotechnical Research Institute，Hohai University，Nanjing 210098，China)

In this paper，a new rheological component with unsteady viscous coef fi cient is proposed，then connecting the proposed nonlinear rheological component with the Poyting-Thomson model，a new nonlinear viscoelastic-plastic rheological model is established. The model can not only simulate the three stages of rock creep，but also has less model parameters. In this paper，the constitutive equation and creep equation of the model are deduced，and the identi fi cation method of the model parameters is discussed. Finally，the theoretical curves obtained by the nonlinear rheological model established in this paper and the sandstone creep test curves is compared and analyzed. The results show that the nonlinear rheological model established in this paper has good accuracy and rationality.

rock rheology；nonlinear component；accelerative creep；Poyting-Thomson model

TU43

A

1673-9469（2017）04-0023-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.04.006

2017-07-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(11672343，51679069)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(2016B20214)

楊廣雨(1993-)男，河南駐馬店人，碩士，從事巖石力學(xué)與工程方面的研究。